专题16 客观题之--平面向量--《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

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专题16 客观题之--平面向量
【命题规律】
平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等或中等偏难.
【冲刺训练】
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
2．（2021·浙江）已知向量，满足，，且与夹角为，则“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
根据，求出，根据求出，再根据充分性和必要性的定义即可得出结论.
【详解】
解：充分性：当时，，
又，所以，所以“”是“”的充分条件；
必要性：当时，，所以“”是“”的必要条件；
综上所述：“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
3．（2022·广东梅州·二模）两不共线的向量，，满足，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断，整理后可知只能为0，即可解得答案.
【详解】
解：由题意得：
，
，
即

，

，即
故选：C
4．（2022·浙江·高一阶段练习）设O是△ABC的外心，满足，，若，则△ABC面积的最大值为（          ）
A．7 B．1 C．8 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
用平面向量基本定理，垂直向量的数量积为0，把表示成角的函数，即可表示出面积关于C的正弦函数，由此即可求出面积最大值.
【详解】
如图，取的中点，连接，过B作于E，

因为O是△ABC的外心，所以,
因为，
所以, 即,
所以,
即，
所以，即，
所以,,
又，所以,
，
所以,
故当时，有最大值4.
故选：D
5．（2022·浙江·高三专题练习）在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（       ）

A．4 B．
C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标表示，结合三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
依题意在直角中，，，
以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，设是的中点，则.
，所以满足，
设（为参数，），
依题意，
即，
，
，，
所以当时，取得最大值为.
故选：C

6．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））在直角三角形中，，点是线段上的动点，且，则的最小值为（       ）
A．12 B．8 C． D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在直角三角形中，易得，作于点，如图，以为原点建立平面直角坐标系，不妨设点在点的左侧，设，则，，根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.
【详解】
解：直角三角形中，，
所以，所以，
作于点，
则，
如图，以为原点建立平面直角坐标系，
不妨设点在点的左侧，
设，则，，
，
则，
所以，
当且仅当时，的最小值8.
故选：B.

7．（2022·海南·模拟预测）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（       ）

A．－1 B．1 C．－3 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案.
【详解】
以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，
则，设，


，
所以当时，取得最小值.
故选：C

8．（2022·福建福州·模拟预测）已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用和向量数量积的运算律可求得，并将所求式子化为，由可求得结果.
【详解】
，，
，
，，
即的最大值为.
故选：B.
9．（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】
设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
10．（2022·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答.
【详解】
过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，

在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.
故选：C
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
11．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析题目条件，得到，画出草图，利用等和线得到，过O点,C点分别向AB做垂线，得到两个相似比为1比3的直角三角形，设出∠CAB=θ，然后利用角表示边，通过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出的大小
【详解】
解析：作，，，由题意，
设直线与直线交于点，

∵（，），
∴点在线段上（不含端点）
又，结合等和线性质，可知
作于，于，
有，
记
①当点在线段上时，，
由，得，可解得，进而有
此时，，
（注：点为线段的中点，在线段上，符合题意）
可得，所以
②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，.
故选：A
二、填空题
12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，依次为边的四等分点，，，依次为边的四等分点，若，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】
因为四边形是平行四边形，所以，，
所以，，，，
再根据条件得到和的值，
因为，，带公式计算即可求解.
【详解】
因为四边形是平行四边形，所以，，
所以，
，，
所以，
所以，
设，，则，
又，，
所以
.
故答案为：.
13．（2022·浙江·台州市书生中学高二开学考试）已知正方形，，点O关于直线对称的点为N，则的最小值为_________.
【答案】0
【解析】
【分析】
利用点O关于直线FM对称求出N点坐标，结合对勾函数求出横坐标的取值范围，结合M的轨迹，利用极化恒等式进行求解.
【详解】
由正方形建立如图示的平面直角坐标系，

由题意得:A(6，0)，C(0，6)，M(0，2)，F(6t，0)，则直线MF: .
设N(m，n)，则，解得所以.
其中，所以 在上单调递增，所以，，从而，且当时，.
此时当F位于右端点与A重合时，最高.
又点O、N关于直线对称，所以，所以点N的轨迹为以M为圆心，2为半径的圆弧，其中圆弧的上端点坐标为，如图所示.
取BC的中点H，连接NH，因为，，两式平方后相加得: .
要使的值最小，则需要最小.
连接MH与圆弧交点N即为最小的，此时由勾股定理得: ,此时=5-2=3.
过点N作NG⊥y轴于点G，则△MNG~△MHC，所以，即故，即N的横坐标为符合要求，故的最小值为：.
故答案为:0
14．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，由条件得出点的轨迹方程，又设,即由条件可得三点共线，根据几何关系可得答案.
【详解】
设，
则，
由，则
即
即点在圆上.
由，即
设,即由，则三点共线.
当时，取得最小值
故当与圆相切时, 取得最大值.
如图设圆心为，由与相似
则，即
故答案为：

15．（2022·全国·模拟预测）在中，点是的重心，过点作直线分别交线段，于点，（，不与的顶点重合），则的最小值为___________.

【答案】
【解析】
【分析】
先设，，由是的重心得到，
设，
得到，，再得到和
再由求解即可.
【详解】
设，，，.因为是的重心，
所以.由，，三点共线可知，
.
由平面向量基本定理可知解得，，
所以，，
所以， ，
因为是的重心，所以，故

当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知平面单位向量满足，设，向量的夹角为θ，则cos2θ的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
设设，由条件可得，又，从而得出，由向量夹角公式可得，从而求出其最小值.
【详解】
设，则，
故
得，又，则
化简，得，即，因此.

＝

函数在上单调递增
所以当时，cos2θ有最小值，为
故答案为：
17．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）已知平面单位向量，满足.设，，向量，的夹角为，则的最大值是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值，即得的最大值.
【详解】
，
，
，

，
∴当时，取得最小值，
则取得最大值，的最大值是.
故答案为：.
18．（2022·全国·模拟预测（理））平面向量，满足：，，设向量，的夹角为，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用向量模、数量积的运算化简已知等式，结合一元二次方程根的分布，求得满足的不等关系式，从而求得的最大值.
【详解】
依题意：，，
，，
，其中，
两边平方得，
，
①，
不是关于的方程①的解，
所以关于的方程①有正根，
则，
，，，
所以，所以.即的最大值为.
故答案为：
19．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】
由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
20．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】
，
，
，

.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
21．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和______．

【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算平面向量基本定理可得，令，进而可得为等比数列，再利用求和公式即得.
【详解】
由于D是AC边上一点，且，
则，
由于为直线AB上一点列，则．
因为，则，
故，
整理，即，
故，
令，则，即，
因此，，
所以为等比数列，，
则，
故
．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是由，的变形，然后构造数列，进而可得数列的通项，利用求和公式可求.
22．（2022·浙江杭州·二模）对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值.已知平面内非零向量，，，满足：，，记（m，，且，），则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
记，，，构建直角坐标系，根据向量几何意义判断所在直线的斜率，设，，，结合函数的定义、数形结合思想研究相关向量的模长随点的变化情况，进而求目标式的值.
【详解】
记，，，则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.
设，，，
记，，则，，

所以.
先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，那么，其中，接着再让m变化，即点D变化，求的最小值.
因为，当且仅当时取得等号.
综上，.
故答案为：2
【点睛】
关键点点睛：利用向量几何意义，构建直角坐标系并设A、B、C的坐标，根据函数新定义、数形结合思想将问题转化为两向量模长的比值，讨论动点位置变化对向量模长的影响确定目标式的值.
三、双空题
23．（2017·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．
【答案】     4    
【解析】
【详解】
设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
【名师点睛】
本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
24．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）如图所示，在梯形中，，点为的中点，若向量在向量上的投影向量的模为2，则___________；设为线段上的动点，则的最小值为___________.

【答案】     6    
【解析】
【分析】
以B为原点，以BC，BA所在直线为x，y轴，建立平行直角坐标系，求得的坐标，根据向量在向量上的投影向量的模为2，求得，设，由 为二次函数求解.
【详解】
解：以B为原点，以BC，BA所在直线为x，y轴，建立平行直角坐标系：

则，
所以，，
因为向量在向量上的投影向量的模为2，
所以，
所以，,
解得，则，
因为为线段上的动点，
所以设，，
则，
又，
所以，
，
，
当时，的最小值为
故答案为：6，
25．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，若，则的最小值是____，最大值是____.
【答案】         
【解析】
【分析】
先求出，设，，建立坐标系，求出和的坐标，设，利用平面向量数量积的运算得到，再利用三角函数求值域即可.
【详解】
由，，可得，令，，
以的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则，

设，则，，所以
，
因为，所以，
所以的最小值和最大值分别为，.
故答案为：，.
26．（2019·浙江·高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
【答案】     0    
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【详解】
正方形ABCD的边长为1，可得，，
•0，

要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时








等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．
【点睛】
对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
27．（2022·浙江·高三专题练习）在中，已知，，P是斜边BC上一动点，点Q满足，若，则的最小值为______，最大值为______.
【答案】         
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，写出直线BC的方程，根据方程设点P坐标，由P点坐标写出Q的轨迹方程，利用圆的参数方程设出点Q坐标，根据已知表示出然后可得.
【详解】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，得直线BC的方程为，
则可设，其中.由，得点Q在以点P为圆心，2为半径的圆上，可设.
由，，，，
得，所以，即，
则（其中），所以，
即，故的最小值为，最大值为.
故答案为：

28．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，已知，，，当A，B运动时，周长的最大值为______；M为线段AB的中点，H为直线OC上一点，若，则的最大值为______．

【答案】     ##.     ##.
【解析】
【分析】
根据已知条件求出，根据勾股定理得到，再根据不等式知识求出的最大值即可得到周长的最大值；求出和，根据求出的最大值，根据得，得的最大值，利用与取得最大值时的条件相同可得的最大值.
【详解】
因为，，，所以，
所以，所以，
因为
，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，即周长的最大值为.
连，，如图：

因为为的中点，，，所以，
在直角三角形中，，，所以，
因为，当且仅当点、、三点共线时取等，
又因为，所以，当且仅当点与点重合时取等，此时点、、三点共线，
所以，当且仅当点、、三点共线时取等，
所以的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】
关键点点睛：分别求出与的最大值，并利用与取得最大值时的条件相同进行求解是解题关键.
29．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量满足．记与的夹角为，且，则的最小值是___，最大值是___．
【答案】     ##    
【解析】
【分析】
根据题意，设出对应向量的坐标，利用数量积的坐标运算，构造关于坐标的函数，即可求得结果.
【详解】
因为与的夹角为，且，故可设，满足题意，
此时，则，等价于；
故,
又，解得，显然，故可得，
又在单调递减，在单调递增.
故.
即的最小值为，最大值为.
故答案为：.
30．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知向量，，，则___________，___________.
【答案】         
【解析】
【分析】
求出后可猜想，由裂项相消法求和
【详解】
由题数据可得，，归纳法可得
，，，…，，
所以，
故
.
故答案为：，