2022安庆示范高中高三下学期4月联考试题数学（理）含答案

2022年安庆市示范高中高三联考试题

数学（理科）

本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数的定义域为A，集合，则（）

A．B．      C．      D．

2．已知，若复数z为纯虚数，则实数（）

A．2B．C．      D．

3．在数列中，“”是“为等比数列”的（）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件      C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

4．2021年，我国通信业积极推进网络强国和数字中国建设，5G和千兆光网等新型信息基础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅增长．截止2021年，全国电话用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话用户总数16.43亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G移动电话用户达到3.55亿户，周定电话用户总数1.81亿户，全年净减121万户．自2011年以来固定电话与移动电话普及率（单位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是（）

A．近十年以米移动电话普及率逐年递增

B．近十年以来固定电话普及率逐年递减

C．2021年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人

D．2021年固定电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点

5．已知函数的定义域为R，其图象关于原点及对称．当时，，则下列叙述错误的是（）

A．是周期函数            B．为奇函数

C．在单调递增      D．的值域为R

6．已知命题p：点在圆内，则直线与C相离；命题q：直线直线m，平面，则．下列命题正确的是（）

A．      B．      C．      D．

7．已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）

A．      B．      C．      D．

8．已知圆锥的底面半径为1，母线．过点A的平面将圆锥分成两部分，则截面椭圆周长的最小值为（）

A．B．C．D．

9．已知，设是的导函数，下列结论错误的是（）

A．将图象向左平移可得的图象      B．将图象向右平移可得的图象

C．与的图象关于对称D．与的图象关于y轴对称

10．已知m，n都是正整数，且，则（）

A．B．C．D．

11．已知抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的切线与y轴交于点T，则不能为（）

A．锐角三角形      B．直角三角形      C．等边三角形      D．不等边三角形

12．在自然界中，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等都遵循了某种数学规律，直到13世纪意大利数学家莱昂纳多·裴波那契从免子繁殖问题发现了一组神奇的数字1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，它揭示了植物生长的规律，我们将其称为裴波那契数列，该数列也可以表示为，．下面结论：①，②，③，④，则以上正确结论的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量满足，则_________．

14．已知双线的顶点分别为M、N、P为、C上一点且直线的斜率之积为3，则双曲线C的离心率为________．

15．2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛在首钢滑雪大跳台进行，在资格赛中每位选手滑跳三次，假设某运动员滑跳一次成绩超过70分的概率为，则在资格赛中该运动员超过70分的次数X的数学期望为________，其中至少有两次成绩超过70分的概率为_______．（第一空2分，第二空3分）

16．已知四棱锥的底面为矩形，，则其外接球的表面积为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

（1）求证：；

（2）若b为a，c的等差中项，且，求的面积．

18．（12分）

2022年北京冬奥会防寒服中的“神奇内芯”—仿鹅绒高保暖絮片，是国家运动员教练员比赛服装的保暖材料．该“内芯”具有超轻超薄、湿态保暖、高蓬松度等特点，其研发是国家重点研发计划“科技冬奥”重点专项之一，填补了国内空白．为了保证其质量，厂方技术员从生产的一批保暖絮片中处随机抽取了100处，分别测量了其纤维长度（单位：）的均值，并制成如下频率分布直方图：

（1）估计该批保暖絮片纤维长度的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）该批保暖絮片进人成品库之前需进行二次检验，从中随机抽取15处测量其纤维长度均值，数据如下：31.8  32.7  28.2  34.3  29.1  34.8  37.2  30.8  30.6  25.2  32.9  28.9  33.9  29.5  34.5．请问该批保暖絮片是否合格？（若二次抽检纤维长度均值满足，则认为保暖絮片合格，否则认为不合格）．

19．（12分）

如图为平行四边形，，将沿翻折到位置且．

（1）求P，C两点之间的距离；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）

已知椭圆的左，右焦点分别为、，动直线l过与C相交于A，B两点．若：是其中一个的内切圆．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求内切圆半径的最大值．

21．（12分）

已知函数，函数在处取得最大值．

（1）求a的取值范围；

（2）当时，求证：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）若过点的直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围．

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，其中．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求a的取值范围．

理科数学参考答案

1．【解析】由已知，故，故选D．

2．【解析】设，故，解得，故选C．

3．【解析】由为等比数列，则；反之不成立．故选B．

4．【解析】由题意及图表可知选A．

5．【解析】由已知可知为奇函数，在单调递增，其值域为R，故选A．

6．【解析】由已知p真q假，故为真，所以选B．

7．【解析】由于图像在二四象限，故排除AB．当时，在内极值点分别为，故选D．

8．【解析】由已知圆锥展开图圆心角．截面椭圆周长的最小值为，故选A．

9．【解析】由已知，所以，

故将图像向左平移或右移可得的图象；，所以与的图象关于y轴对称；，所以与的图像关于对称错误，故选C．

10．【解析】因为，所以，令，所以，故在上单调递增，由已知得，故，即，因为m，n都是正整数，所以选A．

11．【解析】不妨设抛物线．设，可求得切线的方程为：，可得，所以，故等腰三角形，又可以为锐角、直角及钝角，所以不可能为不等边三角形，故选D．

12．【解析】由己知，累加得由，累加得；由，累加整理得；因为，

，故选A．

13．【答案】【解析】由得．

14．【答案】2  【解所】设，则．由已知得，即．故，所以．

15．【答案】【解析】假设该运动员在3次滑跳中有X次成绩超过70分，则，则，该运动员至少有两次成绩超过70分的概率为．

16．【答案】【解析】如图取中点E，底面中心为，外接球的球心为O，则底面．由已知得．设球的半径为R，．

在直角梯形中，．

在直角中，，联立得，即，故球的表面积为．

17．【解析】（1）由已知及正弦定理得      2分

又

代入上式得，即      4分

又，显然，所以，故      5分

（2）由（1）知，因为为a，c的等差中项，

不妨设

由余弦定理得，

整理得：①            7分

由已知得，②            9分

由①②联立，整理得：，所以．      10分

所以．的面积为      12分

18．【解析】（1）由频率分布直方图可得，纤维长度区间是、、、、、、、的频率分别为0.04、0.09、0.16、0.24、0.18、0.14、0.10、0.05，对应的频数分别4、9、16、24、18、14、10、5      2分

故样本均值为：

      4分

样本方差为      6分

所以估计该保暖絮片的纤维长度的平均数为，方差为       8分

（2）二次抽检纤维长度均值

      10分

故，所以该批保暖絮片合格            12分

19．【解析】（1）延长到E，使，连接．

由己知得为平行四边形，故．

又，所以，

由已知，故平面，      3分

所以平面，所以

因为，所以，又，

所以为等边三角形，故．

又，所以      5分

（2）由（1）知为矩形，取中点O，连接．

以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，如图．

则．

．      7分

设平面的法向量为，则

即，取，故      9分

设平面的法向量为，则

即，取，故

所以      11分

由已知二面角为钝角，故二面角的余弦值为      12分

20．【解析】（1）因已知方程为：，圆心，半径为．

因为是其中一个的内切圆，所以．

所以直线的方程为，故      2分

设方程为：，则

解得，不妨取方程为：，

与联立可得，同理得      4分

又．

由椭圆定义知：，故．

所以椭圆C的方程为．      6分

解法二：由已知方程为：，圆心，半径为．

由已知得，故．      2分

由，      4分

解得

故，所以．．

所以椭圆C的方程为．      6分

（2）设内切圆半径为R，面积为S，，

则，又．

所以      8分

设直线l的方程为：，

与椭圆联立整理得，

则．由，

所以

所以，      10分

令，则，

当且仅当即时取等号．故内切圆半径的最大值为1      12分

21．【解析】（1）显然，由已知得．

故．            2分

若，当时，；当正数时，．

有最小值，不符合题意．

若，当时，；当时，．

有最大值．故a的取值范围为．      4分

（2）由（1）知，当时，，所以．

当时，因为，只需证，

即证            6分

令，

设，

故在上为增函数．            8分

所以，

所以存在，使得，此时．

当时，，即；当时，，即．

故．      10分

又因为在为减函数，且，

所以

故当时，，即，所以．

综上，当时，．            12分

（第二问中：若出现，其中证明：，也证明得到结论的不扣分；都没有证明的扣2分）

解法二：由（1）知，当时，，所以．

当时，因为，只需证，

即证．      6分

令在上单递增，

所以；      8分

令，由得．

当时，单调递增；

当时，单调递减．

当时，，故      10分

所以

综上，当时，      12分

另可以证明：（参考文科答案），给出相应的分数．

22．【解析】（1）由，故，因为      2分

所以曲线C的普通方程为，即．      4分

（2）设直线l的倾斜角为，

则直线l的参数方程为（t是参数），      6分

代入化简得：

由得

设其两根分别为，则      9分

由参数的几何意义知，

又，其中，

所以，故

故到的取值范围为      10分

23．【解析】（1）当时，      2分

故原不等式等价于①或②或③

解①得：；解②得：；解③得：      4分

综上：不等式的解集为      5分

（2）当时，；当时，

所以在单调递增，在上单调递减，      7分

由时，，

故即，      9分

解得，故．

故a的取值范围为．            10分