2022长春高三下学期线上质量监测（三）（三模）数学（理）含答案

长春市2022届高三质量监测（三）线上考试

理科数学

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合，则（）

A.  B.

C.  D.

【1题答案】

【答案】B

2. 在复平面内，复数对应的点坐标为（）

A B.

C.  D.

【2题答案】

【答案】A

3. 已知，则“”是“”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【3题答案】

【答案】A

4. 抛物线过点，则的准线方程为()

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】B

5. 已知平面向量，满足，，且与夹角为，则（）

A.  B.  C.  D. 3

【5题答案】

【答案】A

6. 某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评．工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法正确的是（）

A. 甲、乙两个街道的测评分数的极差相等

B. 甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等

C. 街道乙的测评分数的众数为87

D. 甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大

【6题答案】

【答案】D

7. 设，若，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】C

8. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则的值可以为

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

9. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有种

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】A

10. 已知函数满足，当时，，那么（）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】A

11. 已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】B

12. 如图是某个四面体的三视图，若在该四面体内任取一点P，则点P落在该四面体内切球内部的概率为（）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】D

二､填空题：本题共4小题，每小题5分.

13. 已知，则的值为______．

【13题答案】

【答案】

14. 已知数列是首项为3，公比为等比数列，是其前项的和，若，则___________；___________.

【14题答案】

【答案】    ①.     ②. ##

15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=___________.

【15题答案】

【答案】##

16. 如图，在边长为2的正方体中，点P是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：

①

②面积的最大值是

③面积的最小值是

④当时，平面平面

其中所有正确结论的序号是___________.

【16题答案】

【答案】①②④

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 设数列的前n项和为，且，在正项等比数列中，，.

 (1) 求和的通项公式；

 (2) 设，求数列的前n项和.

【17题答案】

【答案】(1) (2)

18. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到频率分布直方图：

（1）求a的值；

（2）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；

（3）现将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取10人，用X表示其成绩在[90，100]中的人数，求X数学期望及方差.

【18~20题答案】

【答案】（1）0.014

（2）72.6    （3），

19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，平面ADP⊥平面ABCD，点E､F分别为PD､BC的中点.

（1）求证：AE⊥DF；

（2）当二面角C-EF-D的余弦值为时，求棱PB的长度.

【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

20. 已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，求证：.

【20~21题答案】

【答案】（1）

（2）证明见解析

21. 已知函数.

（Ⅰ）求证：函数有唯一零点；

（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

【21题答案】

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(α为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos ＝－，曲线C3：ρ＝2sin θ.

(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；

(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．

【22题答案】

【答案】(1) M(－1,0);(2).

23.  已知函数

（1）解不等式.

（2）若不等式有解，求实数的取值范围.

【23题答案】

【答案】（1）；（2）.