2022甘肃省高三下学期第二次高考诊断考试数学（文）含答案

2022年甘肃省第二次高考诊断考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数（为虚数单位）的虚部为（）

A.2    B.1    C.   D.

2.已知集合，则（）

A.    B.    C.    D.

3.正项等比数列满足，则的前7项和（）

A.126    B.252    C.254    D.256

4.2021年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步䧕轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.各地积极推进“双减”工作，义务教育阶段学生负担得到有效减轻.下表是某校七年级10名学生“双减”前后课外自主活动时间的随机调查情况（单位：小时）.

设“双减”前､后这两组数据的平均数分别是，标准差分别是，则下列关系正确的是（）

A.    B.

C.    D.

5.函数的部分图象可能是（）

A.    B.

C.    D.

6.正方体上的点M，N，P，Q是其所在核的中点，则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是（）

A.    B.

C.    D.

7.为纪念2022北京冬奥会成功举办，中国邮政发行了一组纪念邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”､冬残奥会会徽“飞跃”､冬奥会吉祥物"冰墩墩”､冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现从这套5枚纪念邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）

A.B.C.D.

8.已知命题：若表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是的充要条件；命题：“若，则，使成立”的命题否定的“若，则，都有成立”.则下列命题中为真命题的是（）

A.B.C.D.

9.点是圆上任意一点.则点到妬曲线渐近线距离的最小值是（）

A.B.C.1D.

10.数列满足，且，则（）

A.4043B.4044C.2021D.2022

11.定义在上的函数在区间上单调递增.且的图象关于对称，则下列结论不正确的是（）

A.是偶函数

B.荖.则

C.

D.

12.经过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于不同的点，抛物线在处的切线分别为，若和相交于点，则（）

A.B.C.D.4

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量的夹角为，若，则实数__________.

14.建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收人已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中__________；__________；__________.

15.函数其中常数，且.若，则实数__________.

16.三棱锥中，底面为等边三角形，侧棱长相等，到底面的距离为2，则该三棱锥外接球的体积为__________.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

如图，在圆内接四边形中，，且依次成等差数列.

（1）求边的长；

（2）求四边形周长的最大值.

18.（本小题满分12分）

人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年-2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码（2015年用1表示，2016年用2表示，依次类推），用y表示市场规模（单位：亿元），试回答：

（1）根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱（精确到小数点后2位）；

（2）若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此预测2022年中国人工智能教育市场规模（精确到1亿元）.

附：线性回归方程：，其中

相关系数：

参考数据：

19.（本小题满分12分）

风筝起源于春秋时期，是中国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸鸢”，虽经变迁，但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥，其中于平面.

（1）求证：；

（2）若，为使风筝保持最大张力，平面与底面所成二面角的正切值应为，求此时到㡳面的距离.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形.且椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，关于原点的对称点，直线与轴分别交于两点，求证.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若函数，证明：当时，.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂､多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）已知点，曲线与曲线相交于两点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知是正实数，设，求证：

（1）；

（2）.

2022年甘肃省第一次高考诊䉼文科数学考试参考答案及评分标准

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D  2.B  3.C  4.A  5.D  6.B  7.C  8.C  9.A  10.A  11.D  12.A

12.提示：设切点，则切线的方程为：，同理切线的方程为：，联立方程解得交点.又焦点为，故直线方程为：，代入，化简得，由此可得，所以，由两点距离公式得.故选A.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.  14.  15.  16.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本题满分12分）

解：（1）因为依次成等差数列，所以，又，所以.

又，则由余弦定理得，

所以.

（2）由圆内接四边形性质及，知.

在中，由余弦定理得

又因为（当且仅当时“=”成立），

所以，即，则四边形周长最大值10.

18.（本题满分12分）

解：（1）因为，

所以相关系数，

因为相关系数，所以与具有线性相关关系，且正相关很强分

（2）设关于的线性回归方程为，

，

所以关于的线性回归方程为.

把代入得（亿元）.

故据此预测2022年中国人工智能教育市场规模将达到约2677亿元.

19.（本题满分12分）

解：（1）证明：因平面平面，

所以.

又平面平

面，所以平面.

又平面，所以.

（2）由，得.

作于，连接，由平面，知，又，

所以平面.

又平面，所以，故是二面角的平面角，故此时，又，所以此时到底面的距离

20.（本题满分12分）

解：（1）设椭圆上下顶点分别为，左焦点为，则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，将代入椭圆方程，可得，解得，所以椭圆方程为.

（2）设，则，

将直线代入椭圆方程，得，

其判别式，即，

方法一要证，只需证直线与直线的斜率互为相反数，即证

，

，

所以

方法二设，要证，即证.

直线的方程为，令，得，

直线的方程为，令，得.则

，

即.所以.

21.（本题满分12分）

解：（1）的定义域.

当时，分下面三种情况讨论：

①当时，恒成立，所以在单调递增；

②当时，，令，得，或，所以在和单调递增，在单调递减；

③当时，，令，得，或，所以在和单调递增，在单调递减.

综上，当时，在和为增函数，在为减函数；时，在为增函数；当时，在和为增函数，在为减函数.

（2）当时，要证明，

即证.

设，则，又函数在为增函数，而，所以存在，使得，且有，所以在为减函数，在为增函数.

所以，

令，显然在为减函数，所以，

即，而，所以，

即，

故当时，恒成立.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂､多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22.（本题满分10分）

解：（1）因为，所以，

将代入可得的直角坐标方程为.

消去中的参数得的直角坐标方程为.

（2）的参数方程为（为参数），将曲线的参数方程代入的普通方程得，令由韦达定理，则有.

23.（本题满分10分）

证明：（1）是正实数，，

（当且仅当时“=”成立）.

（2）是正实数，，

要证，

只需证，

即，

即，

即，

而

，

（当且仅当时“=”成立）.