2022宁波高三下学期4月二模考试数学试题含答案

这是一份2022宁波高三下学期4月二模考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁波市2021学年第二学期高考模拟考试高三数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高；锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高；台体的体积公式：，其中，分别表示台体上、下底面积，表示台体的高；球的表面积公式：，球的体积公式：，其中表示球的半径；如果事件，互斥，那么；如果事件，相互独立，那么；如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．第I卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．3．已知，为实数，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分又不必要条件4．若实数，满足约束条件则的最大值是（    ）A．5 B．7 C．9 D．115．的展开式中的系数是（    ）A．10 B． C． D．6．函数的图象大致是（    ）A． B．C．  D．7．如图，在正三棱台中，，，．，分别是，的中点，则（    ）A．直线平面，直线与垂直B．直线平面，直线与所成角的大小是C．直线与平面相交，直线与垂直D．直线与平面相交，直线与所成角的大小是8．正实数，，互不相等且满足，则下列结论成立的是（    ）A． B． C． D．9．已知平面向量，，满足，，，（，）．当时，（    ）A． B． C． D．10．已知数列满足，．若对恒成立，则正实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．若复数（为虚数单位），则等于______．12．2022年北京冬奥会开幕式以中国传统24节气作为倒计时进入，草木生长的勃勃生机拉开春意盎然的开幕式序幕．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长与最短的日子分别被定为冬至与夏至，其日影长分别为13.5尺与1.5尺．从冬至到夏至，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至这十三个节气，其日影长依次成等差数列，则北京冬奥会开幕日（立春）的日影长是______尺．13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是______，表面积（单位：）是______．14．一个袋中装有大小质地完全相同的个红球和个白球，从中任取3个球．记取出的白球个数为，若，则______，______．15．如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则______，的面积是______．16．设，函数若函数的最小值为0，则的取值范围是______；若函数有4个零点，则的值是______．17．已知点是椭圆：的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求函数在的取值范围．19．如图，在四棱锥中，，均为等边三角形，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，分别是，的中点，在边上，且．求直线与平面所成角的正弦值．20．在正项等比数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求数列的前项和．21．已知点在抛物线上，点（其中）．如图过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在点的上方），直线与抛物线交于另一点．（Ⅰ）记，当时，求的值；（Ⅱ）若面积大于27，求的取值范围．22．设实数，函数．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）若存在，满足，，且，求的取值范围．（注：是自然对数的底数） 宁波市2021学年第二学期高考模拟考试高三数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678910答案BCACDDBAAB9．解析：作，，，由题意，设直线与直线交于点，∵（，），∴点在线段上（不含端点）又，结合等和线性质，可知作于，于，有，记①当点在线段上时，，由，得，可解得，进而有此时，，（注：点为线段的中点，在线段上，符合题意）可得，所以②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，．10．解析：令，则问题转化为，，且．当时，则，不符合题意；当时，首先，解得．当时，由数归法可知：，其中满足．所以．令，，则，所以先增后减．所以．所以．当时，设满足，则存在，此时，不符合题意．综上，正实数的取值范围是，故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．    12．    13．60，14．2，215．，16．，17．16．解析：（1）要使的最小值为0，则当时，有解，即有解，所以．（2）当时，的解为；当时，有三个解．若，则至多只有两个解，不符合题意，所以．所以有，解得．17．解析：要使，只要，只要，即只要．∵直线方程为：，，得，即------（*）注意到为方程（*）的一个根，故，所以点，可得，进而有解不等式，得，所以离心率的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：（Ⅰ）因为，所以，函数的单调递增区间为，；（Ⅱ）因为，所以，因此函数在的取值范围为．19．（Ⅰ）证明：取中点，因为，均为等边三角形，，所以，，三点共线，且，，又，所以平面，即平面．（Ⅱ）如图以、的交点为坐标原点建立空间直角坐标系．设，则，，，，则，设平面的法向量为，即，令，则，，即设直线与平面所成的线面角大小为，则，因此直线与平面所成的线面角的正弦值．法二：易得点在底面上的投影为的中心．如图建立空间直角坐标系．设，则，，，，则，，，于是，，．设平面的法向量为，即，取．设直线与平面所成的线面角大小为，则．因此直线与平面所成的线面角的正弦值．法三：易得点在底面上的投影为的中心．由几何关系可知：三点共线，且，．又易得，所以．所以面，面面．点到面的距离，点到面的距离．设，则．在中，，代入数据得：，解得：．设直线与平面所成的线面角大小为，则，因此直线与平面所成的线面角的正弦值．20．解析：（1）设公比为，由题，解得或（舍）．所以．（2）因为，所以令，则所以令，．则．则作差可得：所以所以．21．解析：（1）由题可知：，所以，．当时，，，联立解得：，．∴，又∴．所以．（Ⅱ）设，，则．令，则，即．．联立得：．∴．而，∴因为且，所以．所以．令，则．∴在上单调递减．又当时，．所以当时，．∴．22．解析：（Ⅰ）当时，，由于，在上均为增函数，可知在上单调递增．又，故在上“”，在上“”，所以在上单调递减，在上单调递增，因此，的极小值为．（Ⅱ）由题意，得同（Ⅰ）分析，可知存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增．记，可知当时，，注意到当时，若恒大于，则等价于----（*）又由，得，代入（*），得，解得，所以下面证明恒成立．先证．令，由，得，求导得令，，考虑函数由，得，所以————①由于对任意成立，分别取和，得，，上述两式相加，得所以————②将①，②两式代入，得又由，得，分别取和，得，从而，也即，所以在上单调递减∵，，∴又∵，，在上单调递增，∴故有再证由于对任意成立，分别取和，得，，上述两式相加，得又由，得，故有．因此，．