数学必修 第二册1.7 平面向量的应用举例教案及反思

平面向量应用举例

【教学目标】

1.掌握用向量解决几何问题。

2.体会将几何问题与代数问题相互转化的思想。

3.通过观察、推理，培养学生严谨的数学逻辑思维。

【教学重点】  用向量解决几何问题。

【教学难点】  几何与代数之间的相互转化。

【教学方法】  启发式教学

【教学手段】  黑板、课件、课案.

【核心素养】  逻辑推理，数学运算

【教学过程】

一、情境引入

例1：如图，△ABC是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点，求的最小值。

解析：要想求的最小值，就得将表示出来，那么我们看如何将表示出来呢？我们取等边△ABC的中心O，记

所以我们将用和来表示出来。因为和之间是有联系的。所以

所以。于是，当时，取最小值。

又因为等边△ABC边长为2，所以|OA|=||=。即。也就是说当p是线段OA的四等分点时，取最小值。

分析：在这道题中，我们的思路就是将所求目标表示出来，在根据所表示出来的表达式求最小值。这道题的难点就在于如何将所求目标表达出来，我们选取了等边△ABC的中心O，并记它们相互之间是有关联的。

〖设计意图〗这道题目是直接让求向量的最小值。根据题目，学生就会将几何问题，先用向量表示出来，再进行解题。

二、自主探究

例2：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC与M，N。求证：M，N三等分AC。
 

解析：先证N三等分AC。也就是说要证明。

根据题意可以得到：。又根据题目可以知道与共线，与共线，与不共线。所以。于是我们就证明出了N是AC的三等分点。

用类似的方法可证明M三等分AC，只需要证明出即可。

〖设计意图〗根据上一道例题的引入，学生已经初步具有了将几何问题用向量解决的思想，在教师的带领下，共同完成例题，可以帮助学生建立几何问题代数化的思想。

三、巩固应用

例3：如图，一个物体用两根绳子悬挂起来。已知物体所受重力G大小为20N，两根绳子与铅垂线的夹角分别为与，求这两根绳子所受力的大小（精确到0.1N）。

解析：方法1. 如图，以，的公共作用点O为原点，以水平方向为x轴，以铅垂线方向为y轴，建立平面直角坐标系。

由题意知，的 合力的大小为20N，方向与重力方向相反，即为y轴正方向，因此的坐标为（0,20）。

设

又因为，则：

解得

方法2. 如图，

在△OAC中，∠AOC=，∠ACO=，所以∠CAO=.

而，由正弦定理知：.

经计算得到：

因此，这两根绳子所受力的大小分别约为

〖设计意图〗巩固本节课所学知识，强化几何问题和代数问题的相互转化。

四、课堂总结

通过刚刚的几个例子，可以看出，向量是将几何问题代数化很好的办法，通过将几何模型用向量表示出来，就能把问题简化，从而进行解答。

在课堂的最后进行归纳总结，让学生对解决几何问题有了新的认识，掌握了新的解决几何问题的方法。