高中数学第六章 概率1 随机事件的条件概率1.2 乘法公式与事件的独立性课后复习题

6.1.2　乘法公式与事件的独立性

1.第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则第一、二次均取到白球的概率为              (　　)

A B 

C D

【答案】B

【解析】记Ai表示“第i次取得白球”，i=1，2，则P(A1)=，P(A2|A1)=，由乘法公式求得，P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=

2.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为              (　　)

A.1-a-b 

B.1-ab

C.(1-a)(1-b) 

D.1-(1-a)(1-b)

【答案】C

【解析】设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).

3.下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)

A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”

B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”

C.掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”

D.A表示“人能活到20岁”，B表示“人能活到50岁”

【答案】A

【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件;B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立;对于C，A，B应为对立事件，不相互独立;D是条件概率，事件B受事件A的影响.故选A.

4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)

A B 

C D

【答案】C

【解析】依题意得P(A)=，P(B)=，事件A，B中至少有一件发生的概率等于1-P()=1-P()P()=1-

5.甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是(　　)

A B 

C D

【答案】A

【解析】由题意，因为甲或乙的贺年卡送给其中一个人的概率都是，故分两种情况:甲、乙将贺年卡送给丙的概率为;甲、乙将贺年卡送给丁的概率为，则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为

6.若0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B).若P()=0.6，P(B|)=0.2，则P(AB)等于(　　)

A.0.12 B.0.8 C.0.32 D.0.08

【答案】D

【解析】由P(B|A)=P(B)可知事件A，B相互独立，∴P(B|)=P(B)=0.2.又P()=0.6，∴P(A)=0.4，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.2=0.08.

7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为　　　　. 

【答案】

【解析】“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)=，P(C)=，“能配成A型螺栓”为事件D.所以P(D)=P(BC)=P(B)P(C)=

8.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　. 

【答案】0.46

【解析】设“同学甲答对第i个问题”为事件Ai(i=1，2，3)，则P(A1)=0.8，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事件A1A2A3∪A1A3A2A3发生，故所求概率为P=P(A1A2A3∪A1A3A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.

9.生产同一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲，乙机床生产的产品中各任取1件，求:

(1)至少有1件废品的概率;

(2)恰有1件废品的概率.

解“从甲机床生产的产品中取1件是废品”记为事件A，“从乙机床生产的产品中取1件是废品”记为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)=0.04，P(B)=0.05.

(1)设“至少有1件废品”为事件C，则P(C)=1-P()=1-P()P()=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.

(2)设“恰有1件废品”为事件D，则P(D)=P(A )+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.

10.掷一枚硬币两次，设事件A表示“第一次出现正面”，B表示“第二次出现反面”，则有(　　)

A.A与B相互独立

B.P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.A与B互斥

D.P(AB)=

【答案】A

【解析】对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确.对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，故选项B，C不正确.对于选项D，由于A与B相互独立，因此P(AB)=P(A)P(B)=，所以D不正确.

11.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是(　　)

A B 

C D

【答案】D

【解析】由P(A)=P(B)，得P(A)P()=P(B)P()，即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)]，所以P(A)=P(B).又P()=，所以P()=P()=，所以P(A)=

12.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　)

A B C D

【答案】C

【解析】设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B，由题意，可得P(A)=，P(B|A)=，则P(AB)=P(B|A)P(A)=，所以两次都取到红球的概率是

13.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，若现从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　)

A.2个球都是红球的概率为

B.2个球不都是红球的概率为

C.至少有1个红球的概率为

D.2个球中恰有1个红球的概率为

【答案】ACD

【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)=，P(A2)=，且A1，A2相互独立;在选项A中，2个球都是红球为事件A1A2，其概率为，选项A正确;在选项B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，选项B错误;在选项C中，2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-，选项C正确;在选项D中，2个球中恰有1个红球的概率为，选项D正确.

14.(多选题)在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现，上、下两学期成绩均得优的学生占5%，仅上学期得优的占7.9%，仅下学期得优的占8.9%，则(　　)

A.已知某学生上学期得优，则下学期也得优的概率约为0.388

B.已知某学生上学期得优，则下学期也得优的概率约为0.139

C.上、下两学期均未得优的概率约为0.782

D.上、下两学期均未得优的概率约为0.95

【答案】AC

【解析】设事件A表示“上学期数学成绩得优”，事件B表示“下学期数学成绩得优”，则P(AB)=0.05，P(A)=0.079，P(B)=0.089，所以P(A)=P(AB)+P(A)=0.05+0.079=0.129，P(B)=P(AB)+P(B)=0.05+0.089=0.139，P(B|A)=0.388，P(B|)=0.102，P()=P()P()≈(1-0.129)×(1-0.102)≈0.782.

15.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第三次首次测到次品的概率为　　　　. 

【答案】

【解析】第三次首次测到次品，所以第一次和第二次测到的都是正品，第三次测到的是次品，所以第三次首次测到次品的概率为

16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为　　　　. 

【答案】

【解析】由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为

设“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A，

则P(A)=，

即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为

17.从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张，设A表示“抽到K”，B表示“抽到红牌”，C表示“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?

(1)A与B;

(2)C与A.

解(1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，则抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件.

以下考虑它们是否为相互独立事件:

抽到K的概率为P(A)=，

抽到红牌的概率为P(B)=，

则P(A)P(B)=，事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)=，从而有P(A)P(B)=P(AB)，因此A与B相互独立.

(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥.

由于P(A)=0，P(C)=0，而P(AC)=0，所以A与C不是相互独立事件.

又抽不到K不一定抽到J，故A与C不是对立事件.

18.甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求:

(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率;

(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;

(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

解记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，

依题意得P(Ai)=0.7，P(Bi)=0.6，且Ai，Bi相互独立.

(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件A3，且这三次试跳相互独立.

∴P(A3)=P()P()P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.

(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.

P(C)=1-P()P()=1-0.3×0.4=0.88.

(3)记“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i=0，1，2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0，1，2)，

∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，且M1N0，M2N1为互斥事件，则所求的概率为

P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)

=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)

=0.7×0.3×0.42+0.720.6×0.4

=0.067 2+0.235 2=0.302 4.

∴甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.