初中数学苏科版七年级下册10.2 二元一次方程组教学设计

“二元一次方程组”小结与思考

一、总体设计意图

“二元一次方程组小结与思考”是“苏科版教材七年级下册的教学内容．方程（方程组）是初中阶段数学学科的核心内容，“二元一次方程组”是在学生掌握了一元一次方程有关知识的基础上进行学习的，学生已初步认识到方程是刻画现实世界的有效数学模型，能从现实问题中确定相等关系，列出一元一次方程，解一元一次方程，从而解决了实际问题．然而面对较复杂的问题，通过列出二元一次方程组来解决将更为方便，不过从问题中确定两个相等关系又将是要面临的挑战．本章的复习旨在通过一条主线将二元一次方、二元一次方组、二元一次方组的解、用二元一次方组解决问题等知识“串”起来，以达到理解概念、复习知识、解决问题的目的．

1. 教学内容：尽可能以实际生活或学生学过的相关内容为问题情境呈现，给学生亲切感，提高学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，二元一次方组是刻画现实世界的一个有效数学模型，从而体会学习数学的价值．

2. 组织形式：本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生通过对本章知识的回忆，建立合理的知识结构，形成“二元一次方组”相关的知识网络．对实际问题的解决，力求学生理性思考，共同交流、探索，从而解决问题．

3. 学习方式：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动脑思考、自主探索是学生学习数学的重要方式．本章的复习不是简单的知识重复，而是学生认知的补充、深化和提高．

4. 评价方式：本章的复习关注学生是否积极参与课堂活动；关注学生是否主动反思平时学习中的不足，明晰错误，及时纠正；关注学生是否能在问题解决的过程中表达对概念、方法的理解；关注学生是否能从实际问题到二元一次方组模型，再用二元一次方组模型解决实际问题的过程．

二、教学目标及教学重（难）点

教学目标：

1．进一步理解本章的有关内容，能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单实际问题，并能检验的合理性；

2．反思本章的学习过程，进一步感受解二元一次方程组的“消元”思想，以及化“未知”为“已知”的化归思想.

教学重点：梳理本章所学知识，建立一定的知识体系，巩固所学知识，加强应用.

教学难点：体会二元一次方程组是刻画现实世界的有效数学模型.

三、教学过程设计

1．问题情境

现有一根11 m长的绳子．

（1）如果剪成两段，每一段长度是多少？

（2）如果剪成两段，长度都是正整数，怎样剪？

（3）如果剪成两段，且长的一段是短的一段的2倍，怎样剪？

（4）如果用这根绳子围成一个长方形，且长方形的长比宽的2倍多1米，求这个长方形的长与宽.

（5）如果剪成三段，且首尾顺次相接组成一个三角形，其中两边的和等于第三边的2倍，而这两边的差等于第三边的，怎样剪？

【有效性分析】本章复习以学生熟悉的问题情境引入学习主题，让学生体验用数学知识解决实际问题的过程．一方面，培养学生善于积极思考，积极应用所学知识解决问题的好习惯；另一方面，也使他们体会数学在实际生活中的应用，数学是应用的数学.

2．建构活动

（1）现有一根11m长的绳子．

①如果剪成两段，每一段长度是多少？

解：设两段绳子的长度分别为x m，y m，根据题意，得x＋y＝11.

显然，这个由两个未知数组成，并且未知数的项的次数是1的方程是二元一次方程，二元一次方程有无数组解．

②如果剪成两段，长度都是正整数，怎样剪？

解：由x＋y＝11得，  

显然，二元一次方程的正整数是有限的，但可能不唯一.

③如果剪成两段，且长的一段是短的一段的2倍，怎样剪？

解：设长的一段为为x m，短的一段为y m.根据题意，得

显然，这种含有两个未知数的两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组，二元一次方程组的解是唯一的.

④如果用这根绳子围成一个长方形，且长方形的长比宽的2倍多1米，求这个长方形的长与宽.

解：设这个长方形的长为x m，宽为y m.根据题意，得

⑤如果剪成三段，且首尾顺次相接组成一个三角形，其中两边的和等于第三边的2倍，而这两边的差等于第三边的，怎样剪？

解法一：设剪成的两段长分别为x m、y m．根据题意，得.

解法二：设剪成的三段长分别为为x m、y m、z m．根据题意，得

观察：解法一与解法二所列方程组有何区别，怎样将解法二所列方程组转化为解法一所列方程组？

【有效性分析】此问题的设计，既是对问题情境的“呼应”，又是三元一次方程组概念引出的简单“铺垫”．

（2）解下列二元一次方程组：

解二元一次方程组时，一定要注意选择简单的方法.但无论哪种方法，其最基本的思路是一致的，即将二元一次方程组转化为一次方程，起到“消元”的目的，以便将“复杂问题”转化为“简单问题”

【有效性分析】此板块的设计关注知识的建构过程，以“二元一次方程→二元一次方程的不定解→二元一次方程组→二元一次方程组的解”为主线，让学生体会知识间的内在联系，建立合理的知识结构，形成知识网络．

3．数学化认识

本章知识结构图：

【有效性分析】此板块的设计关注知识的提炼过程，在本章内容整体认识的基础上，疏理出起奠基作用和桥梁作用的核心内容、核心思想方法，其价值取向是让学生认识本章节内容的逻辑知识主线和思维方法主线．

4．基础性训练

应用一

（1）已知x与y互为相反数，且3x－y＝4，求x、y的值．

（2）已知｜x＋y｜+(x－y＋3)2＝0 ，求x、y的值.

（3）当x＝2和x＝3时，二次三项式x2＋px＋q的值等于零，求p，q的值．

（4）关于x、y的方程组 的解是求a，b的值．

【有效性分析】上述三个问题只要学生将方程组列出来即可.这三个问题的设计，关注问题的层次性。对于数学中经常出现的“两个量的关系”问题，常常可以建立“二元一次方程组”来解决.

应用二

（5）用绳子测量井深，把绳子三折测量，井外余4尺；把绳子四折测量，井外余1尺，求井深和绳子长.

解：设井深x尺，绳长y尺. 根据题意，得

【有效性分析】对于实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组解决问题，是一种非

常有效的方法.和用一元一次方程解决问题一样，最重要的是理解题意，找出能够表示实际问题意义的两个相等关系，然后再设未知数、列方程组、解方程组、答等.我们发现用二元一次方程组解决问题有时比用一元一次方程解决问题更直接，方法也更多样、更简单.

应用三

（6）如图，周长为68 cm的长方形ABCD被分成7个相同的长方形．求长方形ABCD的面积．

解：设长方形ABCD的长为x cm，宽为y cm. 根据题意，得

【有效性分析】对于一些几何问题中的数量关系，常常可以建立“二元一次方程组”解决问题.比如几何中图形问题:隐含三角形内角和是180°、三角形的外角等于两个不相邻的内角和等知识.

5.拓展与延伸

根据一家商店的账本记录，某天卖出39支牙刷和21支牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28支牙膏，收入508元．这个记录是否有误？说明理由．

解：设一支牙刷x元，一支牙膏y元.

        根据题意，得化简得

显然，原方程组无解。所以这个记录是有误的。

二元一次方程组解决问题时，要注意下面的过程：

【有效性分析】根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决问题，一定要关注方程组解的合理性，关注解决问题策略的多样性，关注思维的灵活性．

四、教学反思

“小结与思考”既要梳理知识，又要利用所学知识解决问题。“二元一次方程组”在“数与式”领域占有非常重要的地位，“二元一次方程组小结与思考”的教学，就是要使学生对本章内容形成一定的知识体系，从而领会二元一次方程组是解决实际问题的一个有效模型。

在实际教学中，学生对二元一次方程、二元一次方程的不定解、二元一次方程组、二元一次方程组的解等概念的理解是容易混淆的，利用“一根绳子”这条主线将几个概念串起来，对学生的理解是非常有益的。

本节教学在学生经历了几个概念辨析后，很自然从“知识体系”的角度来认识二元一次方程组，从“解决问题”的角度来应用二元一次方程组、验证解得合理性。本节设计了几个不同类型的练习，先让学生体验，再引导学生归纳结论，使学生的思维活跃起来，这种呈现知识的形式符合学生的认知规律。而三元一次方程组的出现只是本节复习的拓展与提高，学生可以按“消元”“化归”的思想，化“三元”为“二元”，化“二元”为“一元”。

 二元一次方程组是处理问题的一种很好的途径，而二元一次方程组又是这种途径必须要掌握的。在实际复习中，可以结合学生平时学习或作业中出现的问题，增加1课时的教学复习用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，了解 “消元 ”思想。

这节复习课较好地体现了教材的编写意图，结合实际，不误时机地对学生进行“消元、化归”等思想方法的教学，教师注重知识形成过程的教学，突出学生思维活动这条主线，师生互动、较好地体现了“以人为本”的教学理念。

五、教学链接和相关说明

1.解方程的小软件（可以解二元一次组、三元一次方程组）：

http://www.eryi.org/blog/post/equation_software_download.html

2. 相关习题选用：

（1）方程x＋2y＝7的正整数解有       组，分别是                ．

（2）如果是二元一次方程5x＋ay＝20的一个解，则a＝         ．

（3）解二元一次方程组

（4）已知｜x＋y｜+(x－y＋3)2＝0，求x、y的值．

（5）甲、乙两人分别从相距91 km的A，B两地同时相向而行，经过10小时两人相遇；如果甲比乙先出发4小时20分，那么乙出发8小时后两人相遇，求甲、乙二人的速度．

（6）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成9 cm、15 cm两部分，求这个等腰三角形的边长．

3.思考题选用：

现有一根11 m长的绳子．如果剪成三段，长度都是正整数，且这三段首尾顺次相接组成一个三角形，怎样剪？