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2022年重庆市江津实验中学等金砖四校中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2022年重庆市江津实验中学等金砖四校中考数学一模试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年重庆市江津实验中学等金砖四校中考数学一模试卷
副标题
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 下列几何体都是由4个相同的小正方体指成的，其中从正面和左面看到的形状图相同的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. (−2)2=−2 B. −6a6÷2a2=3a3
C. x2+3x2=4x4 D. (−2ab3)2=4a2b6
3. 下列调查中，适合普查方法的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命
B. 了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率
C. 了解全国中学生体重情况
D. 了解中央电视台《最强大脑》栏目的收视率
4. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，AB=5，则线段CD长为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 25
5. 下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是( )
A. 测量对角线是否互相平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否相等
D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
6. 若x=3是方程a−bx=4的解，则−6b+2a+2021值为( )
A. 2017 B. 2027 C. 2045 D. 2029
7. 如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD=20°，则∠BAD的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
8. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为( )
A. 3(y−2)=xx=2y−9 B. 3(y+2)=xx=2y+9 C. 3(y−2)=xx=2y+9 D. 3(y+2)=xx=2y−9
9. 在一条笔直的公路上，依次有A、B、C三地．小明、小亮从A地驾车同时出发匀速运动．小明从A地出发以2千米/分的速度到达B地后立即返回A地，到达A地后小明原地休息，小亮从A地出发途经B地前往终点C地．小明与小亮的距离s(单位：千米)和小亮所用的时间t(单位：分钟)之间的函数关系如图所示．则出发后小明从B地返回与小亮相遇时小亮距C地的距离为( )
A. 5km B. 6km C. 163km D. 143km
10. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则△BEG的面积为( )
A. 2235 B. 2135 C. 43 D. 53
11. 若数a使关于x的不等式组x−12<1+x35x−2≥x+a，有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+ay−1+2a1−y=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 定义：如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x=logaN.例如：因为72=49，所以log749=2；因为53=125，所以log5125=3.下列说法正确的序号有( )
①log66=36；②log381=4；③若log4(a+14)=2，则a=2；④log264=log232+log22
A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 2020年新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，它的直径约为0.00000012米，请把数0.00000012用科学记数法表示为______．
14. 时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”.墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是______．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在边AB上，点D在边BC上，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E，连接AD，且AD平分∠BAC.若∠BAC=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为______．
16. 2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊．当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播．开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的37，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17. 计算：
(1)(x−2y)(x+2y)−x(x−2y)；
(2)(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1．
18. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AD//BC．
(1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
19. 某中学团委在第十个“全国交通安全日”组织开展交通安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理和分析(成绩均为整数，成绩得分用x表示)，共分成五个等级．A：0≤x≤60，B：60
八年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D等级中的数据分别是：83，84，85，85，85，90，90．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
81.4
a
85
15%
八年级
83.3
85
b
25%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图，并直接写出a、b的值；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由(写出一条理由即可)；
(3)已知该校七、八年级共有1200名学生参与了知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有多少人(其中成绩大于90的为优秀)？
20. 市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4.小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线)(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高．
21. 如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x图象交于点B(−1,6)、点A，且点A的纵坐标为3．
(1)填空：k1= ______ ，b= ______ ；k2= ______ ；
(2)结合图形，直接写出k1x+b>k2x时x的取值范围；
(3)在梯形ODCA中，AC//OD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
22. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、北京冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，其可爱的形象深受大家喜爱．某商家销售两款奥运吉祥物毛绒玩具，其中“冰墩墩”毛绒玩具定价为120元/件，“雪容融”毛绒玩具定价为100元/件．
(1)若该商家按定价在九月份售出两款毛绒玩具共300件，销售总额为34000元，求九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具和“雪容融”毛绒玩具各多少件？
(2)进入十月份，商家为回馈新老客户，决定对两款毛绒玩具进行降价促销．“冰墩墩”毛绒玩具的售价比定价降低了a5元，结果十月份的销量比九月份自身销量增加了415a%；“雪容融”毛绒玩具以定价的八折销售，销量比“冰墩墩”毛绒玩具十月份的销量减少38a%，最终十月份两款毛绒玩具的销售总额比九月份销售总额增加了6000元，求a的值．
23. 一个三位数m，将m的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在m之后，得到的四位数称为m的“如虎添翼数”，将m的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为F(m).例如：m=297，∵2+9=11，∴297的“如虎添翼数”n是2971，将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、297，则F(n)=971+271+291+2973=610．
(1)258的“如虎添翼数”是______，F(258)=______；
(2)证明任意一个十位数字为0的三位数M，它的“如虎添翼数”与M的个位数字之和能被11整除；
(3)一个三位数s=100x+10y+103(x≥y且x+y≥9)，它的“如虎添翼数”t能被17整除，求F(s)的最大值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，B(52,0)，直线y=x+12与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ//y轴，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当2PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和2PG+PQ的最大值；
(3)将抛物线向右平移134个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当(2)中2PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
25. 等腰△ABC中，BA=BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED=2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
(1)如图1，当∠EBC=90°时，若∠BAD=45°，BE=23，求线段DC的长；
(2)如图2，当∠EBC>90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD=2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB−3BP=DH；
(3)如图3，在(1)问的条件下，BE上取点O，BO=3BE3，点M，N为线段BD上的两个动点(点M在点N的左侧)，连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
答案和解析
1.【答案】
A
【解析】
解：A.从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故本选项符合题意；
B.从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故本选项不符合题意；
C.从正面看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故本选项不符合题意；
D.从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，从左边看第一层是一列两个小正方形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
2.【答案】
D
【解析】
解：A．(−2)2=2，故此选项不合题意；
B.−6a6÷2a2=−3a4，故此选项不合题意；
C.x2+3x2=4x2，故此选项不合题意；
D.(−2ab3)2=4a2b6，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用二次根式的性质以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、合并同类项分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
B
【解析】
解：A.了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；
B.解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率，适合普查，故选项符合题意；
C.了解全国中学生体重情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
D.了了解中央电视台《最强大脑》栏目的收视率，适合抽样调查，故选项不符合题意；
故选：B．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】
D
【解析】
解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，
∴线段AB与线段CD的位似比为1：2，
∵AB=5，
∴CD=25，
故选：D．
根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
5.【答案】
D
【解析】
解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对边分别相等是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】
D
【解析】
解：把x=3代入方程a−bx=4得：a−3b=4，
所以−6b+2a+2021=2(a−3b)+2021=2×4+2021=8+2021=2029，
故选：D．
把x=3代入方程a−bx=4得出a−3b=4，把−6b+2a+2021变形为2(a−3b)+2021，再代入求出答案即可．
本题考查了一元一次方程的解，能够整体代入是解此题的关键．
7.【答案】
D
【解析】
解：∵AD=AD，
∴∠B=∠ACD=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−20°=70°．
故选：D．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠ACD，再根据圆周角的推论推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠ADB=90°，由∠BAD=90°−∠B代入计算即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
8.【答案】
C
【解析】
解：∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，
∴3(y−2)=x；
∵若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
∴x=2y+9．
∴可列方程组为3(y−2)=xx=2y+9．
故选：C．
根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】
D
【解析】
解：由图可知，小明到达B所用的时间为4分钟；
当小亮与小明相距8千米时，小明刚好返回A地，则此时小明行驶的总的时间为8分钟，故小亮的速度为8÷8=1千米/分，
∴C地与A地的距离为：1×10=10千米；
∴小明和小亮相遇的时间为：8×2÷(1+2)=163分钟，
出发后小明从B地返回与小亮相遇时小亮距C地的距离为：10−1×163=143(km)．
故选：D．
根据题意和函数图象可以求得小明的速度和小亮从A地到C地的时间，根据“路程=速度×时间”，本题得以解决．
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10.【答案】
B
【解析】
解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8−x，
在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8−x)2=(32x)2+(6−12x)2，
解得，x=145，即BE=145，
∴EH=32×145=735，
∴△BEG的面积为12BG⋅EH=12×6×735=2135．
故选：B．
作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，设BE=x根据勾股定理列出方程，即可解决问题．．
本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
11.【答案】
C
【解析】
解：不等式组x−12<1+x35x−2≥x+a整理得：x<5x≥a+24，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0
分式方程去分母得：y+a−2a=2(y−1)，
解得：y=2−a，
∵y≠1，
∴2−a≠1，
∴a≠1，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为−1，0，2共3个．
故选：C．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】
D
【解析】
解：∵61=6．
∴log66=1．
∴①错误．
∵34=81．
∴log381=4．
∴②正确．
∵log4(a+14)=2．
∴a+14=42．
∴a=2．
∴③正确．
∵log264=6，log232=5，log22=1．
∴④正确．
故选：D．
根据对数与幂的关系判断．
本题考查对数的运算，找到对数与幂的关系是求解本题的关键．
13.【答案】
1.2×10−7
【解析】
解：0.00000012=1.2×10−7．
故答案为：1.2×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】
19
【解析】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种，
∴墩墩和融融两人同坐2号车的概率为19，
故答案为：19．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率：利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
15.【答案】
23−23π
【解析】
解：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∴∠C=∠ODB=90°，∠CAB=∠DOB=60°，
又∵OD=2，
∴BD=3OD=23，
∴阴影部分的面积=S△OBD−S扇形DOE
=12BD⋅OD−60π×4360
=12×23×2−2π3
=23−2π3，
故答案为：23−2π3．
要求阴影部分的面积，想到连接OD，根据已知易证AC//OD，从而得∠C=∠ODB=90°，∠CAB=∠DOB=60°，然后求出BD的长，最后用直角三角形ODB的面积减去扇形DOE的面积即可解答．
本题考查了切线的性质和判定，含30度角的直角三角形，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
16.【答案】
36%
【解析】
解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：20%ax+30%ay+45%az=35%a(x+y+z)37(x+y+z)=z，
解得：x=13zy=z，
第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a=54a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为(1+20%)x=65 x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
20%×54a×65x+30%ay+50%az54a×65x+ay+az=0.3x+0.3y+0.5z1.5x+y+z=0.3×13z+0.3z+0.5z1.5×13z+z+z=36%，
故答案为：36%．
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号口罩原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得x=13zy=z；第二个季度A产品成本为(1+25%)a=54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x=65 x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可表示第二个月的总利润率．
本题考查了利用三元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键．
17.【答案】
解：(1)原式=x2−4y2−x2+2xy
=2xy−4y2．
(2)原式=[3a+1−(a−1)(a+1)a+1]÷(a−2)2a+1
=3−a2+1a+1⋅a+1(a−2)2
=4−a2a+1⋅a+1(a−2)2
=(2−a)(2+a)(a−2)2
=2+a2−a．
【解析】
(1)根据整式的加减运算、单项式乘多项式、平方差公式即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案．
本题考查平方差公式、单项式乘以多项式以及分式的混合运算，本题属于基础题型．
18.【答案】
解：(1)如图：
(2)证明：如图，连接DF，
∵AD//BC，∴∠ADE=∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE=DE．
在△ADE和△FBE中，∠ADE=∠FBEDE=BE∠AED=∠BEF，
∴△ADE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
【解析】
(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
(2)结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE=EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．
此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
19.【答案】
解：(1)年级抽取的20名学生的竞赛成绩在C等级人数为：20−1−2−7−6=4(人)，
补全条形统计图如下：
因为七年级取的20名学生的竞赛成绩从小到大排在中间的两个数分别是83，85，所以a=12×(83+85)=84；
因为八年级抽取的20名学生的竞赛成绩中85出现的次数最多，所以b=85；
(2)八年级的成绩好一些，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，故八年级的成绩好一些；
(3)1200×(20%+620)÷2=300(人)，
答：估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有300人．
【解析】
(1)根据总人数是20人，可得C组的人数为：20−1−2−7−6=4(人)，从而补全条形统计图，然后根据中位数和众数的定义求出a、b的值；
(2)根据表格中的数据，可以得到哪个年级的成绩好一些，并说明理由；
(3)用样本估计总体可得结果．
本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】
解：(1)如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
∵斜坡CB的坡比为1：2.4，
∴DMCM=12.4，
即DMCM=512，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，∵CD=13米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即(5k)2+(12k)2=132，
∴解得k=1(负值舍去)，
∴DM=5(米)，CM=12(米)．
∴D处的竖直高度为5米；
(2)设DF=12a米，则ME=12a米，BF=5a米，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE=∠ACE=45°，
∴AE=CE=(12+12a)米，
∴AF=AE−EF=AE−DM=12+12a−5=(7+12a)米．
在Rt△ADE中，
∵DF=12a米，AF=(7+12a)米，∠ADF=53°，
∴tan∠ADF=AFDF=7+12a12a=43，
∴解得a=74
∴AF=7+12a=7+12×74=28(米)，
BF=5a=5×74=354(米)，
∴AB=AF−BF=28−354=774(米)．
答：基站塔AB的高为774米．
【解析】
(1)通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i=1：2.4，CD=13，由勾股定理可求出答案；
(2)设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
21.【答案】
3 9 −6
【解析】
解：(1)∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x图象交于点B(−1,6)、A，
∴k2=−1×6=−6，
∴反比例函数y=−6x，
把y=3代入得，3=−6x，
∴x=−2，
∴A(−2,3)，
把A、B坐标代入y=k1x+b得−2k1+b=3−k1+b=6，
解得k1=3b=9，
故答案为k1=3，b=9，k2=−6，
(2)由图象可知，k1x+b>k2x时x的取值范围是−20；
(3)设点M的坐标为(m,−6m)，
∵CD⊥x轴于D，
∴D(m,0)，
∵AC//OD，A(−2,3)，
∴C(m,3)，
∴AC=−2−m，
∴CD=3，OD=−m，
∴S梯形AODC=12(AC+OD)⋅CD，
即12=12(−2−m−m)×3，
解得m=−5，
∴M点的坐标为(−5,65).
(1)根据待定系数法即可求得；
(2)根据图象即可求得；
(3)设点M的坐标为(m,−6m)，则D(m,0)，C(m,3)，即可得出AC=−2−m，CD=3，OD=−m，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键．
22.【答案】
解：(1)设九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具x件，“雪容融”毛绒玩具y件，
依题意得：x+y=300120x+100y=34000，
解得：x=200y=100．
答：九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具200件，“雪容融”毛绒玩具100件．
(2)依题意得：(120−a5)×200(1+415a%)+100×80%×200(1+415a%)(1−38a%)=34000+6000，
整理得：415a2−203a=0，
解得：a1=25，a2=0(不合题意，舍去)．
答：a的值为25．
【解析】
(1)设九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具x件，“雪容融”毛绒玩具y件，利用总价=单价×数量，结合“该商家按定价在九月份售出两款毛绒玩具共300件，销售总额为34000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用销售总额=销售单价×销售数量，结合十月份两款毛绒玩具的销售总额比九月份销售总额增加了6000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】
2587 463
【解析】
解：(1)∵2+5=7，
∴258的如虎添翼数为2587，
将2587的任意一个数位上的数字去掉后可以得到新的三位数：587；287；257；258；
F(258)=587+287+257+2583=463，
故答案为：2587；463；
(2)令M=100a+b(1≤a≤9,0≤b≤9，且a，b均为整数)，则百位数字和十位数字的和为a，
∴M的如虎添翼数为1000a+10b+a=1001a+10b，
∴其如虎添翼数和其个位数字之和为1001a+10b+b=1001a+11b，
∴(1001a+11b)÷11=91a+b，且a，b均为整数，
∴任意一个十位数字为0的三位数M，它的“如虎添翼数”与M的个位数字之和能被11整除；
(3)s=100x+10y+103=100(x+1)+10y+3，
百位数字和十位数字相加得x+y+1，
当x+y+1≥10时，
s的如虎添翼数为：
t=1000(x+1)+100y+30+x+y+1−10
=1001x+101y+1021
=17(59x+6y+60)−2x−y+1，
∵x在千位，
∴x对F(s)的大小影响较大，
∴x应取更大值，
由s是个三位数，则x+1≤9，
∴x≤8，即x最大取8，
∵x=8时，s的如虎添翼数能被17整除，则2x+y−1=2×8+y−1=15+y能被17整除，
∴y=2，
∴s=100x+10y+103=100×8+10×2+103=923，
当x+y+1≤9时，x+y≤8，
∴要x最大取8时，y只能取0，此时F(s)一定小于F(923)，
∴s=923，
∴s的如虎添翼数为9231，
∴F(s)=231+931+921+9233=1002，
即F(s)的最大值为1002．
(1)根据概念进行计算从而作出判断；
(2)令M=100a+b，然后根据概念并结合整式的加减运算进行分析证明；
(3)将s=100x+10y+103变形为s=100(x+1)+10y+3，然后结合概念表示出s的如虎添翼数，并结合整除的概念及x，y的取值范围分析其最值．
本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握整式加减的运算法则是解题关键．
24.【答案】
解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(52,0)两点，
∴a−b+c=0254a+52b+c=0，解得b=−32c=−52．
∴抛物线的解析式为：y=x2−32x−52．
(2)如图，过点P作PE//x轴交CD于点E，
∴∠DEP=45°，
∴△PGE是等腰直角三角形，
∴PE=2PG，
设点P(t,t2−32t−52)，则Q(t,0)，E(t2−32t−3,t2−32t−52)，
∴PQ=−t2+32t+52，PE=t−(t2−32t−3)=−t2+52t+3，
∴2PG+PQ=PE+PQ
=−t2+52t+3+(−t2+32t+52)
=−2(t−1)2+152，
∵−2<0，
∴当点P(1,−3)时，2PG+PQ的最大值为152．
(3)存在点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵A(−1,0)，B(52,0)，
∵原抛物线的轴对称为直线x=34
∴新抛物线的对称轴为：直线x=4，并设对称轴与x轴交于点F；
由(2)知P(1,−3)，
∴AP=22+32=13．
设点M的坐标为(4,s)，点N的坐标为(m,n)，
当AP为菱形的边时，
①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x=4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x=4于点R，如图所示，
此时PM1=PM2=AP=13，PR=3，
由勾股定理可得可得，M1R=M2R=2，
∴M1F=1，M2F=5，
∴M1(4,−1)，M2(4,−5)，
∵A(−1,0)，P(1,−3)，
∴点A向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P，
∴点M1(4,−1)向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点N1(2,2)，
同理可得，N2(2,−2)；
②以点A为圆心，AP长为半径作圆，
∵AF=5，且5>13，
∴此圆与直线x=4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．
当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为(0,−32)，如图所示，
设MN与直线x=4的交点为M3，
∵点A(−1,0)，P(1,−3)，
∴直线AP的解析式为：y=−32x−32．
∴直线MN的解析式为：y=23x−32．
∴M3(4,76)，
由中点坐标公式可知，N3(−4,−256).
综上，点N的坐标为N1(2,2)，N2(2,−2)，N3(−4,−256).
【解析】
(1)把点A(−1,0)，B(52,0)代入表达式求出b和c即可．
(2)过点P作PE//x轴交CD于点E，可得△PGE是等腰直角三角形，所以PE=2PG，则2PG+PQ=PE+PQ，求2PG+PQ的最小值，即求出PE+PQ的最小值；设点P(t,t2−32t−52)，则Q(t,0)，E(t2−32t−3,t2−32t−52)，分别表达PQ和PE，最后利用二次函数的最值问题，即可解答．
(3)由平移可知新抛物线的对称轴为：直线x=4，并设对称轴与x轴交于点F；设点M的坐标为(4,s)，点N的坐标为(m,n)，当AP为菱形的边时，①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x=4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x=4于点R，由勾股定理可得可得，M1R=M2R=2，可求出点M的坐标，再由点的平移可知，N1(2,2)，N2(2,−2)；②以点A为圆心，AP长为半径作圆，此圆与直线x=4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为(0,−32)，由点A和点P的坐标可知，直线AP的解析式为：y=−32x−32.所以直线MN的解析式为：y=23x−32.最后利用中点坐标公式可知，N3(−4,−256).
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
25.【答案】
(1)解：∵BE=23，DE=2BE，
∴DE=43，
∴∠EBC=90°，
∴BD=DE2−BE2=(43)2−(23)2=6，
∵∠ADB=90°，∠BAD=45°，
∴AB=BDsin45∘=62，
∴BC=AB=62，
∴DC=BC−BD=62−6；
(2)证明：设BF=a，则AD=2a，
∵EF平分∠BED，
∴DFBF=DEBE，
∵DE=2BE，
∴DF=2BF=2a，
∴BD=BF+DF=3a，
∵∠ADB=90°，
∴AB=AD2+BD2=13a，
∴BC=AB=13a，
∴CD=BC−BD=13a−3a，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠FGC=90°，
∴∠CFG+∠C=90°，
∴∠DAC=∠CFH，
∵AD=DF=2a，
∴△ADC≌△FDH(ASA)，
∴DH=CD=13a−3a，
∴AB−DH=13a−(13a−3a)=3a，
∵P是EF的中点，
∴EPEF=12，
∵BEDE=12，
∴EPEF=BEDE，
∵∠BEP=∠DEF，
∴△EBP∽△EFD，
∴∠EBP=∠EDF，
∵∠BFP=∠DEF+∠EDF，
∠BPF=∠BEP+∠EBP，
∴∠BFP=∠BPF，
∴BP=BF=a，
∴AB−DH=3BP，
∴AB−3BP=DH；
(3)如图，
∵BE=23，OB=33BE，
∴OB=2，
∵A′D⊥AN，
∴∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，圆心记作I，
延长OB至F，使BF=BO=2，连接FI，交BD于M，交⊙I于P，
则OM+MP的值最小，
作PH⊥BE于H交AD于G，
∵EB//AD，
∴BMDM=BFDI=23，∠PIG=∠F，
∵BD=6，
∴BM=125，
∴sinF=BMFM=125(125)2+22=661=66161，
∴PG=IP⋅sin∠PIG=3×66161=186161，
∴PH=GH−PG=6−186161，
∴S△POF=12OF⋅PH=12×4×(6−186161)=12−366161，
∵S△MOF=12OF⋅BM=12×4×125=245，
∴S△POM=(12−366161)−245=365−366161=2196−18061305．
【解析】
(1)解Rt△BED，求出BD，解Rt△ABD，求出AB，进而求得CD；
(2)根据角平分线性质，求得DF=2BF，设BF=a，表示出BD，AD，发现AD=DF=2a，进而证明△ADC≌△FDH，从而推出AB−DH=3a，从而需证明BP=BF，通过证明△BEP∽△DEF，从而证得∠EBP=∠EDF，进而证得∠BPF=∠BFP，进一步命题得证；
(3)由∠APD=90°得出点P在以AD为直径的圆上，作点O关于BD的对称点F，连接圆心I与F的线段，交BD于M，交圆于P，根据△MBF∽△MDI，求得BM，作PH//BD交BE于H，交AD于G，求出PG，从而求得PH，进而求出△POF和△MOF的面积，从而求得△OMP的面积．
本题考查了解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
2022年重庆市江津实验中学等金砖四校中考数学一模试卷
副标题
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 下列几何体都是由4个相同的小正方体指成的，其中从正面和左面看到的形状图相同的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. (−2)2=−2 B. −6a6÷2a2=3a3
C. x2+3x2=4x4 D. (−2ab3)2=4a2b6
3. 下列调查中，适合普查方法的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命
B. 了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率
C. 了解全国中学生体重情况
D. 了解中央电视台《最强大脑》栏目的收视率
4. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，AB=5，则线段CD长为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 25
5. 下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是( )
A. 测量对角线是否互相平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否相等
D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
6. 若x=3是方程a−bx=4的解，则−6b+2a+2021值为( )
A. 2017 B. 2027 C. 2045 D. 2029
7. 如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD=20°，则∠BAD的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
8. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为( )
A. 3(y−2)=xx=2y−9 B. 3(y+2)=xx=2y+9 C. 3(y−2)=xx=2y+9 D. 3(y+2)=xx=2y−9
9. 在一条笔直的公路上，依次有A、B、C三地．小明、小亮从A地驾车同时出发匀速运动．小明从A地出发以2千米/分的速度到达B地后立即返回A地，到达A地后小明原地休息，小亮从A地出发途经B地前往终点C地．小明与小亮的距离s(单位：千米)和小亮所用的时间t(单位：分钟)之间的函数关系如图所示．则出发后小明从B地返回与小亮相遇时小亮距C地的距离为( )
A. 5km B. 6km C. 163km D. 143km
10. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则△BEG的面积为( )
A. 2235 B. 2135 C. 43 D. 53
11. 若数a使关于x的不等式组x−12<1+x35x−2≥x+a，有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+ay−1+2a1−y=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 定义：如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x=logaN.例如：因为72=49，所以log749=2；因为53=125，所以log5125=3.下列说法正确的序号有( )
①log66=36；②log381=4；③若log4(a+14)=2，则a=2；④log264=log232+log22
A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 2020年新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，它的直径约为0.00000012米，请把数0.00000012用科学记数法表示为______．
14. 时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”.墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是______．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在边AB上，点D在边BC上，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E，连接AD，且AD平分∠BAC.若∠BAC=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为______．
16. 2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊．当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播．开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的37，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17. 计算：
(1)(x−2y)(x+2y)−x(x−2y)；
(2)(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1．
18. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AD//BC．
(1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
19. 某中学团委在第十个“全国交通安全日”组织开展交通安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理和分析(成绩均为整数，成绩得分用x表示)，共分成五个等级．A：0≤x≤60，B：60
八年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D等级中的数据分别是：83，84，85，85，85，90，90．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
81.4
a
85
15%
八年级
83.3
85
b
25%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图，并直接写出a、b的值；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由(写出一条理由即可)；
(3)已知该校七、八年级共有1200名学生参与了知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有多少人(其中成绩大于90的为优秀)？
20. 市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4.小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线)(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高．
21. 如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x图象交于点B(−1,6)、点A，且点A的纵坐标为3．
(1)填空：k1= ______ ，b= ______ ；k2= ______ ；
(2)结合图形，直接写出k1x+b>k2x时x的取值范围；
(3)在梯形ODCA中，AC//OD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
22. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、北京冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，其可爱的形象深受大家喜爱．某商家销售两款奥运吉祥物毛绒玩具，其中“冰墩墩”毛绒玩具定价为120元/件，“雪容融”毛绒玩具定价为100元/件．
(1)若该商家按定价在九月份售出两款毛绒玩具共300件，销售总额为34000元，求九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具和“雪容融”毛绒玩具各多少件？
(2)进入十月份，商家为回馈新老客户，决定对两款毛绒玩具进行降价促销．“冰墩墩”毛绒玩具的售价比定价降低了a5元，结果十月份的销量比九月份自身销量增加了415a%；“雪容融”毛绒玩具以定价的八折销售，销量比“冰墩墩”毛绒玩具十月份的销量减少38a%，最终十月份两款毛绒玩具的销售总额比九月份销售总额增加了6000元，求a的值．
23. 一个三位数m，将m的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在m之后，得到的四位数称为m的“如虎添翼数”，将m的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为F(m).例如：m=297，∵2+9=11，∴297的“如虎添翼数”n是2971，将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、297，则F(n)=971+271+291+2973=610．
(1)258的“如虎添翼数”是______，F(258)=______；
(2)证明任意一个十位数字为0的三位数M，它的“如虎添翼数”与M的个位数字之和能被11整除；
(3)一个三位数s=100x+10y+103(x≥y且x+y≥9)，它的“如虎添翼数”t能被17整除，求F(s)的最大值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，B(52,0)，直线y=x+12与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ//y轴，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当2PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和2PG+PQ的最大值；
(3)将抛物线向右平移134个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当(2)中2PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
25. 等腰△ABC中，BA=BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED=2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
(1)如图1，当∠EBC=90°时，若∠BAD=45°，BE=23，求线段DC的长；
(2)如图2，当∠EBC>90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD=2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB−3BP=DH；
(3)如图3，在(1)问的条件下，BE上取点O，BO=3BE3，点M，N为线段BD上的两个动点(点M在点N的左侧)，连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
答案和解析
1.【答案】
A
【解析】
解：A.从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故本选项符合题意；
B.从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故本选项不符合题意；
C.从正面看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故本选项不符合题意；
D.从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，从左边看第一层是一列两个小正方形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
2.【答案】
D
【解析】
解：A．(−2)2=2，故此选项不合题意；
B.−6a6÷2a2=−3a4，故此选项不合题意；
C.x2+3x2=4x2，故此选项不合题意；
D.(−2ab3)2=4a2b6，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用二次根式的性质以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、合并同类项分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
B
【解析】
解：A.了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；
B.解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率，适合普查，故选项符合题意；
C.了解全国中学生体重情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
D.了了解中央电视台《最强大脑》栏目的收视率，适合抽样调查，故选项不符合题意；
故选：B．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】
D
【解析】
解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，
∴线段AB与线段CD的位似比为1：2，
∵AB=5，
∴CD=25，
故选：D．
根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
5.【答案】
D
【解析】
解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对边分别相等是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】
D
【解析】
解：把x=3代入方程a−bx=4得：a−3b=4，
所以−6b+2a+2021=2(a−3b)+2021=2×4+2021=8+2021=2029，
故选：D．
把x=3代入方程a−bx=4得出a−3b=4，把−6b+2a+2021变形为2(a−3b)+2021，再代入求出答案即可．
本题考查了一元一次方程的解，能够整体代入是解此题的关键．
7.【答案】
D
【解析】
解：∵AD=AD，
∴∠B=∠ACD=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−20°=70°．
故选：D．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠ACD，再根据圆周角的推论推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠ADB=90°，由∠BAD=90°−∠B代入计算即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
8.【答案】
C
【解析】
解：∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，
∴3(y−2)=x；
∵若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
∴x=2y+9．
∴可列方程组为3(y−2)=xx=2y+9．
故选：C．
根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】
D
【解析】
解：由图可知，小明到达B所用的时间为4分钟；
当小亮与小明相距8千米时，小明刚好返回A地，则此时小明行驶的总的时间为8分钟，故小亮的速度为8÷8=1千米/分，
∴C地与A地的距离为：1×10=10千米；
∴小明和小亮相遇的时间为：8×2÷(1+2)=163分钟，
出发后小明从B地返回与小亮相遇时小亮距C地的距离为：10−1×163=143(km)．
故选：D．
根据题意和函数图象可以求得小明的速度和小亮从A地到C地的时间，根据“路程=速度×时间”，本题得以解决．
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10.【答案】
B
【解析】
解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8−x，
在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8−x)2=(32x)2+(6−12x)2，
解得，x=145，即BE=145，
∴EH=32×145=735，
∴△BEG的面积为12BG⋅EH=12×6×735=2135．
故选：B．
作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，设BE=x根据勾股定理列出方程，即可解决问题．．
本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
11.【答案】
C
【解析】
解：不等式组x−12<1+x35x−2≥x+a整理得：x<5x≥a+24，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0
分式方程去分母得：y+a−2a=2(y−1)，
解得：y=2−a，
∵y≠1，
∴2−a≠1，
∴a≠1，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为−1，0，2共3个．
故选：C．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】
D
【解析】
解：∵61=6．
∴log66=1．
∴①错误．
∵34=81．
∴log381=4．
∴②正确．
∵log4(a+14)=2．
∴a+14=42．
∴a=2．
∴③正确．
∵log264=6，log232=5，log22=1．
∴④正确．
故选：D．
根据对数与幂的关系判断．
本题考查对数的运算，找到对数与幂的关系是求解本题的关键．
13.【答案】
1.2×10−7
【解析】
解：0.00000012=1.2×10−7．
故答案为：1.2×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】
19
【解析】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种，
∴墩墩和融融两人同坐2号车的概率为19，
故答案为：19．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率：利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
15.【答案】
23−23π
【解析】
解：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∴∠C=∠ODB=90°，∠CAB=∠DOB=60°，
又∵OD=2，
∴BD=3OD=23，
∴阴影部分的面积=S△OBD−S扇形DOE
=12BD⋅OD−60π×4360
=12×23×2−2π3
=23−2π3，
故答案为：23−2π3．
要求阴影部分的面积，想到连接OD，根据已知易证AC//OD，从而得∠C=∠ODB=90°，∠CAB=∠DOB=60°，然后求出BD的长，最后用直角三角形ODB的面积减去扇形DOE的面积即可解答．
本题考查了切线的性质和判定，含30度角的直角三角形，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
16.【答案】
36%
【解析】
解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：20%ax+30%ay+45%az=35%a(x+y+z)37(x+y+z)=z，
解得：x=13zy=z，
第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a=54a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为(1+20%)x=65 x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
20%×54a×65x+30%ay+50%az54a×65x+ay+az=0.3x+0.3y+0.5z1.5x+y+z=0.3×13z+0.3z+0.5z1.5×13z+z+z=36%，
故答案为：36%．
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号口罩原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得x=13zy=z；第二个季度A产品成本为(1+25%)a=54a，B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x=65 x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可表示第二个月的总利润率．
本题考查了利用三元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键．
17.【答案】
解：(1)原式=x2−4y2−x2+2xy
=2xy−4y2．
(2)原式=[3a+1−(a−1)(a+1)a+1]÷(a−2)2a+1
=3−a2+1a+1⋅a+1(a−2)2
=4−a2a+1⋅a+1(a−2)2
=(2−a)(2+a)(a−2)2
=2+a2−a．
【解析】
(1)根据整式的加减运算、单项式乘多项式、平方差公式即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案．
本题考查平方差公式、单项式乘以多项式以及分式的混合运算，本题属于基础题型．
18.【答案】
解：(1)如图：
(2)证明：如图，连接DF，
∵AD//BC，∴∠ADE=∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE=DE．
在△ADE和△FBE中，∠ADE=∠FBEDE=BE∠AED=∠BEF，
∴△ADE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
【解析】
(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
(2)结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE=EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．
此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
19.【答案】
解：(1)年级抽取的20名学生的竞赛成绩在C等级人数为：20−1−2−7−6=4(人)，
补全条形统计图如下：
因为七年级取的20名学生的竞赛成绩从小到大排在中间的两个数分别是83，85，所以a=12×(83+85)=84；
因为八年级抽取的20名学生的竞赛成绩中85出现的次数最多，所以b=85；
(2)八年级的成绩好一些，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，故八年级的成绩好一些；
(3)1200×(20%+620)÷2=300(人)，
答：估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有300人．
【解析】
(1)根据总人数是20人，可得C组的人数为：20−1−2−7−6=4(人)，从而补全条形统计图，然后根据中位数和众数的定义求出a、b的值；
(2)根据表格中的数据，可以得到哪个年级的成绩好一些，并说明理由；
(3)用样本估计总体可得结果．
本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】
解：(1)如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
∵斜坡CB的坡比为1：2.4，
∴DMCM=12.4，
即DMCM=512，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，∵CD=13米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即(5k)2+(12k)2=132，
∴解得k=1(负值舍去)，
∴DM=5(米)，CM=12(米)．
∴D处的竖直高度为5米；
(2)设DF=12a米，则ME=12a米，BF=5a米，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE=∠ACE=45°，
∴AE=CE=(12+12a)米，
∴AF=AE−EF=AE−DM=12+12a−5=(7+12a)米．
在Rt△ADE中，
∵DF=12a米，AF=(7+12a)米，∠ADF=53°，
∴tan∠ADF=AFDF=7+12a12a=43，
∴解得a=74
∴AF=7+12a=7+12×74=28(米)，
BF=5a=5×74=354(米)，
∴AB=AF−BF=28−354=774(米)．
答：基站塔AB的高为774米．
【解析】
(1)通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i=1：2.4，CD=13，由勾股定理可求出答案；
(2)设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
21.【答案】
3 9 −6
【解析】
解：(1)∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x图象交于点B(−1,6)、A，
∴k2=−1×6=−6，
∴反比例函数y=−6x，
把y=3代入得，3=−6x，
∴x=−2，
∴A(−2,3)，
把A、B坐标代入y=k1x+b得−2k1+b=3−k1+b=6，
解得k1=3b=9，
故答案为k1=3，b=9，k2=−6，
(2)由图象可知，k1x+b>k2x时x的取值范围是−2
(3)设点M的坐标为(m,−6m)，
∵CD⊥x轴于D，
∴D(m,0)，
∵AC//OD，A(−2,3)，
∴C(m,3)，
∴AC=−2−m，
∴CD=3，OD=−m，
∴S梯形AODC=12(AC+OD)⋅CD，
即12=12(−2−m−m)×3，
解得m=−5，
∴M点的坐标为(−5,65).
(1)根据待定系数法即可求得；
(2)根据图象即可求得；
(3)设点M的坐标为(m,−6m)，则D(m,0)，C(m,3)，即可得出AC=−2−m，CD=3，OD=−m，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键．
22.【答案】
解：(1)设九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具x件，“雪容融”毛绒玩具y件，
依题意得：x+y=300120x+100y=34000，
解得：x=200y=100．
答：九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具200件，“雪容融”毛绒玩具100件．
(2)依题意得：(120−a5)×200(1+415a%)+100×80%×200(1+415a%)(1−38a%)=34000+6000，
整理得：415a2−203a=0，
解得：a1=25，a2=0(不合题意，舍去)．
答：a的值为25．
【解析】
(1)设九月份销售“冰墩墩”毛绒玩具x件，“雪容融”毛绒玩具y件，利用总价=单价×数量，结合“该商家按定价在九月份售出两款毛绒玩具共300件，销售总额为34000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用销售总额=销售单价×销售数量，结合十月份两款毛绒玩具的销售总额比九月份销售总额增加了6000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】
2587 463
【解析】
解：(1)∵2+5=7，
∴258的如虎添翼数为2587，
将2587的任意一个数位上的数字去掉后可以得到新的三位数：587；287；257；258；
F(258)=587+287+257+2583=463，
故答案为：2587；463；
(2)令M=100a+b(1≤a≤9,0≤b≤9，且a，b均为整数)，则百位数字和十位数字的和为a，
∴M的如虎添翼数为1000a+10b+a=1001a+10b，
∴其如虎添翼数和其个位数字之和为1001a+10b+b=1001a+11b，
∴(1001a+11b)÷11=91a+b，且a，b均为整数，
∴任意一个十位数字为0的三位数M，它的“如虎添翼数”与M的个位数字之和能被11整除；
(3)s=100x+10y+103=100(x+1)+10y+3，
百位数字和十位数字相加得x+y+1，
当x+y+1≥10时，
s的如虎添翼数为：
t=1000(x+1)+100y+30+x+y+1−10
=1001x+101y+1021
=17(59x+6y+60)−2x−y+1，
∵x在千位，
∴x对F(s)的大小影响较大，
∴x应取更大值，
由s是个三位数，则x+1≤9，
∴x≤8，即x最大取8，
∵x=8时，s的如虎添翼数能被17整除，则2x+y−1=2×8+y−1=15+y能被17整除，
∴y=2，
∴s=100x+10y+103=100×8+10×2+103=923，
当x+y+1≤9时，x+y≤8，
∴要x最大取8时，y只能取0，此时F(s)一定小于F(923)，
∴s=923，
∴s的如虎添翼数为9231，
∴F(s)=231+931+921+9233=1002，
即F(s)的最大值为1002．
(1)根据概念进行计算从而作出判断；
(2)令M=100a+b，然后根据概念并结合整式的加减运算进行分析证明；
(3)将s=100x+10y+103变形为s=100(x+1)+10y+3，然后结合概念表示出s的如虎添翼数，并结合整除的概念及x，y的取值范围分析其最值．
本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握整式加减的运算法则是解题关键．
24.【答案】
解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(52,0)两点，
∴a−b+c=0254a+52b+c=0，解得b=−32c=−52．
∴抛物线的解析式为：y=x2−32x−52．
(2)如图，过点P作PE//x轴交CD于点E，
∴∠DEP=45°，
∴△PGE是等腰直角三角形，
∴PE=2PG，
设点P(t,t2−32t−52)，则Q(t,0)，E(t2−32t−3,t2−32t−52)，
∴PQ=−t2+32t+52，PE=t−(t2−32t−3)=−t2+52t+3，
∴2PG+PQ=PE+PQ
=−t2+52t+3+(−t2+32t+52)
=−2(t−1)2+152，
∵−2<0，
∴当点P(1,−3)时，2PG+PQ的最大值为152．
(3)存在点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵A(−1,0)，B(52,0)，
∵原抛物线的轴对称为直线x=34
∴新抛物线的对称轴为：直线x=4，并设对称轴与x轴交于点F；
由(2)知P(1,−3)，
∴AP=22+32=13．
设点M的坐标为(4,s)，点N的坐标为(m,n)，
当AP为菱形的边时，
①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x=4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x=4于点R，如图所示，
此时PM1=PM2=AP=13，PR=3，
由勾股定理可得可得，M1R=M2R=2，
∴M1F=1，M2F=5，
∴M1(4,−1)，M2(4,−5)，
∵A(−1,0)，P(1,−3)，
∴点A向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P，
∴点M1(4,−1)向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点N1(2,2)，
同理可得，N2(2,−2)；
②以点A为圆心，AP长为半径作圆，
∵AF=5，且5>13，
∴此圆与直线x=4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．
当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为(0,−32)，如图所示，
设MN与直线x=4的交点为M3，
∵点A(−1,0)，P(1,−3)，
∴直线AP的解析式为：y=−32x−32．
∴直线MN的解析式为：y=23x−32．
∴M3(4,76)，
由中点坐标公式可知，N3(−4,−256).
综上，点N的坐标为N1(2,2)，N2(2,−2)，N3(−4,−256).
【解析】
(1)把点A(−1,0)，B(52,0)代入表达式求出b和c即可．
(2)过点P作PE//x轴交CD于点E，可得△PGE是等腰直角三角形，所以PE=2PG，则2PG+PQ=PE+PQ，求2PG+PQ的最小值，即求出PE+PQ的最小值；设点P(t,t2−32t−52)，则Q(t,0)，E(t2−32t−3,t2−32t−52)，分别表达PQ和PE，最后利用二次函数的最值问题，即可解答．
(3)由平移可知新抛物线的对称轴为：直线x=4，并设对称轴与x轴交于点F；设点M的坐标为(4,s)，点N的坐标为(m,n)，当AP为菱形的边时，①以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x=4于点M1，M2，过点P作PG⊥y轴交直线x=4于点R，由勾股定理可得可得，M1R=M2R=2，可求出点M的坐标，再由点的平移可知，N1(2,2)，N2(2,−2)；②以点A为圆心，AP长为半径作圆，此圆与直线x=4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为(0,−32)，由点A和点P的坐标可知，直线AP的解析式为：y=−32x−32.所以直线MN的解析式为：y=23x−32.最后利用中点坐标公式可知，N3(−4,−256).
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
25.【答案】
(1)解：∵BE=23，DE=2BE，
∴DE=43，
∴∠EBC=90°，
∴BD=DE2−BE2=(43)2−(23)2=6，
∵∠ADB=90°，∠BAD=45°，
∴AB=BDsin45∘=62，
∴BC=AB=62，
∴DC=BC−BD=62−6；
(2)证明：设BF=a，则AD=2a，
∵EF平分∠BED，
∴DFBF=DEBE，
∵DE=2BE，
∴DF=2BF=2a，
∴BD=BF+DF=3a，
∵∠ADB=90°，
∴AB=AD2+BD2=13a，
∴BC=AB=13a，
∴CD=BC−BD=13a−3a，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠FGC=90°，
∴∠CFG+∠C=90°，
∴∠DAC=∠CFH，
∵AD=DF=2a，
∴△ADC≌△FDH(ASA)，
∴DH=CD=13a−3a，
∴AB−DH=13a−(13a−3a)=3a，
∵P是EF的中点，
∴EPEF=12，
∵BEDE=12，
∴EPEF=BEDE，
∵∠BEP=∠DEF，
∴△EBP∽△EFD，
∴∠EBP=∠EDF，
∵∠BFP=∠DEF+∠EDF，
∠BPF=∠BEP+∠EBP，
∴∠BFP=∠BPF，
∴BP=BF=a，
∴AB−DH=3BP，
∴AB−3BP=DH；
(3)如图，
∵BE=23，OB=33BE，
∴OB=2，
∵A′D⊥AN，
∴∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，圆心记作I，
延长OB至F，使BF=BO=2，连接FI，交BD于M，交⊙I于P，
则OM+MP的值最小，
作PH⊥BE于H交AD于G，
∵EB//AD，
∴BMDM=BFDI=23，∠PIG=∠F，
∵BD=6，
∴BM=125，
∴sinF=BMFM=125(125)2+22=661=66161，
∴PG=IP⋅sin∠PIG=3×66161=186161，
∴PH=GH−PG=6−186161，
∴S△POF=12OF⋅PH=12×4×(6−186161)=12−366161，
∵S△MOF=12OF⋅BM=12×4×125=245，
∴S△POM=(12−366161)−245=365−366161=2196−18061305．
【解析】
(1)解Rt△BED，求出BD，解Rt△ABD，求出AB，进而求得CD；
(2)根据角平分线性质，求得DF=2BF，设BF=a，表示出BD，AD，发现AD=DF=2a，进而证明△ADC≌△FDH，从而推出AB−DH=3a，从而需证明BP=BF，通过证明△BEP∽△DEF，从而证得∠EBP=∠EDF，进而证得∠BPF=∠BFP，进一步命题得证；
(3)由∠APD=90°得出点P在以AD为直径的圆上，作点O关于BD的对称点F，连接圆心I与F的线段，交BD于M，交圆于P，根据△MBF∽△MDI，求得BM，作PH//BD交BE于H，交AD于G，求出PG，从而求得PH，进而求出△POF和△MOF的面积，从而求得△OMP的面积．
本题考查了解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
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