2021-2022学年福建省莆田市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省莆田市九年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 以下各方程中，一定是关于的一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各点中，在二次函数的图象上的是

A.  B.  C.  D.

3. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 下列三个命题：
   圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
   垂直于弦的直径平分这条弦；
   相等圆心角所对的弧相等；
   其中是假命题的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为

A.
B.
C.
D.

6. 某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口人，三月已有人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为，则下面所列方程正确的是

A.
B.
C.
D.

7. 已知点坐标为，将线段绕原点逆时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的直径，、是上两点，，若，则

A.
B.
C.
D.

9. 某地新高考有一项“选”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的图象与轴的两个交点分别是和，且抛物线还经过点和，则下列关于、的大小关系判断正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是______．
12. 抛物线与轴有且只有个公共点，则______．
13. 有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在，由此可以估计纸箱内红球的个数约是______个．
14. 等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______．
15. 如图，在正十边形中，连接，，则______．
    
    
     

16. 如图，在中，，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点下列结论正确的是______填序号
    点是的中点；点是的中点；阴影部分的面积为；．
     

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在中，半径弦于点，，若，求的半径．
    
    
     

19. 一抛物线以为顶点，且经过轴上一点，求该抛物线解析式及抛物线与轴交点坐标．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某商场以每千克元的价格购进某种榴莲，计划以每千克元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
    求关于的函数解析式．
    该商场在销售这种榴莲中要想获利元，则这种榴莲每千克应降价多少元？
    
    
    
    
    
    
     
21. 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的三个数值为，，乙袋中的三张卡片上所标的数值为，，先从甲袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用表示取出卡片上的数值，把，分别作为点的横坐标和纵坐标．
    用树状图或列表法写出点的所有情况．
    求点落在第三象限的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在中，是边上一点，．
    请用尺规作图法作绕点旋转后得到的，使旋转后的边与边重合．保留作图痕迹，不写作法
    连接，若，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，半圆的直径是，、是两条切线，切点分别为、，平分．
    求证：是半圆的切线．
    若，，求和的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，点在第一象限的角平分线上，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．
    求点的坐标．
    当绕点旋转时，
    的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
    请求出的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
    求抛物线的解析式及点的坐标．
    将抛物线右移个单位，下移个单位得到新抛物线，当自变量在的范围时，求的最小值．
    在轴正半轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点，交抛物线于点，若的面积为，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：是一元一次方程，故选项不合题意；
B.符合一元二次方程的定义，选项符合题意；
C.未知数最高次数是，不是一元二次方程，故选项不合题意．
D.不是整式方程，故选项不合题意；
故选：．
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

2.【答案】

【解析】

解：当时，，当时，，当时，，当时，，
所以点在二次函数的图象上．
故选：．
分别计算自变量为、、、所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

3.【答案】

【解析】

解：把代入可得，
解得，
故选：．
把代入求值即可．
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，是真命题；
垂直于弦的直径平分这条弦，是真命题；
在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，故本小题说法是假命题；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念、垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，根据旋转对称图形和旋转角的概念作答．
【解答】
解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是，
并且圆具有旋转不变性，因而旋转度的整数倍，就可以与自身重合．
则最小值为度．
故选D．  

6.【答案】

【解析】

解：三月已有人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为，
四月份接种人数为，五月份为人，
方程为：，
故选：．
分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出两个月的接种人数．
 

7.【答案】

【解析】

解：如图，，

故选：．
画出图形，利用图象法解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
 

8.【答案】

【解析】

解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，然后利用垂径定理可得，从而根据等弧所对的圆周角相等求出，进而求出圆心角的度数，即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：设“物理、化学、政治、历史”分别用、、、表示，
画树状图如图所示：

共有种可能性结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有种，
李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为，
故选：．
根据题意画出树状图，共有种可能性结果，其中他们恰好一人选物理，另一人选化学的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
 

10.【答案】

【解析】

解：二次函数的图象与轴的两个交点分别是和，
，
时，，时，，
，
故选：．
先由点和求得二次函数的解析式，然后求得和的大小，即可得到、的大小关系．
本题考查了二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与轴的交点坐标求得函数解析式．
 

11.【答案】

【解析】

解：点与点关于原点成中心对称，
，，
则．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
 

12.【答案】

【解析】

解：抛物线与轴有且只有个公共点，
，
解得：，
故答案为：．
由二次函数图象与轴的交点个数与系数间的关系求得的取值．
本题考查了二次函数图象与轴的交点个数与系数的关系，解题的关键是熟知二次函数图象与轴的交点与一元二次方程的解之间的关系．
 

13.【答案】

【解析】

解：根据题意得：
个，
答：估计纸箱内红球的个数约是个．
故答案为：．
用总球的个数乘以红球的频率即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
 

14.【答案】

【解析】

解：，
，
或，
所以，，
因为，不符合三角形三边的关系，
所以等腰三角形的底边为，腰为，
所以三角形的周长为．
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的底边为，腰为，然后计算三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
 

15.【答案】

【解析】

解：如图，设正十边形内接于，连接，，
正十边形的各边都相等，
，
．
故答案为：．
找出正十边形的圆心，连接，，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查了多边形的内角与外角，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：如图，连接，
是直径，
，
，，
，，
，
点是的中点，点是的中点，故正确；
，，
，故正确；
连接，
，
，
，
，，
，故错误；
故答案为：．
利用圆周角定理以及等腰三角形三线合一的性质即可判断；根据同角的余角相等即可判断；求得扇形的面积即可判断．
本题考查了扇形面积公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
 

17.【答案】

解：方程，
因式分解得：，
可得：或，
解得：，．
 

【解析】

将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

18.【答案】

解：如图，连，设的半径为，
半径弦于点，
，
，
，
在中，，
，
解得，舍，
的半径为．
 

【解析】

如图，连，设的半径为，则，根据垂径定理得到，接着根据勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

19.【答案】

解：设抛物线解析式为，
依题意得，，
将代入中，
得，
解得，
抛物线解析式为．
令，则，
抛物线与轴交点为．
 

【解析】

设抛物线解析式为，把和代入可得解析式，再把代入可得与轴的交点．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用顶点式求出二次函数解析式是解题关键．
 

20.【答案】

解：设关于的函数解析式为，
将，代入得：，
解得：，
关于的函数解析式为．
依题意得：，
整理得：，
解得，．
又要让顾客得到更大的实惠，
．
答：这种榴莲每千克应降价元．
 

【解析】

观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；
利用该商场在销售这种榴莲中获得的总利润每千克的销售利润销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客得到更大的实惠，即可得出这种榴莲每千克应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据图象上点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

21.【答案】

解：列表如下：

由上表可知，点共有种情况．

由知，点的坐标所有等可能的结果共有种，其中点落在第三象限的结果有种，
则点落在第三象限的概率是．
 

【解析】

根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可；
找出点落在第三象限的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】

解：如图所示，即为所求．

证明：连接，
，，
是等边三角形，
．
旋转至，
≌，
，，
，
是等边三角形，

 

【解析】

以为边，在上方作，再在上截取，从而得出答案；
先证是等边三角形得结合≌知，，从而得，据此知是等边三角形，继而得证．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质、作一个角等于已知角与作一条线段等于已知线段的尺规作图、等边三角形的判定与性质．
 

23.【答案】

证明：过点作，垂足为点，

是半圆的切线，为切点，
，
平分，
，
是半圆的半径，
是半圆的切线；
解：过点作，垂足为点，

，
是半圆的切线，切点为，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，是半圆的切线，切点分别为、、，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
的长为，的长为．
 

【解析】

过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证明，即可解答；
过点作，垂足为点，先证明四边形是矩形，从而得，，再利用切线长定理求出，，从而求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】

解：点在第一象限的角平分线上，
，
，
；
不变．
过点作轴于，于．

，，
四边形是正方形，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
连接，
，
，
，
，
，当最小时，也最小．
根据垂线段最短原理，最小值为，
的最小值为．
 

【解析】

由题意知，，即可解决问题；
过点作轴于，于利用证明≌，得，从而得出；
连接，由勾股定理得，则，当最小时，也最小．根据垂线段最短，从而得出答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了坐标与图形的变化旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是构造全等三角形，属于中考常考题型．
 

25.【答案】

把点和点代入，
得解得
抛物线的解析式为．
点是与轴的交点，
点的坐标为．
将化为顶点式，
将其右移个单位，下移个单位后，得，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大为减小，
在的范围内，时，有最小值，
令，，
的最小值为．
，直线轴，
点坐标为，点坐标为，
，
的面积为，
，
解得：或或或舍，
的值为或或．
 

【解析】

把点和点代入，求得与的值，得到函数的解析式，然后令求得点的坐标；
将抛物线的解析式化为顶点式，然后求得平移后的抛物线的解析式，然后得到的增减性，进而求得函数在时的的最小值；
由点求得点和点的坐标，得到的长，然后求得的面积，再列出方程求得的值．
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、二次函数的几何变换，解题的关键是会用待定系数法求得抛物线的解析式．