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苏科版七年级下册12.2 证明教学设计及反思
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这是一份苏科版七年级下册12.2 证明教学设计及反思，共4页。教案主要包含了探究新知，观察，一个意外收获，判断一个结论错误的方法是，积累经验等内容，欢迎下载使用。
［教学目标］：
1.经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受证明的意义和证明的必要性；
2.感受判断结论错误的方法是举反例，判断结论正确的方法是严密说理；
3.感悟转化的数学思想，积累列表观察数据的经验。
［教学重点］：
1. 初步感受证明的意义和证明的必要性；
2. 感受判断结论错误的方法是举反例，判断结论正确的方法是严密说理。
［教学难点］：
初步感受证明的意义和证明的必要性, 判断结论正确的方法是严密说理。
［教学过程］：
一、探究新知：
师：小学里，我们曾经把一个三角形的3个角拼在一起，发现了“________________________”的结论。（课件出示问题）
生：三角形三个内角的和等于180°。
师：这里我们是通过操作认识到“三角形三个内角的和等于180°”的，事实上通过观察、实验也能认识事物。
（板书：一、观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段 ）
（一）观察：
师：下面老师想考考你的眼力：（课件出示图片）
1.判断直线AB和CD是否平行？ 2.观察两条线段AB与CD哪一条长一些？
（教师让学生观察两幅图片，并让学生说出直观感受，然后教师用几何画板展示结论）
师：人们常说“耳听为虚，眼见为实”，可“眼见”真的为“实”吗？
生：不一定。
师：刚才的两个例子告诉大家什么道理？
生：观察得到的结论不一定可靠。
（二）操作、实验：
师：那么操作、实验得到的结论是否就一定可靠呢？请大家打开数学实验手册，按照课本P148页数学实验室的要求，同桌两人一组，合作完成。（学生合作完成拼图，教师强调：在拼图时不能想当然，每一步都要有根有据）
下面左图是一张88的正方形纸片，把它剪成4块，按右图重新拼合。这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？（课件出示问题）
师：通过操作、实验大家有没有发现什么问题？
生：原来面积64，现在面积65。
师：出现这一操作、实验错误结果的原因是什么呢？你能说明其中的道理吗？
（学生小组讨论后发言）
（教师用小黑板展示课前拼好的图形，让学生直观感受拼图过程中出现的问题）
师：你有什么发现？
生：发现中间有一道缝隙，所以不能拼成一个长为13、宽为5的长方形。
师：至于中间为什么会有一道缝，其中的道理等大家到了初三年级就能用说理的方式说明了。下面我们再来进行一个操作、实验。
2.画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC。（课件出示问题）
(1)把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上， 使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F.度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
(2)把三角尺绕点P旋转，PE与PF相等吗？
（学生动手操作、实验后说明得出的结论。教师用几何画板演示发现规律，让学生提出猜想）
师：几次演示的得到的结论能否推广到所有情形？
生：不能
师：用什么方法才能够说明刚才的猜想是确实成立的，或者不成立呢？这一问题，随着我们学习的深入和说理水平的提高，到了初二年级就可以用说理的方式来说明它是正确的了，所以同学们要认真学习如何说理，学习了它，今后在研究某些问题时，就可以从根本上说明结论的正确与否。那么，通过刚刚的观察、操作、实验大家有什么发现？
生：发现观察、操作、实验得到的结论不一定正确。
（板书：二、观察、操作、实验得到的结论不一定正确 ）
师：观察、操作、实验得到的结论怎样才能确认是否正确呢？
生：要通过说明理由才能确认是否正确。
师：说理也就是证明
（板书：三、观察、操作、实验得到的结论要通过证明才能确认是否正确 ）
师：可见证明是很必要的，是很有意义的事情。这就是我们今天要学习的证明。
（ 板书课题：12.2证明（1） ）
二、严密说理
师：下面我们通过一个实际问题来体会证明的必要性。（课件出示问题）
1. 把图(1)长方形草坪中间1m宽的直道，改成图(2)中处处1m宽的“曲径”，这两条小道的面积相等吗？
（学生小组讨论并回答：相等。）
师：为什么说相等呢？（学生小组讨论，教师指名回答）
生：将左边的草坪向右平移与右边的草坪拼成一个长方形，可以说明两图中的草坪的面积是相等的，所以两图中小路的面积也相等。
师:将左边草坪平移到右边，两边的草坪一定能完全重合在一起吗？
生：一定能。因为题目中告诉我们：“曲径”处处1m宽。
师：大家审题真仔细，非常好！接下来，大家思考一下，刚刚的这个问题如何说理呢？
（教师指名学生回答，教师板书：将图（2）中“曲径”左边的草坪向右平移1m，使其与“曲径”右边的草坪重合，得到一个长为（a-1）m,宽为则bm的长方形，它的面积为b(a-1) m2
则：s曲径=ab-b(a-1)=b(m2)
∵s直道=1·b=b(m2)
∴s曲径= s直道 ）
师：这就是说理。在这个问题中通过图形的平移和计算，证实：两条小道的面积相等。
（引导学生提炼“转化”的方法）本题在求弯曲小路的面积时，注意到小路的面积和草坪的面积和为ab，由此，只要求得草坪的面积也就能求得小路的面积，这里用到了一种数学上经常用到的转化的数学思想，可以说是我们在学习说理时的一个意外收获。
（板书：四、一个意外收获：转化思想 ）
师：转化的数学思想，就是在研究和解决数学问题时，采用某种方式，借助某种条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题的一种方法。一般是将抽象问题转化为具体问题，复杂问题转化为简单问题，未知问题转化为已知问题等等。同学们，其实我们生活的世界充满许多有趣的问题，只要我们养成勤于思考、勇于探索的良好习惯，就一定能发现许许多多的奥秘。数学上也是如此，比如“x2-2x+2的取值问题”：（课件出示问题）
（1）当x=-5，-0.5 ，0, 1，2时，分别计算代数式x2-2x+2的值。
（教师帮助学生建立活动经验：建议学生采用列表的方法以便发现规律。如下：）
（教师指名学生填表）
（2）换几个数再试试，大胆提出你的猜想。
（学生自主探究并说出自己的想法）
教师追问：
判断下列结论是否正确：（课件出示）
（1）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值总是偶数；
（2）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值总是大于1；
（3）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值总是正数；
（4）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值不是负数。
（学生小组讨论，教师指名学生回答第（1）和第（2）两个问题）
师：判断一个结论错误的方法是？
生：举反例
（板书：五、判断一个结论错误的方法是：举反例 ）
（教师指名学生回答第（3）和第（4）两个问题）
师：判断一个结论正确的方法是？
生：严密说理
（板书：判断一个结论正确的方法是：严密说理 ）
（指名学生回答刚刚的正确结论的证明过程，教师板书x2-2x+2大于等于1的证明过程：
∵x2-2x+2=x2-2x+1+1=(x-1) 2+1 ，(x-1) 2≥0
∴x2-2x+2≥1 ）
师：在这个问题中我们通过把x2-2x+2变形为(x-1) 2+1，证实：无论x取什么值代数式x2-2x+2的值不小于1。我们还积累了经验：列表可以使数据相对集中，便于对比分析。
（板书：六、积累经验：列表可以使数据相对集中，便于对比分析 ）
师：从以上几个问题中我们会发现：说理是将观察、操作、实验得到的结论进行判断正确与否的有力工具，同学们要用心体会证明的意义和证明的必要性，认真学习说理。
三、随堂练习：
课本P149练一练。（先让学生独立完成，后指名分析）
四、小结：本节课你有哪些收获？（指名学生小结，教师提炼总结）
五、课堂作业：
1.你能说明无论x，y取何值，代数式 的值一定为正数吗？
2.无论x取何值，代数式 一定有意义吗？请通过说理来表达你的结论。
3．如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想。
【迁移拓展】
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝_______。x
x2-2x+2
［教学目标］：
1.经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受证明的意义和证明的必要性；
2.感受判断结论错误的方法是举反例，判断结论正确的方法是严密说理；
3.感悟转化的数学思想，积累列表观察数据的经验。
［教学重点］：
1. 初步感受证明的意义和证明的必要性；
2. 感受判断结论错误的方法是举反例，判断结论正确的方法是严密说理。
［教学难点］：
初步感受证明的意义和证明的必要性, 判断结论正确的方法是严密说理。
［教学过程］：
一、探究新知：
师：小学里，我们曾经把一个三角形的3个角拼在一起，发现了“________________________”的结论。（课件出示问题）
生：三角形三个内角的和等于180°。
师：这里我们是通过操作认识到“三角形三个内角的和等于180°”的，事实上通过观察、实验也能认识事物。
（板书：一、观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段 ）
（一）观察：
师：下面老师想考考你的眼力：（课件出示图片）
1.判断直线AB和CD是否平行？ 2.观察两条线段AB与CD哪一条长一些？
（教师让学生观察两幅图片，并让学生说出直观感受，然后教师用几何画板展示结论）
师：人们常说“耳听为虚，眼见为实”，可“眼见”真的为“实”吗？
生：不一定。
师：刚才的两个例子告诉大家什么道理？
生：观察得到的结论不一定可靠。
（二）操作、实验：
师：那么操作、实验得到的结论是否就一定可靠呢？请大家打开数学实验手册，按照课本P148页数学实验室的要求，同桌两人一组，合作完成。（学生合作完成拼图，教师强调：在拼图时不能想当然，每一步都要有根有据）
下面左图是一张88的正方形纸片，把它剪成4块，按右图重新拼合。这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？（课件出示问题）
师：通过操作、实验大家有没有发现什么问题？
生：原来面积64，现在面积65。
师：出现这一操作、实验错误结果的原因是什么呢？你能说明其中的道理吗？
（学生小组讨论后发言）
（教师用小黑板展示课前拼好的图形，让学生直观感受拼图过程中出现的问题）
师：你有什么发现？
生：发现中间有一道缝隙，所以不能拼成一个长为13、宽为5的长方形。
师：至于中间为什么会有一道缝，其中的道理等大家到了初三年级就能用说理的方式说明了。下面我们再来进行一个操作、实验。
2.画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC。（课件出示问题）
(1)把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上， 使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F.度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
(2)把三角尺绕点P旋转，PE与PF相等吗？
（学生动手操作、实验后说明得出的结论。教师用几何画板演示发现规律，让学生提出猜想）
师：几次演示的得到的结论能否推广到所有情形？
生：不能
师：用什么方法才能够说明刚才的猜想是确实成立的，或者不成立呢？这一问题，随着我们学习的深入和说理水平的提高，到了初二年级就可以用说理的方式来说明它是正确的了，所以同学们要认真学习如何说理，学习了它，今后在研究某些问题时，就可以从根本上说明结论的正确与否。那么，通过刚刚的观察、操作、实验大家有什么发现？
生：发现观察、操作、实验得到的结论不一定正确。
（板书：二、观察、操作、实验得到的结论不一定正确 ）
师：观察、操作、实验得到的结论怎样才能确认是否正确呢？
生：要通过说明理由才能确认是否正确。
师：说理也就是证明
（板书：三、观察、操作、实验得到的结论要通过证明才能确认是否正确 ）
师：可见证明是很必要的，是很有意义的事情。这就是我们今天要学习的证明。
（ 板书课题：12.2证明（1） ）
二、严密说理
师：下面我们通过一个实际问题来体会证明的必要性。（课件出示问题）
1. 把图(1)长方形草坪中间1m宽的直道，改成图(2)中处处1m宽的“曲径”，这两条小道的面积相等吗？
（学生小组讨论并回答：相等。）
师：为什么说相等呢？（学生小组讨论，教师指名回答）
生：将左边的草坪向右平移与右边的草坪拼成一个长方形，可以说明两图中的草坪的面积是相等的，所以两图中小路的面积也相等。
师:将左边草坪平移到右边，两边的草坪一定能完全重合在一起吗？
生：一定能。因为题目中告诉我们：“曲径”处处1m宽。
师：大家审题真仔细，非常好！接下来，大家思考一下，刚刚的这个问题如何说理呢？
（教师指名学生回答，教师板书：将图（2）中“曲径”左边的草坪向右平移1m，使其与“曲径”右边的草坪重合，得到一个长为（a-1）m,宽为则bm的长方形，它的面积为b(a-1) m2
则：s曲径=ab-b(a-1)=b(m2)
∵s直道=1·b=b(m2)
∴s曲径= s直道 ）
师：这就是说理。在这个问题中通过图形的平移和计算，证实：两条小道的面积相等。
（引导学生提炼“转化”的方法）本题在求弯曲小路的面积时，注意到小路的面积和草坪的面积和为ab，由此，只要求得草坪的面积也就能求得小路的面积，这里用到了一种数学上经常用到的转化的数学思想，可以说是我们在学习说理时的一个意外收获。
（板书：四、一个意外收获：转化思想 ）
师：转化的数学思想，就是在研究和解决数学问题时，采用某种方式，借助某种条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题的一种方法。一般是将抽象问题转化为具体问题，复杂问题转化为简单问题，未知问题转化为已知问题等等。同学们，其实我们生活的世界充满许多有趣的问题，只要我们养成勤于思考、勇于探索的良好习惯，就一定能发现许许多多的奥秘。数学上也是如此，比如“x2-2x+2的取值问题”：（课件出示问题）
（1）当x=-5，-0.5 ，0, 1，2时，分别计算代数式x2-2x+2的值。
（教师帮助学生建立活动经验：建议学生采用列表的方法以便发现规律。如下：）
（教师指名学生填表）
（2）换几个数再试试，大胆提出你的猜想。
（学生自主探究并说出自己的想法）
教师追问：
判断下列结论是否正确：（课件出示）
（1）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值总是偶数；
（2）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值总是大于1；
（3）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值总是正数；
（4）无论x取什么数，代数式x2-2x+2的值不是负数。
（学生小组讨论，教师指名学生回答第（1）和第（2）两个问题）
师：判断一个结论错误的方法是？
生：举反例
（板书：五、判断一个结论错误的方法是：举反例 ）
（教师指名学生回答第（3）和第（4）两个问题）
师：判断一个结论正确的方法是？
生：严密说理
（板书：判断一个结论正确的方法是：严密说理 ）
（指名学生回答刚刚的正确结论的证明过程，教师板书x2-2x+2大于等于1的证明过程：
∵x2-2x+2=x2-2x+1+1=(x-1) 2+1 ，(x-1) 2≥0
∴x2-2x+2≥1 ）
师：在这个问题中我们通过把x2-2x+2变形为(x-1) 2+1，证实：无论x取什么值代数式x2-2x+2的值不小于1。我们还积累了经验：列表可以使数据相对集中，便于对比分析。
（板书：六、积累经验：列表可以使数据相对集中，便于对比分析 ）
师：从以上几个问题中我们会发现：说理是将观察、操作、实验得到的结论进行判断正确与否的有力工具，同学们要用心体会证明的意义和证明的必要性，认真学习说理。
三、随堂练习：
课本P149练一练。（先让学生独立完成，后指名分析）
四、小结：本节课你有哪些收获？（指名学生小结，教师提炼总结）
五、课堂作业：
1.你能说明无论x，y取何值，代数式 的值一定为正数吗？
2.无论x取何值，代数式 一定有意义吗？请通过说理来表达你的结论。
3．如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想。
【迁移拓展】
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝_______。x
x2-2x+2
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