2022年河南省新乡市长垣县中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省新乡市长垣县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列各数中，比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 天问一号是我国首个软着陆火星的探测器，它承载着中国人对火星探索的期望．截至年月日晚时分，天问一号火星探测器距离地球约公里．用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列几何体是由个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 某校七年级开展“阳光体育”活动，对喜欢乒乓球、足球、篮球、羽毛球的学生人数进行统计每人只能选择其中一项，得到如图所示的扇形统计图．若喜欢羽毛球的人数是喜欢足球的人数的倍，喜欢乒乓球的人数是人，则下列说法正确的是

A. 被调查的学生人数为人
B. 喜欢篮球的人数为人
C. 喜欢足球的扇形的圆心角为
D. 喜欢羽毛球的人数占被调查人数的
 

7. 不等式组的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

8. 将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义则方程的根的情况为

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根

9. 如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
12. 请写出一个图象经过的函数解析式______．
13. 为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为______．
14. 如图，已知点、是以为直径的半圆的三等分点，的长为，连接、，则图中阴影部分的面积为______．
     

15. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：；
    化简：
    
    
    
    
    
    
     
17. 为庆祝中国共产党建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党周年知识测试该校七、八年级各有名学生参加，从中各随机抽取了名学生的成绩百分制，并对数据成绩进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
    八年级的频数分布直方图如下数据分为组：，，，，；
    八年级学生成绩在的这一组是：
    
    
    七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
表中的值为______ ；
在随机抽样的学生中，建党知识成绩为分的学生，在______ 年级排名更靠前，理由是______ ；
若各年级建党知识测试成绩前名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到______ 分的学生才能入选；
若成绩分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．

18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点，且轴于点、于点．
    求证：∽；
    求点和点的坐标；
    求值．
     

19. 如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接．
    尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
    在的条件下，
    求证：．
    若半径为，当的长为______ 时，四边形是正方形．

20. 如图，为了测量山坡上竖直旗杆的高度，小明在点处利用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，然后他沿着正对旗杆的方向前进到达点处，此时测得旗杆顶部和底端的仰角分别为和，求旗杆的高度．结果精确到参考数据：，，，

21. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元．
    求毛笔和宣纸的单价；
    某超市给出以下两种优惠方案：
    方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
    方案：购买张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．
    学校准备购买毛笔支，宣纸若干张超过张选择哪种方案更划算？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．
    求抛物线的解析式；
    结合图象直接写出不等式的解集；
    若点，都在抛物线上，当时，求的取值范围．
    
    
     

23. 在中，，点为边上一动点，，，连接，．
    问题发现：
    如图，若，则______，与的数量关系是______；
    类比探究：
    如图，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
    
    拓展应用：
    如图，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：负数正数；两个负数，绝对值大的反而小．先根据正数都大于，负数都小于，可排除、，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比小的数是．
【解答】
解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知．
故选A．  

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；
B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；
C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；
D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】

【解析】

解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：，，
，
是的外角，
．
故选：．
由平行线的性质可求得，再利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】

【解析】

解：、被调查的学生人数为：人，故本选项说法错误，不符合题意；
B、喜欢篮球的人数为：人，故本选项说法错误，不符合题意；
C、喜欢羽毛球和足球的人数为：人，因为喜欢羽毛球的人数是喜欢足球的人数的倍，所以喜欢足球的人数为：人，喜欢足球的扇形的圆心角为，故本选项说法正确，符合题意；
D、羽毛球的人数为人，占被调查人数的，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据喜欢乒乓球的人数和所占的百分比求出总人数，即可判断；用总人数乘以喜欢篮球的人数所占的百分比，即可判断；根据喜欢羽毛球的人数是喜欢足球的人数的倍，求出喜欢足球的人数，然后用乘以喜欢足球的人数所占的百分比，即可判断；用喜欢羽毛球的人数除以总人数，即可判断．
本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．
 

7.【答案】

【解析】

解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
，即，
，
该方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据的值，即可判断根的情况．
本题主要了考查根的判别式，明确题意，根据新定义列出关于的一元二次方程是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：如图，设菱形对角线与交与点，

点，点，在直线上，
，，
，，四边形是菱形，
，
，
，
，
第一次旋转，点的坐标为，
第三次旋转，点的坐标为，
第五次旋转，点的坐标为，
由题意可得每次旋转一个循环，
，
第次旋转结束时，点的坐标与第五次旋转后点的坐标相同，为，
故选：．
根据旋转的性质及旋转角，先求出点坐标，由题意可得每次旋转一个循环，即可求解．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特点，找到旋转的规律是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：根据题意可知：
的最大面积是，
此时点与点重合，
如图，

在中，，
设，则，


，
，
解得负值舍去，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
根据题意可得，的最大面积是，此时点与点重合，根据三角形的面积即可求出，再根据度特殊角即可求出的长．
本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．直接利用分式的定义进而分析得出答案．
【解答】
解：代数式有意义，
实数的取值范围是：，即．
故答案为：．  

12.【答案】

答案不唯一
 

【解析】

解：因为函数的图象过点，所以可设，
，
即，
答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
只要满足要求即可．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
 

13.【答案】

【解析】

解：把作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手机”的结果有种，
抽到“作业”和“手机”的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手机”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】

解：连接，如右图：
点是以为直径的半圆的三等分点，
，
的长为，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，
故答案为：．
连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据弧长公式求得半径，利用勾股定理求出、，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算，弧长的计算，掌握勾股定理、扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】

或
 

【解析】

解：在矩形中，，，
，，
是的中点，
，
，
沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，
，
设，则，
当是直角三角形时，
当时，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当时，
，
，
∽，
，
，
，
，
综上所述，当是直角三角形时，或，
故答案为：或．
根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，设，则，当是直角三角形时，当时，当时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

16.【答案】

解：

；



．
 

【解析】

先化简，然后计算加减法即可；
先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，再化简即可．
本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】

  八  该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 
 

【解析】

解：八年级共有名学生，第，名学生的成绩为分，分，
分；
故答案为：；
在八年级排名更靠前，理由如下：
八年级的中位数是分，七年级的中位数是分，
该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
根据题意得：
人，
则在抽取的名学生中，必须有人参加线上防治知识竞赛，
所以至少达到分；
故答案为：；
因为成绩分及以上有人，
所以人，
答：八年级达到“优秀”的人数为人．
根据八年级共有名学生，第，名学生的成绩为分，分，即可求出的值；
根据八年级的中位数是分，七年级的中位数是分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；
根据题意可得在抽取的名学生中，必须有人参加线上防治知识竞赛，观察直方图成绩是至分的有人，进而可作出判断；
用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

18.【答案】

证明：，
，
轴于点、于点，
，
∽；
解：解方程组，
解得：舍去负值，
点的坐标为，
，
∽，
，
，
点的横坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
点的坐标为；
解：将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，
解得．
 

【解析】

根据根据平行线的性质得到，，根据相似三角形的判定即可证得∽；
解析式联立，解方程组可求得的横坐标，根据反比例函数的定义及相似三角形的性质可求得的横坐标；
把的坐标代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】

解：如图，

证明：连接，
由可知，
，，
≌，
，
，，
，
；
解：当的长为时，四边形是正方形．

的长为，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
，
四边形是正方形．
故答案为．
利用尺规作图，作出的角平分线，交于点；
证明≌，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论；
由弧长公式可求出，由正方形的判定定理可得出结论．
本题考查了作图基本作图，切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，弧长公式，解决本题的关键是掌握切线的的性质．
 

20.【答案】

解：延长与延长线交于点，

设，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，即，
解得，
，；
在中，，
，
，
答：旗杆的高度．
 

【解析】

延长与延长线交于点，设，根据正切的定义用表示出、，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】

解：设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：毛笔的单价为元，宣纸的单价为元．
设购买宣纸张．
选择方案所需费用为元；
选择方案所需费用为．
当时，解得：，
当时，选择方案更划算；
当时，解得：，
当时，选择方案和方案所需费用一样；
当时，解得：，
当时，选择方案更划算．
答：当购买的宣纸数量超过张不足张时，选择方案更划算；当购买的宣纸数量等于张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过张时，选择方案更划算．
 

【解析】

本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式或一元一次方程．
设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，根据“购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买宣纸张，利用总价单价数量，可找出选择方案和选择方案所需费用，分，和三种情况，求出的取值范围或的值即可得出结论．
 

22.【答案】

解：把代入得，
点的坐标为，
把代入得，
解得，
点坐标为，
将，代入得，
解得，
抛物线解析式为．
由图象可得不等式的解集为或．
，
抛物线对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点坐标为，
抛物线开口向上，
当时，或．
 

【解析】

由一次函数解析式求出点，坐标，再通过待定系数法求解．
由图象中抛物线在直线上方时的取值范围求解．
由抛物线解析式求出抛物线对称轴，根据点坐标求出其关于抛物线对称轴的对称点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

23.【答案】

【解析】

解：，
，，
，，
和是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，
故答案为：，；
，，
理由如下：
，
，
，，
，
∽，，
，
，
∽，
，，
，
，
，
；
连接，分两种情况：
当时，如图所示：

四边形是正方形，
，对角线与互相垂直平分，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
当时，如图所示：
同得：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
综上所述，线段的长度为或．
证明≌，得，，则；
证∽，，得，再证∽，得，，则，进而得出结论；
连接，当时，证∽，得，求出，则，在中，由勾股定理求出即可；
当时，同得：，求出，则，在中，由勾股定理得即可．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．