2020-2021年江西省龙南县某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版

这是一份2020-2021年江西省龙南县某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版

2020-2021年江西省龙南县某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 已知代数式x−3有意义，则x的值可能是(        ) A.4 B.2 C.1 D.0 2. 下列二次根式中，与32是同类二次根式(化成最简二次根式后被开数相同)的是(        ) A.32 B.3 C.8 D.12 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE=2，则四边形ADFE的周长为(        ) A.2 B.4 C.6 D.8 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠COD=50∘，那么∠CAD的度数是(        ) A.30∘ B.20∘ C.40∘ D.25∘ 5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的边长为无理数的条数是(        ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 6. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=3，顶点A，B分别在y轴和x轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为(       ) A.8 B.9 C.73 D.85二、填空题  函数y=1−xx−1的自变量x的取值范围是________．   当a=________时，最简二次根式133a−2和2a+4可以合并．   若直角三角形两直角边长为a，b，且满足a2−6a+9+|b−4|=0，则该直角三角形斜边上的中线长为________．   如图，AD // BC，AC，BD交于点E，三角形ABE的面积等于2，三角形CBE的面积等于3，那么三角形DBC的面积等于________．   如图，矩形ABCD全等于矩形BEFG，点C在BG上，连接DF，点H为DF的中点，若AB=20，BC=12，则CH的长为________.   菱形ABCD的边长是4，∠ABC=120∘，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN，若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为________. 三、解答题  计算：(−2)2−364×14+1−2+(−3)2．   已知x=3+1，y=3−1，求x2+xy+y2的值．   如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE // BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形．   如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E是五个格点，请在所给的网格中按下列要求画出图形． (1)从所给的五个格点中选出其中四个作为顶点作一个平行四边形； (2)过剩余一个点做一条直线l，使得直线l平分(1)小题中所作的平行四边形的面积．  在进行二次根式的运算时，如遇到23+1这样的式子，还需做进一步的化简：23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=2(3−1)3−1=3−1.还可以用以下方法化简：23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．分别用上述两种方法化简：25−3．   同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）． (1)证明：四边形AECF是菱形； (2)求菱形AECF的面积．  如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB=60∘，EF=DC． (1)求证：四边形EFCD是平行四边形； (2)若BF=EF，求证：AE=AD．  如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN // AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD,BE． (1)求证：CE=AD； (2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．  如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=10，∠C=30∘，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是tt>0 秒，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）参考答案与试题解析2020-2021年江西省龙南县某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】二次根式有意义的条件【解析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：根据题意可知x−3有意义，则x−3≥0，解得x≥3，所以x的值可能是4.故选A．2.【答案】C【考点】同类二次根式【解析】无【解答】解：A，不是同类二次根式，故选项A不符合题意；B，不是同类二次根式，故选项B不符合题意；C，原式=22，是同类二次根式，故选项C符合题意；D，原式=23，不是同类二次根式，故选项D不符合题意．故选C．3.【答案】D【考点】三角形中位线定理线段的中点【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，∴ DF，EF为三角形ABC的中位线，∴ AB=AC=2CE=4，AD=12AB=2，AE=12AC=2，DF=12AC=2，EF=12AB=2，∴ 四边形ADFE的周长为AD+AE+EF+DF=8.故选D.4.【答案】D【考点】矩形的性质等腰三角形的性质三角形的外角性质【解析】只要证明OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵ 矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴ DB=AC，OD=OB，OA=OC，∴ OA=OD，∴ ∠CAD=∠ADO.∵ ∠COD=50∘=∠CAD+∠ADO，∴ ∠CAD=25∘.故选D.5.【答案】C【考点】勾股定理【解析】根据图形和勾股定理来解答即可.【解答】解：∵ AB=12+42=17，BC=12+32=10，AC=32+42=5，∴△ABC的边长有两条是无理数.故选C.6.【答案】B【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的三边关系可得O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，利用勾股定理可求出DE的长，根据直角三角形斜边中线的性质可得OE的长，即可求出OD的长，可得答案【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，则当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大，∵ AB=8，BC=3，∠AOB=90∘，∴ OE=AE=12AB=4，∴ DE=AD2+AE2=32+42=5，∴ OD=OE+DE=9，即OD的最大值为9.故选B．二、填空题【答案】x<1【考点】分式有意义、无意义的条件函数自变量的取值范围二次根式有意义的条件【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得：1−x≥0，且x−1≠0,解得：x<1.故答案为：x<1.【答案】3【考点】同类二次根式【解析】两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到3a−2=a+4，然后解方程即可．【解答】解：∵ 最简二次根式133a−2和2a+4可以合并，∴ 3a−2=a+4，解得a=3，∴ 当a=3时，最简二次根式133a−2和2a+4可以合并．故答案为：3．【答案】52【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线非负数的性质：绝对值非负数的性质：算术平方根【解析】根据非负数的性质得到a、b的值，然后结合勾股定理求得斜边的长度，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：∵ a2−6a+9+|b−4|=0，∴ a2−6a+9=0，|b−4|=0，解得a=3，b=4，∴ 该直角三角形的斜边长为32+42=5，∴ 该直角三角形斜边上的中线长为12×5=52．故答案为：52.【答案】5【考点】平行线之间的距离三角形的面积【解析】由于AD∥BC，则点B、点C到直线AD的距离相等，利用三角形面积公式得到S△ABD=S△ACD，两三角形的面积都减去三角形AED的面积，贝S△ABE=S△ECD=2，然后利用S△DBC=S△ECD+S△BCE进行计算即可．【解答】解：∵AD//BC，∴S△ABD=S△ACD ，∴S△ABE=S△ECD=2，∴S△DBC=S△ECD+S△BCE=2+3=5.故答案为：5．【答案】42【考点】矩形的性质直角三角形斜边上的中线等腰三角形的判定与性质解直角三角形的应用全等三角形的性质与判定【解析】连接GH并延长GH交CD于Q，由矩形的性质得出AB=CD=BG=10，BC=FG=6，FG//AE//CD，∠GCQ=90∘，由平行线的性质得出∠HFG=∠HDQ，由ASA证得△HFG≅△HDQ，得出DQ=FG=6，HG=HQ，CGBC=4，CQ=CD−DQ=4，则△GCQ是等腰直角三角形，得出GQ=2CQ=82，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：连接GH并延长GH交CD于Q，如图所示，∵矩形ABCD全等于矩形BEFG，∴AB=CD=BG=10，BC=FG=6，FG//AE//CD，∠GCQ=90∘，∴∠HFG=∠HDQ.∵点H为DF的中点，∴HF=HD，在△HFG和△HDQ中，∠HFG=∠HDQ,HF=HD,∠GHF=∠QHD,∴△HFG≅△HDQASA，∴DQ=FG=12，HG=HQ，∵ CG=BG−BC=20−12=8，CQ=CD−DQ=20−12=8，∴△GCQ是等腰直角三角形，∴GQ=2CQ=82.在Rt△GCQ中，HG=HQ，∴ CH=12GQ=12×82=42．故答案为：42．【答案】433或23−2【考点】锐角三角函数的定义菱形的性质翻折变换（折叠问题）等腰三角形的判定与性质【解析】△A′DC恰为等腰三角形，分两种情况进行讨论：当A′D=A′C时，当CD=CA′=4时，分别通过解直角三角形，求得AA′的长，即可得到AP的长．【解答】解：∵ ∠ABC=120∘，∴ ∠DAB=∠MA′N=60∘；①如图，当A′D=A′C时，∠A′DC=∠A′CD=30∘，∴ ∠AA′D=60∘，又∵ ∠CAD=30∘，∴ ∠ADA′=90∘，∴ 在Rt△ADA′中，AA′=ADcos30∘=432=833，由折叠可得，AP=12AA′=433；②如图，当CD=CA′=4时，连接BD交AC于O，则在Rt△COD中，CO=CD×cos30∘=4×32=23，∴ AC=43，∴ AA′=AC−A′C=43−4，由折叠可得，AP=12AA′=23−2.故答案为：433或23−2.三、解答题【答案】解：原式=2−4×14+2−1+3=2−1+2−1+3=3+2．【考点】实数的运算绝对值算术平方根立方根的应用【解析】本题涉及乘方、开方、绝对值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=2−4×14+2−1+3=2−1+2−1+3=3+2．【答案】解：∵ x=3+1，y=3−1，∴ x+y=(3+1)+(3−1)=23，xy=(3+1)(3−1)=2，∴ x2+xy+y2=x2+2xy+y2−xy=(x+y)2−xy=10．【考点】二次根式的化简求值平方差公式完全平方公式【解析】根据二次根式的加减法法则、平方差公式求出x+y、xy，利用完全平方公式把所求的代数式变形，代入计算即可．【解答】解：∵ x=3+1，y=3−1，∴ x+y=(3+1)+(3−1)=23，xy=(3+1)(3−1)=2，∴ x2+xy+y2=x2+2xy+y2−xy=(x+y)2−xy=10．【答案】证明：∵ AB=AC，AD是角平分线，∴ ∠B=∠ACB，AD⊥BC.∵ AE平分∠FAC，∴ ∠FAE=∠EAC.∵ ∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴ ∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴ AE // CD.又∵ DE // AB，∴ 四边形AEDB是平行四边形，∴ AE=BD.∵ AD⊥BC，AB=AC，∴ BD=DC，∴ AE // DC，AE=DC，∴ 四边形ADCE是平行四边形，又∵ ∠ADC=90∘，∴ 四边形ADCE是矩形．【考点】矩形的判定平行四边形的性质与判定角平分线的定义【解析】首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE // CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵ AB=AC，AD是角平分线，∴ ∠B=∠ACB，AD⊥BC.∵ AE平分∠FAC，∴ ∠FAE=∠EAC.∵ ∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴ ∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴ AE // CD.又∵ DE // AB，∴ 四边形AEDB是平行四边形，∴ AE=BD.∵ AD⊥BC，AB=AC，∴ BD=DC，∴ AE // DC，AE=DC，∴ 四边形ADCE是平行四边形，又∵ ∠ADC=90∘，∴ 四边形ADCE是矩形．【答案】解：(1)如图，四边形ABDE即为所求.(2)如图，连接AD，BE，相交于点O，过点O，C画直线l，即直线l即为所求.【考点】作图—复杂作图平行四边形的性质【解析】（1）利用平行四边形的面积公式，可作一个底边为2个单位，高为3个单位的平行四边形；（2）由于正方形的面积为5，则正方形的边长为5，然后作出5的线段长，再作边长为5的正方形．【解答】解：(1)如图，四边形ABDE即为所求.(2)如图，连接AD，BE，相交于点O，过点O，C画直线l，即直线l即为所求.【答案】解：25−3=2(5+3)(5−3)(5+3)=2(5+3)(5)2−(3)2=2(5+3)2=5+3；25−3=5−35−3=(5)2−(3)25−3=(5+3)(5−3)5−3=5+3．【考点】分母有理化【解析】根据题中给出的例子把原式进行分母有理化即可．【解答】解：25−3=2(5+3)(5−3)(5+3)=2(5+3)(5)2−(3)2=2(5+3)2=5+3；25−3=5−35−3=(5)2−(3)25−3=(5+3)(5−3)5−3=5+3．【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD // BC，∴ ∠DAC=∠ACE，∵ ∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB，∴ ∠CAE=∠ACF，∴ AE // CF.∵ AF // EC，∴ 四边形AECF是平行四边形，∵ ∠FAC=∠FCA，∴ AF=CF，∴ 四边形AECF是菱形．(2)解：∵ 四边形AECF是菱形，∴ AE=EC=CF=AF，设菱形的边长AE=a，则BE=18−a，在Rt△ABE中，∠B=90∘，AB=12，∴ AE2=AB2+BE2，∴ a2=122+(18−a)2，∴ a=13，∴ AF=EC=13，∴ BE=DF=5，∴ S菱形AECF=S矩形ABCD−S△ABE   −S△DFC   =216−30−30=156cm2．【考点】矩形的性质菱形的判定平行四边形的性质与判定菱形的性质勾股定理【解析】（1）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AF＝CE即可．（2）在RT△ABE中利用勾股定理求出BE、AE，再根据S菱形AECF＝S矩形ABCD−S△ABE−S△DFC求出面积即可．【解答】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD // BC，∴ ∠DAC=∠ACE，∵ ∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB，∴ ∠CAE=∠ACF，∴ AE // CF.∵ AF // EC，∴ 四边形AECF是平行四边形，∵ ∠FAC=∠FCA，∴ AF=CF，∴ 四边形AECF是菱形．(2)解：∵ 四边形AECF是菱形，∴ AE=EC=CF=AF，设菱形的边长AE=a，则BE=18−a，在Rt△ABE中，∠B=90∘，AB=12，∴ AE2=AB2+BE2，∴ a2=122+(18−a)2，∴ a=13，∴ AF=EC=13，∴ BE=DF=5，∴ S菱形AECF=S矩形ABCD−S△ABE   −S△DFC   =216−30−30=156cm2．【答案】证明：(1)∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABC=60∘，∵ ∠EFB=60∘，∴ ∠ABC=∠EFB，∴ EF // DC（内错角相等，两直线平行），∵ DC=EF，∴ 四边形EFCD是平行四边形；(2)连接BE，如图，∵ BF=EF，∠EFB=60∘，∴ △EFB是等边三角形，∴ EB=EF，∠EBF=60∘，∵ DC=EF，∴ EB=DC，∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB=60∘，AB=AC，∴ ∠EBF=∠ACB，∴ △AEB≅△ADC(SAS)，∴ AE=AD．【考点】平行四边形的判定等边三角形的性质全等三角形的性质与判定【解析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠B＝60∘，而∠EFB＝60∘，由此可以证明EF // DC，而DC＝EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；（2）如图，连接BE，由BF＝EF，∠EFB＝60∘可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB＝EF，∠EBF＝60∘，而DC＝EF，由此得到EB＝DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB＝60∘，AB＝AC，然后即可证明△AEB≅△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE＝AD．【解答】证明：(1)∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABC=60∘，∵ ∠EFB=60∘，∴ ∠ABC=∠EFB，∴ EF // DC（内错角相等，两直线平行），∵ DC=EF，∴ 四边形EFCD是平行四边形；(2)连接BE，如图，∵ BF=EF，∠EFB=60∘，∴ △EFB是等边三角形，∴ EB=EF，∠EBF=60∘，∵ DC=EF，∴ EB=DC，∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB=60∘，AB=AC，∴ ∠EBF=∠ACB，∴ △AEB≅△ADC(SAS)，∴ AE=AD．【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴ ∠BAD=∠DAC.∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴ ∠MAE=∠CAE，∴ ∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180∘=90∘.又∵ AD⊥BC，CE⊥AN，∴ ∠ADC=∠CEA=90∘，∴ 四边形ADCE为矩形．(2)解：当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵ AB=AC，∴ ∠ACB=∠B=45∘.∵ AD⊥BC，∴ ∠CAD=∠ACD=45∘，∴ DC=AD.∵ 四边形ADCE为矩形，∴ 矩形ADCE是正方形．∴ 当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形．【考点】矩形的判定与性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质【解析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90∘，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=12BC，由已知可得，DC=12BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴ ∠BAD=∠DAC.∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴ ∠MAE=∠CAE，∴ ∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180∘=90∘.又∵ AD⊥BC，CE⊥AN，∴ ∠ADC=∠CEA=90∘，∴ 四边形ADCE为矩形．(2)解：当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵ AB=AC，∴ ∠ACB=∠B=45∘.∵ AD⊥BC，∴ ∠CAD=∠ACD=45∘，∴ DC=AD.∵ 四边形ADCE为矩形，∴ 矩形ADCE是正方形．∴ 当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形．【答案】解：(1)在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=52−32=16，∴ BC=4cm.(2)由题意知BP=tcm，①当∠APB=90∘时，点P与点C重合，如图①，BP=BC=4cm，此时t=4；②当∠BAP=90∘时，如图②，BP=tcm，CP=(t−4)cm，AC=3cm，在Rt△ACP中，AP2=32+(t−4)2，在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，即：52+[32+(t−4)2]=t2，解得：t=254，故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=254.【考点】勾股定理【解析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；【解答】解：(1)在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=52−32=16，∴ BC=4cm.(2)由题意知BP=tcm，①当∠APB=90∘时，点P与点C重合，如图①，BP=BC=4cm，此时t=4；②当∠BAP=90∘时，如图②，BP=tcm，CP=(t−4)cm，AC=3cm，在Rt△ACP中，AP2=32+(t−4)2，在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，即：52+[32+(t−4)2]=t2，解得：t=254，故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=254.【答案】(1)证明：∵ DE⊥BC，∴ ∠DFB=90∘，∵ ∠ACB=90∘，∴ ∠ACB=∠DFB，∴ AC // DE，又∵ MN // AB，即CE // AD，∴ 四边形ADEC是平行四边形，∴ CE=AD；(2)解：四边形BECD是菱形，理由：∵ D为AB中点，∴ AD=BD，∵ CE=AD，∴ BD=CE，∵ BD // CE，∴ 四边形BECD是平行四边形，∵ DE⊥BC,∴ 四边形BECD是菱形；(3)解：当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形，理由：∵ ∠ACB=90∘，∠A=45∘，∴ ∠ABC=∠A=45∘，∴ AC=BC，∵ D为BA中点，∴ CD⊥AB，∴ ∠CDB=90∘，∵ 四边形BECD是菱形，∴ 四边形BECD是正方形，即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形．【考点】正方形的判定与性质菱形的判定平行四边形的应用【解析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90∘，再根据正方形的判定推出即可．【解答】(1)证明：∵ DE⊥BC，∴ ∠DFB=90∘，∵ ∠ACB=90∘，∴ ∠ACB=∠DFB，∴ AC // DE，又∵ MN // AB，即CE // AD，∴ 四边形ADEC是平行四边形，∴ CE=AD；(2)解：四边形BECD是菱形，理由：∵ D为AB中点，∴ AD=BD，∵ CE=AD，∴ BD=CE，∵ BD // CE，∴ 四边形BECD是平行四边形，∵ DE⊥BC,∴ 四边形BECD是菱形；(3)解：当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形，理由：∵ ∠ACB=90∘，∠A=45∘，∴ ∠ABC=∠A=45∘，∴ AC=BC，∵ D为BA中点，∴ CD⊥AB，∴ ∠CDB=90∘，∵ 四边形BECD是菱形，∴ 四边形BECD是正方形，即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形．【答案】(1)证明：在△DFC中，∵ ∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=2t，∴ DF=t．又∵ AE=t，∴ AE=DF.∵ AE//DF，∴ 四边形AEFD是平行四边形． (2)解：∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ 当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．∵ ∠A=90∘−∠C=60∘，∴ AD=AE．∵ AE=t，AC=10，∴ AD=AC−CD=10−2t，即t=10−2t，解得t=103，∴ 当t为103时，△DEF是等边三角形．(3)解：∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ 当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．当∠AED=90∘时，AD=2AE，即10−2t=2t，解得t=52；当∠ADE=90∘时，AE=2AD，即t=210−2t，解得t=4．综上所述，当t为52或4时，△DEF为直角三角形．【考点】平行四边形的判定含30度角的直角三角形动点问题运动产生特殊四边形平行四边形的性质等边三角形的性质直角三角形的性质【解析】无无无【解答】(1)证明：在△DFC中，∵ ∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=2t，∴ DF=t．又∵ AE=t，∴ AE=DF.∵ AE//DF，∴ 四边形AEFD是平行四边形． (2)解：∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ 当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．∵ ∠A=90∘−∠C=60∘，∴ AD=AE．∵ AE=t，AC=10，∴ AD=AC−CD=10−2t，即t=10−2t，解得t=103，∴ 当t为103时，△DEF是等边三角形．(3)解：∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ 当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．当∠AED=90∘时，AD=2AE，即10−2t=2t，解得t=52；当∠ADE=90∘时，AE=2AD，即t=210−2t，解得t=4．综上所述，当t为52或4时，△DEF为直角三角形．