2020-2021学年四川省南充市某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版

这是一份2020-2021学年四川省南充市某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A.14B.48C.abD.4a+4

2. 下列二次根式，不能与12合并的是（ ）
A.48B.18C.113D.−75

3. 下列各式成立的是( )
A.(−−2)2=2B.(−2)2=2C.(−2)2=−2D.(23)2=6

4. 下列各组数中，不是勾股数的是( )
A.0.3，0.4，0.5B.9，40，41
C.6，8，10D.7，24，25

5. 若△ABC三边长a，b，c满足a+b−25+|b−a−1|+(c−5)2=0，则△ABC是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

6. 下列说法中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的矩形是菱形
C.平行四边形的对角线平分一组对角
D.矩形的对角线相等且互相平分

7. 平行四边形的两条对角线长分别为6和10，则平行四边形的一条边的长x的取值范围为（ ）
A.4
8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是( )

A.7B.8C.72D.73

9. 若y=3−x+x−3+1成立，则x+y的值为( )
A.±2B.2C.−2D.±3

10. 如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为( )

A.54cm2B.58cm2C.516cm2D.532cm2
二、填空题

如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=3，则菱形ABCD的边长是________.


如果把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，那么菱形中点四边形的形状是________．

如果a+a2−6a+9=3成立，那么实数a的取值范围是________．

如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是________．


如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是________cm.


如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45∘得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1−22； ③∠AFG=112.5∘；④BC+FG=2．其中正确的结论是________.

三、解答题

计算：248−913−32−27.

甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35∘航行，乙船向南偏东55∘航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？


已知x+y=−5， xy=4，求 yx+xy的值.

如图，菱形ABCD，对角线AC，BD交于点O，DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC．


如图，∠B=90∘，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．


如图，平面直角坐标系中有一长方形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为8,6，将△ABO沿OB折叠A点与D点重合，OD与BC交于点E．

(1)求证：△OCE≅△BDE；

(2)求点E的坐标．

在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.

(1)求证：CE=AD；

(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；

(3)在满足(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？说明理由．

如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．

(1)如图①，当∠DAG=30∘ 时，求BE的长；

(2)如图②，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；

(3)如图③，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时．求出BE的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省南充市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
最简二次根式
【解析】
根据最简二次根式的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：48=42×3=43；
ab=abb；
4a+4=2a+2，
只有14是最简二次根式.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
同类二次根式
【解析】
本题主要考查同类二次根式的概念 .
【解答】
解：∵ 12=23，48=43，18=32，
113=233，−75=−53，
∴ 不能与12合并的是18 .
故选B .
3.
【答案】
B
【考点】
二次根式的性质与化简
积的乘方及其应用
【解析】
根据二次根式的性质，将各选项化简判断即可．
【解答】
解：A，二次根式被开方数不能为负，故A不符合题意；
B，−22=2，故B符合题意；
C，−22≠−2，故C不符合题意；
D，232=4×3=12，故D不符合题意.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
勾股数
【解析】
利用勾股数的定义对各个选项进行判断即可..
【解答】
解：A，0.32+0.42=0.52，但不是整数，不是勾股数，此选项符合题意；
B，92+402=412，是勾股数，此选项不符合题意；
C，62+82=102，是勾股数，此选项不符合题意；
D，72+242=252，是勾股数，此选项不符合题意.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
非负数的性质：绝对值
非负数的性质：偶次方
非负数的性质：算术平方根
勾股定理的逆定理
【解析】
根据非负数的性质可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理可推出这个三角形是直角三角形．
【解答】
解：因为△ABC三边长a，b，c满足a+b−25+|b−a−1|+(c−5)2=0，
且a+b−25≥0，|b−a−1|≥0，(c−5)2≥0，
所以a+b−25=0，b−a−1=0，c−5=0，
所以a=12，b=13，c=5.
因为122+52=132，
所以△ABC是直角三角形．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
正方形的判定
矩形的判定与性质
平行四边形的性质
菱形的性质
【解析】
由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．
【解答】
解：A，对角线相等的平行四边形是矩形，故A不正确；
B，对角线互相垂直的矩形是正方形，故B不正确；
C，平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，故C不正确；
D，矩形的对角线互相平分且相等，故D正确.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
三角形三边关系
平行四边形的性质
【解析】
平行四边形的两条对角线相交于平行四边形的两边构成三角形，这个三角形的两条边是3，5，第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足3+5>x5−3【解答】
解：平行四边形的两条对角线相交和平行四边形的一边构成三角形，
这个三角形的两条边是3，5，
第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足3+5>x,5−3解得2故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
【解析】
24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．
【解答】
解：∵ AE=5，BE=12，
即5和12为四个全等的直角三角形的两条直角边长，
∴ 小正方形的边长为12−5=7，
∴ EF=72+72=72．
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
二次根式有意义的条件
算术平方根
【解析】
要使二次根式有意义，则3−x≥0且x−3≥0，求出x=3，y=1，代入即可得到答案.
【解答】
解：∵ y=3−x+x−3+1成立，
∴ 3−x≥0且x−3≥0，
∴ x≤3且x≥3，
∴ x=3，
∴ y=1，
∴ x+y=4=2.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的性质
规律型：图形的变化类
【解析】
根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的12，然后求解即可．
【解答】
解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，
∵ O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴ 平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的12，
∴ 平行四边形AOC1B的面积=12S，
∵ 平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴ 平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的12，
∴ 平行四边形AO1C2B的面积=12×12S=S22，
…
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积=S25=2025=58(cm2)．
故选B.
二、填空题
【答案】
6
【考点】
菱形的性质
等边三角形的性质与判定
【解析】
易证△ABD是等边三角形．再根据中位线定理易求BD．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，
∵ E，F分别是AB，AD的中点，
∴ AE=AF，
又∵ ∠A=60∘，
∴ △AEF是等边三角形．
∴ AB=AD=BD，
∵ E，F分别是AB，AD的中点，
∴ AB=2AE=2EF=2×3=6．
故答案为：6．
【答案】
矩形
【考点】
中点四边形
【解析】
利用中点四边形的定义得出，以及矩形的判定：有一角为90∘的平行四边形是矩形，得出菱形中点四边形的形状．
【解答】
解：由中位线定理可得，中点四边形的对边平行且相等，
则此四边形为平行四边形.
又因为菱形的对角线互相垂直平分，
可求得中点四边形的一角为90∘，
所以菱形中点四边形的形状是矩形．
故答案为：矩形．
【答案】
a≤3
【考点】
二次根式的性质与化简
完全平方公式
绝对值
【解析】
根号里的是(a−3)2，要使a+a2−6a+9=3成立，则a+|a−3|=3，根据绝对值的定义可知．
【解答】
解：因为a+a2−6a+9=3，
即a+|a−3|=3，
当a≤3时，a+|a−3|=a+3−a=3，
所以a的取值范围是a≤3．
故答案为：a≤3.
【答案】
245cm
【考点】
菱形的性质
【解析】
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CO=12AC=3cm，BO=12BD=4cm，AC⊥BD，
∴ BC=AO2+BO2=5(cm)，
∴ S菱形ABCD=BD⋅AC2=12×6×8=24(cm2)，
∵ S菱形ABCD=BC×AE，
∴ BC×AE=24(cm2)，
∴ AE=24BC=245(cm)．
故答案为：245cm．
【答案】
17
【考点】
平面展开-最短路径问题
勾股定理
【解析】
沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
【解答】
解：如图，沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
又AC=12×30=15(cm)，∠C=90∘，BC=8cm，
由勾股定理，得AB=AC2+BC2=17(cm)．
故答案为：17.
【答案】
①②④
【考点】
全等三角形的判定
旋转的性质
三角形的面积
正方形的性质
菱形的判定与性质
【解析】
依据四边形AEGF为平行四边形，以及AE=GE，即可得到平行四边形AEGF是菱形；依据AE=2−1，即可得到△HED的面积=12DH×AE=122−1+12−1=1−22；依据四边形AEGF是菱形，可得∠AFG=∠GEA=2×67.5∘=135∘；根据四边形AEGF是菱形，可得FG=AE=2−1，进而得到BC+FG=1+2−1=2.
【解答】
解：∵ 正方形ABCD的边长为1，
∴ ∠BCD=∠BAD=90∘，∠CBD=45∘ ，AD=CD=1，
∴ BD=2.
由旋转的性质可知∠HGD=∠BCD=90∘ ，
∠H=∠CBD=45∘，
BD=HD，GD=CD，
∴ HA=BG=2−1，
∵ ∠H=∠EBG=45∘，∠HAE=∠BGE=90∘，
∴ △HAE和△BGE均为直角边为2−1的等腰直角三角形，
∴AE=GE，
在Rt△AED和Rt△GED中，
DE=DE,AD=GD,
∴ Rt△AED≅Rt△GEDHL，
∴ ∠AED=∠GED=12180∘−∠BEG=67.5∘，
∴ ∠AFE=180∘−∠EAF−∠AEF
=180∘−45∘−67.5∘=67.5∘=∠AEF，
∴ AE=AF.
∵ AE=GE ，AF⊥BD ，EG⊥BD，
∴ AF=GE且AF//GE，
∴ 四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵ HA=2−1， ∠H=45∘，
∴ AE=2−1，
∴ △HED的面积为
12DH×AE=122−1+12−1
=1−22，故②正确；
∵ 四边形AEGF是菱形，
∴ ∠AFG=∠GEA=2×67.5∘=135∘，故③不正确；
∵ 四边形AEGF是菱形，
∴ FG=AE=2−1，
∴ BC+FG=1+2−1=2，故④正确．
综上所述：正确的结论有①②④.
故答案为：①②④.
三、解答题
【答案】
解：原式=242×3−939−23+3×27
=83−33−23+9
=33+9．
【考点】
二次根式的混合运算
实数的运算
二次根式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=242×3−939−23+3×27
=83−33−23+9
=33+9．
【答案】
解：由题意知∠BAC=90∘，AC=12×2=24，BC=30，
∴ AB=302−242=18，
∴ 乙船速度为18÷2=9（海里/时）．
答：乙船的速度是每小时9海里．
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．
【解答】
解：由题意知∠BAC=90∘，AC=12×2=24，BC=30，
∴ AB=302−242=18，
∴ 乙船速度为18÷2=9（海里/时）．
答：乙船的速度是每小时9海里．
【答案】
解：因为x+y=−5且xy=4，
所以x<0，y<0，
所以yx+xy
=y2xy+x2xy
=y2+x2xy
=−y−xxy
=−x+yxy
=52=2.5.
【考点】
二次根式的混合运算
二次根式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为x+y=−5且xy=4，
所以x<0，y<0，
所以yx+xy
=y2xy+x2xy
=y2+x2xy
=−y−xxy
=−x+yxy
=52=2.5.
【答案】
证明：∵ DE//AC，CE//BD，
∴ 四边形OCED为平行四边形，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC=DC，∠DOC=90∘，
∴ 平行四边形OCED为矩形，
∴ OE=DC，
∴ OE=BC.
【考点】
菱形的性质
矩形的判定与性质
平行四边形的判定
【解析】
先求出四边形OCED是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90∘，证明OCED是矩形，利用矩形的性质即可求出BC=OE.
【解答】
证明：∵ DE//AC，CE//BD，
∴ 四边形OCED为平行四边形，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC=DC，∠DOC=90∘，
∴ 平行四边形OCED为矩形，
∴ OE=DC，
∴ OE=BC.
【答案】
解：在Rt△ABC中，∠B=90∘，
且AB=3，BC=4，
由勾股定理，得AC=AB2+BC2=5，
因为CD=12，AD=13，
且AC2+CD2=52+122=132=AD2，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90∘.
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，∠ACD=90∘，
所以CE=12AD=12×13=6.5.
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
勾股定理的逆定理
【解析】
响B9】先由勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半即可求解．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠B=90∘，
且AB=3，BC=4，
由勾股定理，得AC=AB2+BC2=5，
因为CD=12，AD=13，
且AC2+CD2=52+122=132=AD2，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90∘.
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，∠ACD=90∘，
所以CE=12AD=12×13=6.5.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形OCBA为矩形，
∴ CO=AB，∠OAB=∠OCB．
由翻折的性质可知∠D=∠OAB，BD=AB，
∴ OC=BD，∠D=∠OCB，
∴ 在△OCE和△BDE中，∠D=∠OCB，∠CEO=∠DEB，OC=BD，
∴ △OCE≅△BDE(AAS).
(2)解：∵ △OCE≅△BDE，
∴ EO=EB．
设CE=x，则OE=BE=8−x，
在Rt△OCE中，OC=6，
根据勾股定理得OC2+CE2=OE2，
即36+x2=8−x2，
解得x=74，
∴ E74,6．
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
全等三角形的判定
全等三角形的性质
勾股定理
点的坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ 四边形OCBA为矩形，
∴ CO=AB，∠OAB=∠OCB．
由翻折的性质可知∠D=∠OAB，BD=AB，
∴ OC=BD，∠D=∠OCB，
∴ 在△OCE和△BDE中，∠D=∠OCB，∠CEO=∠DEB，OC=BD，
∴ △OCE≅△BDE(AAS).
(2)解：∵ △OCE≅△BDE，
∴ EO=EB．
设CE=x，则OE=BE=8−x，
在Rt△OCE中，OC=6，
根据勾股定理得OC2+CE2=OE2，
即36+x2=8−x2，
解得x=74，
∴ E74,6．
【答案】
(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB // CD．
因为BE // DF，BE=DF，
所以，四边形BFDE是平行四边形．
因为DE⊥AB，
所以∠DEB=90∘，
所以四边形BFDE是矩形.
(2)解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB // DC，
所以∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC=FC2+FB2=32+42=5，
所以AD=BC=DF=5，
所以∠DAF=∠DFA，
所以∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【考点】
平行四边形的性质
平行四边形的判定
矩形的判定
勾股定理
角平分线的定义
【解析】
（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
【解答】
(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB // CD．
因为BE // DF，BE=DF，
所以，四边形BFDE是平行四边形．
因为DE⊥AB，
所以∠DEB=90∘，
所以四边形BFDE是矩形.
(2)解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB // DC，
所以∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC=FC2+FB2=32+42=5，
所以AD=BC=DF=5，
所以∠DAF=∠DFA，
所以∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【答案】
(1)证明：∵ DE⊥BC，
∴ ∠DFB=90∘，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACB=∠DFB，
∴ AC//DE，
∵ MN//AB，即CE//AD，
∴ 四边形ADEC是平行四边形，
∴ CE=AD.
(2)解：四边形CDBE是菱形，理由如下：
∵ D为AB中点，
∴ AD=BD，
∵ CE=AD，
∴ BD=CE，
∵ BD//CE，
∴ 四边形CDBE是平行四边形，
∵ ∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴ CD=BD，
∴ 四边形CDBE是菱形.
(3)解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形，理由如下：
∵ ∠ACB=90∘，AC=BC，D为AB的中点，
∴ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90∘，
∴ 四边形CDBE是正方形．
【考点】
平行四边形的判定
菱形的判定
平行四边形的性质
直角三角形斜边上的中线
正方形的判定
等腰直角三角形
【解析】
(1)由已知易证AC//DE ，从而由平行四边形定义即可判定四边形ADEC是平行四边形，再由平行四边形的性质得出结论.
(2)先证明四边形BECD是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半说明邻边相等，证明该四边形是菱形.
(3)由平行线的性质得出∠EDB=∠A ，由正方形的性质得出∠BDC=90∘ ∠EDB=12∠BDC=45∘，即可得出结论．
【解答】
(1)证明：∵ DE⊥BC，
∴ ∠DFB=90∘，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACB=∠DFB，
∴ AC//DE，
∵ MN//AB，即CE//AD，
∴ 四边形ADEC是平行四边形，
∴ CE=AD.
(2)解：四边形CDBE是菱形，理由如下：
∵ D为AB中点，
∴ AD=BD，
∵ CE=AD，
∴ BD=CE，
∵ BD//CE，
∴ 四边形CDBE是平行四边形，
∵ ∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴ CD=BD，
∴ 四边形CDBE是菱形.
(3)解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形，理由如下：
∵ ∠ACB=90∘，AC=BC，D为AB的中点，
∴ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90∘，
∴ 四边形CDBE是正方形．
【答案】
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以∠BAD=90∘，
因为∠DAG=30∘，
所以∠BAG=60∘，
由折叠的性质知∠BAE=12∠BAG=30∘．
在Rt△BAE中∠BAE=30∘，AB=3，
设BE=x，则AE=2x，
由勾股定理，得x2+32=(2x)2，
解得x=3，即BE=3.
(2)如图，连接GE，
因为点E是BC的中点，
所以BE=EC.
因为△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
所以BE=EF，
所以EF=EC．
由题易得∠C=90∘，∠EFG=90∘，
在Rt△GFE和Rt△GCE中，
EG=EG,EF=EC,
所以Rt△GFE≅Rt△GCE(HL)，
所以GF=GC．
设GC=x，则AG=3+x，DG=3−x，
在Rt△ADG中，
由勾股定理，得42+3−x2=3+x2，
解得x=43，即GC=43．
(3)由折叠知，∠AFE=∠B=90∘，EF=BE，
所以EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，
所以当CF最小时，△CFE的周长最小．
如图1，
由折叠知，AF=AB=3，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，
由勾股定理，得AC=5，
所以CF=AC−AF=2．
在Rt△CEF中，
由勾股定理，得EF2+CF2=CE2，
即BE2+CF2=4−BE2，
所以BE2+22=(4−BE)2，
所以BE=32.
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
矩形的性质
含30度角的直角三角形
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以∠BAD=90∘，
因为∠DAG=30∘，
所以∠BAG=60∘，
由折叠的性质知∠BAE=12∠BAG=30∘．
在Rt△BAE中∠BAE=30∘，AB=3，
设BE=x，则AE=2x，
由勾股定理，得x2+32=(2x)2，
解得x=3，即BE=3.
(2)如图，连接GE，
因为点E是BC的中点，
所以BE=EC.
因为△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
所以BE=EF，
所以EF=EC．
由题易得∠C=90∘，∠EFG=90∘，
在Rt△GFE和Rt△GCE中，
EG=EG,EF=EC,
所以Rt△GFE≅Rt△GCE(HL)，
所以GF=GC．
设GC=x，则AG=3+x，DG=3−x，
在Rt△ADG中，
由勾股定理，得42+3−x2=3+x2，
解得x=43，即GC=43．
(3)由折叠知，∠AFE=∠B=90∘，EF=BE，
所以EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，
所以当CF最小时，△CFE的周长最小．
如图1，
由折叠知，AF=AB=3，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，
由勾股定理，得AC=5，
所以CF=AC−AF=2．
在Rt△CEF中，
由勾股定理，得EF2+CF2=CE2，
即BE2+CF2=4−BE2，
所以BE2+22=(4−BE)2，
所以BE=32.