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2020-2021学年江西省赣州市某校初三（下）期中考试数学试卷新人教版
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2020-2021学年江西省赣州市某校初三（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 2的相反数是（ ） A.2 B.2 C.−2 D.4 2. 下列运算正确的是( ) A.x2⋅x3=x6 B.x6÷x2=x3 C.x23=x5 D.−3x23=−27x6 3. 下列依次是南昌航空大学、江西师范大学、井冈山大学和江西科技师范大学，共四所大学标志中的图案，其中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，AB=AC=AD，AD//BC，若∠D=31∘，则∠BAC的度数为( ) A.56∘ B.59∘ C.62∘ D.68∘ 5. 已知抛物线y=x2−2x+2m的顶点在直线y=x−m下方，则m的取值范围是( ) A.m>1 B.m<23 C.m>12 D.m<2 6. 如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，将△BEF沿EF翻折，使点B落在AD上的点B′处，若BE=EC,B′E⊥BC,BC=10,B′D=6，则AFFB的值为（ ） A.210 B.15 C.22 D.25二、填空题 函数y=x−3自变量的取值范围是________. 预计到2025年，我国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示应为________． 某汽车4S店A款品牌小汽车在2020年1月到12月销量（辆）统计如下：12，10，5，4，8，9，12， 15，14，10，16，17，将该4S店对销售A，B，C，D四款品牌小汽车的年度销量制成如下扇形统计图，则可估计该4S店一年共销售了________辆小汽车． 已知方程x2−2x+m=0的一个根为2−1，则方程的另一个根为________. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边在x轴的负半轴上，BC=6,AB=AC=5，点C的坐标为−2,0，把△ABC向右平移，当点A恰好落在反比例函数y=12x在第一象限的图象上时，则平移的距离为________. 在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，Q为BD上一动点，若△ABQ是等腰三角形，则BQ的长为________. 三、解答题 解答下列问题. (1)解不等式2x−1>3x−12； (2)先化简，再求值：2x4x−3−2x−32+2x+12x−1，其中x=−32. 如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．请用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留画图痕迹）. (1)在图1中，作AC边的中线； (2)在图2中，作出△ABC垂心． 《九章算术》记载了一个方程的问题：马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两，请运用方程（组）求每匹马和每头牛价格. 一袋子中有4颗球，分别标记号码1，2，3，4，已知每颗球被取出的机会相同，第一次从袋中取出一球后放回，第二次从袋中再取出一球. (1)第一次取出的球号码为偶数的概率是多少？ (2)第二次取出球的号码比第一次取出球的号码大的概率是多少？请通过画树状图或列表说明. 某高校数学系对大学生手机使用情况进行调查，随机抽取大学生20名进行了“一天使用手机时间”的统计，并对获取的数据进行分析，过程如下： 收集数据 20名学生的“一天使用手机时间”如下（单位：小时）： 11 12 14 8 10 12 10 11 13 9 4 9 10 11 10 16 7 13 18 5 整理数据 请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整. 分析数据 请将下列表格补充完整： 得出结论 (1)李杰同学调查这天未被抽到，若他这天使用手机时间为8小时，且他所在班级共有80名学生，那么可估计这天该班使用手机时间比他多的人数为________； (2)若该高校数学系共有1200 名学生，请估计该校数学系一天玩手机时间超过10小时的人数． 如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示.直线型支架的上端A，B与台面相连，下方与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过弧EF的圆心.若AB=200cm，∠CAB=∠DBA=60∘，EC⌢=FD⌢，AB平行于地面EF，EF⌢最顶端与AB的距离为2cm. (1)已知桌面AB到地面EF的距离为0.76m，连接AE，BF，EF，若∠AEF=∠BFE=70∘，求E，F两点之间的距离； (2)求EF⌢的半径. （结果精确到1cm，参考数据：3≈1.7，sin70∘≈0.930，cos70∘≈0.633，tan70∘≈2.747.） 某校教师办公室冬季某日开启空调取暖，设开空调前室温为y∘C，从启动空调升温开始计算时间为x分钟，一般情况下，在室温升高过程中y与x成一次函数关系．已知开启空调前温度为5∘C，空调运转5分钟后室温达到设置温度25∘C，此时，正好断电，室内温度逐渐下降，若下降过程中，y与x成反比例函数关系，室温下降到8∘C，整个y与x的变化过程如图所示. (1)分别求开启空调升温和断电降温过程中y与x的函数关系关系式； (2)若在室温不低于20∘C这段时间内，杨老师正在接电话，那么杨老师接电话的时间为多少分钟？ 如图，AB是⊙O的直径，AB=10，延长弦CD至E，CD=6，AB⊥CD 于F，点M在AB上，AM=1，连接EM，点N在半径OB上，ON=2，ND//ME. (1)求tan∠E的值； (2)延长OB至G，使BG=54，连接GD，并延长GD交 ME于点H，判断直线GD与⊙O的位置关系，并求MH的长. 如图1，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60∘，P是对角线BD上的一个动点，连接AP，过点P作AD边的垂线，垂足为E，交射线BA于点F． (1)求BP的取值范围； (2)是否存在△APF为直角三角形的情况？如果存在，求此时 BP 的长；如果不存在，说明理由； (3)直接写出PA+PF的最大值和最小值． 已知抛物线y=x2−ax−a−1与x轴交于A，B3,0两点. (1)求抛物线的对称轴和点A的坐标； (2)在抛物线上任取一点P，作点P关于原点O的对称点M. ①是否存在P，M两点均在抛物线上的情况？如果存在，求PM 的长；如果不存在说明理由； ②请在网格中画出点M所在曲线的大致图象，指出该图象的名称，并求当MA2取得最小值时点P的坐标. 参考答案与试题解析2020-2021学年江西省赣州市某校初三（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】相反数【解析】此题暂无解析【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数，则 2的相反数是−2. 故选C.2.【答案】D【考点】幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法同底数幂的除法【解析】分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则以及幂的乘方和积的乘方法则进行计算，即可得出结论.【解答】解：A，x2⋅x3=x2+3=x5，因此A错误； B，x6÷x2=x6−2=x4，因此B错误； C，x23=x6，因此C错误； D，−3x23=−33⋅x23=−27x6，因此D正确. 故选D.3.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，分别作出判断即可.【解答】解：根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，可得B是中心对称图形. 故选B.4.【答案】A【考点】平行线的性质三角形内角和定理等腰三角形的性质【解析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠B，∠ACD=∠D，根据平行线的性质得出∠ADC=∠DCB，求出∠B=2∠D，根据三角形内角和求出∠BAC即可．【解答】解：∵AB=AC=AD， ∴∠ACD=∠D=31∘，∠B=∠ACB， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD， 又∵AD//BC， ∴∠BCD=∠D=31∘， ∴∠ACB=62∘， ∴∠B=62∘， ∴∠BAC=180∘−2×62∘=56∘． 故选A．5.【答案】B【考点】二次函数的性质一次函数的性质【解析】根据抛物线解析式求出抛物线顶点坐标(1,2m−1)，求出直线y=x−m当x=1时，y的值1−m，由题意可得1−m>2m−1，解一元一次不等式可得结果．【解答】解：∵y=x2−2x+1+2m−1， ∴y=x−12+2m−1， ∴ 顶点 1,2m−1， ∵ 顶点在y=x−m下方， ∴ 当x=1 时， y=1−m， 1−m>2m−1， 2>3m， m<23． 故选B． 6.【答案】B【考点】翻折变换（折叠问题）勾股定理相似三角形的性质与判定【解析】 【解答】解：∵ BC=10，BE=EC， ∴ BE=EC=B′E==5. ∵ B′E⊥BC, ∴ ∠BEF=∠B′EF=45∘， 延长EF，DA交于点G，如图， 则△B′GE为等腰直角三角形， ∴ B′G=B′E=5， ∵ B′D=6, ∴ AB′=4, ∴ AG=1. ∵ △AGF∽△BEF， ∴ AFBF=AGBE=15. 故选B.二、填空题【答案】x≥3【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解； 根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x−3≥0， 解得x≥3. 故答案为：x≥3．【答案】4.6×108【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：将460000000用科学记数法表示为：4.6×108． 故答案为：4.6×108.【答案】660【考点】用样本估计总体扇形统计图【解析】根据销售总量=A款小汽车销量÷A款小汽车销量占比．【解答】解：A款品牌小汽车一年共销售 12+10+5+4+8+9+12+15+14+10+16+17=132(辆)， A款品牌小汽车所占比例为20%， 故该4S店一年共销售小汽车为：132÷20%=660(辆)． 故答案为：660．【答案】3−2【考点】根与系数的关系【解析】设x2−2x+m=0的另一个根为x1，根据根与系数的关系得出x1+2−1=2，求出即可.【解答】解：设x2−2x+m=0的另一个根为x1， 根据根与系数的关系得出x1+2−1=2， 解得：x1=3−2. 故答案为：3−2.【答案】8【考点】反比例函数综合题等腰三角形的性质【解析】先利用相关条件求得平移后在反比例函数图像上的点的坐标，即可求解.【解答】解：∵BC=6， AB=AC=5， ∴△ABC 是等腰三角形， 过A作 AD⊥BC 于D点， 由等腰三角形的性质可知 BD=DC=3， ∴OD=OC+DC. ∵C−2,0， ∴OC=2， DC=3， ∴OD=3+2=5 ，∴D−5,0. ∵DC=3， AC=5 ∴ AD=4， ∴ A−5,4， 又知 △ABC 向右平移，A点恰好落在 y=12x 的A′处, ∴ A′的纵坐标与A点的纵坐标相等均为4， ∴12x=4 ，∴ x=3, ∴A′3,4, ∴AA′=3−(−5)=8, 故 △ABC 向右平移8个单位，平移距离为8. 故答案为：8.【答案】16或10或254【考点】菱形的性质勾股定理等腰三角形的性质与判定【解析】根据四边形ABCD为菱形，可知AO=OC=12AC=6，BO=DO=12BD，∠AOB=90∘，进一步运用勾股定理得BO=AB2+AO2=102−62=8，则BD=2BO=16，最后根据Q在BD上，且△ABQ为等腰三角形，分成三种情况讨论可得BQ的值．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AO=OC=12AC=6， BO=DO=12BD， ∠AOB=90∘， ∴BO=AB2−AO2=102−62=8， ∴BD=2BO=16， ∵Q在BD上，且△ABQ为等腰三角形， 分成以下几种情形，当AB=AQ时，此时D与Q重合， ∴BQ=BD=16， 当AB=BQ时，则BQ=AB=10， 当AQ=BQ时，则Q在AB的垂直平分线上，连AQ1， 设BQ1=x，则AQ1=x， ∴Q1O=8−x， 在Rt△AQ1O中，AQ12=Q1O2+AO2， ∴x2=8−x2+62 ∴x2=64−16x+x2+36， ∴16x=100 ∴x=254，即BQ=254. ∴当BQ为16或10或254时，ABQ为等腰三角形． 故答案为：16或10或254.三、解答题【答案】解：(1)去分母，得4x−2>3x−1 ， 移项，得4x−3x>2−1， ∴ 原不等式的解集为x>1.(2)2x(4x−3)−(2x−3)2+(2x+1)(2x−1) =8x2−6x−4x2+12x−9+4x2−1 =8x2+6x−10. ∵ x=−32， ∴ 原式=8x2+6x−10 =8×−322+6×−32−10=−1.【考点】解一元一次不等式整式的混合运算——化简求值【解析】暂无暂无【解答】解：(1)去分母，得4x−2>3x−1 ， 移项，得4x−3x>2−1， ∴ 原不等式的解集为x>1.(2)2x(4x−3)−(2x−3)2+(2x+1)(2x−1) =8x2−6x−4x2+12x−9+4x2−1 =8x2+6x−10. ∵ x=−32， ∴ 原式=8x2+6x−10 =8×−322+6×−32−10=−1.【答案】证明：∵ BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴ ∠ADB=∠AEC=90∘， 在△ADB和△AEC中， ∠ADB=∠AEC，AD=AE，∠A=∠A， ∴ △ADB≅△AEC(ASA)， ∴ AB=AC， 又∵ AD=AE， ∴ BE=CD．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】要证明BE＝CD，只要证明AB＝AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．【解答】证明：∵ BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴ ∠ADB=∠AEC=90∘， 在△ADB和△AEC中， ∠ADB=∠AEC，AD=AE，∠A=∠A， ∴ △ADB≅△AEC(ASA)， ∴ AB=AC， 又∵ AD=AE， ∴ BE=CD．【答案】解：(1)如图所示，BD即为所作； (2)如图所示，点D即为所作. 【考点】作图—几何作图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图所示，BD即为所作； (2)如图所示，点D即为所作. 【答案】解：设每匹马价x两，每头牛价y两， 则可列方程组为4x+6y=48，3x+5y=38， 解得x=6，y=4. 答：每匹马价6两，每头牛价4两.【考点】二元一次方程组的应用——销售问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设每匹马价x两，每头牛价y两， 则可列方程组为4x+6y=48，3x+5y=38， 解得x=6，y=4. 答：每匹马价6两，每头牛价4两.【答案】解：(1)P（第一次取出的球号码为偶数）=24=12.(2)列表法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下表： 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38. 画树状图法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下图， 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38.【考点】概率公式列表法与树状图法【解析】暂无暂无【解答】解：(1)P（第一次取出的球号码为偶数）=24=12.(2)列表法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下表： 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38. 画树状图法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下图， 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38.【答案】64(2)∵ 所抽取的20人中，共有10人一天玩手机时间超过10小时， ∴ 1200×1020=600， 即估计该校数学系一天玩手机时间超过10小时的人数为600人．【考点】用样本估计总体众数中位数【解析】将数据进行整理，从小到大排列，根据数据及中位数和众数的定义填写表格．(1)根据样本得出使用手机时间大于8小时的概率，用总体乘以样本概率可得；(2)根据样本得出使用手机时间大于10小时的概率，用总体乘以样本概率可得．【解答】解：(1)补充表格如下： 使用手机时间大于8小时的概率为1620=45， 80×45=64(人)． 故答案为：64；(2)∵ 所抽取的20人中，共有10人一天玩手机时间超过10小时， ∴ 1200×1020=600， 即估计该校数学系一天玩手机时间超过10小时的人数为600人．【答案】解：(1)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足为G，H， ∵ ∠AEF=∠BFE=70∘，AG=0.76m=76cm，AB=200cm， ∴ EG=HF=AGtan70∘=76÷2.747≈28cm . ∴ EF=2EG+AB=256cm.(2)延长AC与BD交于点O，如图， ∵ 支架AC与BD所在的直线过EF⌢的圆心，且∠CAB=∠DBA=60∘， ∴ 点O为圆心，△OAB是等边三角形. ∵ AB=200cm， 过点O作AB的垂线，垂足为H，则有AH=BH=12AB=100cm， ∴ OH=AH⋅tan60∘=1003cm ， ∵ AB平行于地面EF ，EF⌢最顶端与AB的距离为2cm， ∴ GH=2cm ，OG=OH−GH=1003−2≈168cm. ∴ EF⌢的半径为168cm.【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】暂无暂无【解答】解：(1)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足为G，H， ∵ ∠AEF=∠BFE=70∘，AG=0.76m=76cm，AB=200cm， ∴ EG=HF=AGtan70∘=76÷2.747≈28cm . ∴ EF=2EG+AB=256cm.(2)延长AC与BD交于点O，如图， ∵ 支架AC与BD所在的直线过EF⌢的圆心，且∠CAB=∠DBA=60∘， ∴ 点O为圆心，△OAB是等边三角形. ∵ AB=200cm， 过点O作AB的垂线，垂足为H，则有AH=BH=12AB=100cm， ∴ OH=AH⋅tan60∘=1003cm ， ∵ AB平行于地面EF ，EF⌢最顶端与AB的距离为2cm， ∴ GH=2cm ，OG=OH−GH=1003−2≈168cm. ∴ EF⌢的半径为168cm.【答案】解：(1)设开启空调升温过程中一次函数的关系式为y=kx+bk≠0， 由图象可知，直线y=kx+b过点0,5和5,25， ∴ b=5,5k+b=25,解得k=4,b=5,即一次函数关系式为y=4x+50≤x≤5. 设空调断电后y与x的关系式为y=mx， 由该函数过点5,25，得m=125， ∴ 反比例函数关系式为y=125xx>5 .(2)根据题意，得y=4x+5,y=20,或y=125x,y=20, 解得x1=154，x2=254， ∴ x2−x1=254−154=52. ∴ 杨老师接电话时间为两分半钟.【考点】一次函数的应用反比例函数的应用函数的图象【解析】暂无暂无【解答】解：(1)设开启空调升温过程中一次函数的关系式为y=kx+bk≠0， 由图象可知，直线y=kx+b过点0,5和5,25， ∴ b=5,5k+b=25,解得k=4,b=5,即一次函数关系式为y=4x+50≤x≤5. 设空调断电后y与x的关系式为y=mx， 由该函数过点5,25，得m=125， ∴ 反比例函数关系式为y=125xx>5 .(2)根据题意，得y=4x+5,y=20,或y=125x,y=20, 解得x1=154，x2=254， ∴ x2−x1=254−154=52. ∴ 杨老师接电话时间为两分半钟.【答案】解：(1)连接OC， ∴ AB⊥CD于F, CD=6， ∴ CF=DF=3 ∵ AB=10， ∴ OC=OA=OB=5 ∴ 在Rt△OCF中，OF=OC2−FC2=52−32=4. ∵ ON=2，OF=4， ∴ NF=2. ∵ FD=3，ND//ME， ∴ tan∠E=tan∠NDF=NFFD=23.(2)GD与⊙O相切. 连接OD. ∵ OF=4，DF=3， ∴ tan∠DOF=DFOF=34. ∴ BG=54，BF=OB−OF=1，∴ FG=BF+BG=94. ∴ tan∠GDF=GFDF=943=34. ∴ ∠GDF=∠GOD. ∵ ∠ODF+∠DOF=∠OFD=90∘， ∴ ∠GDF+∠ODF=90∘，即OD⊥GD. ∴ GD与⊙O相切. ∵ ON=2，BG=54，OF=4，OB=OA=5， ∴ NG=OB+BG−ON=174， ND=NF2+DF2=22+32=13. ∵ OA=5，AM=1， ∴ GM=414 . ∵ ND//ME， ∴ GNGM=DNMH，即174414=13MH. ∴ MH=411317 . 【考点】勾股定理锐角三角函数的定义解直角三角形相似三角形的性质与判定切线的判定【解析】暂无暂无【解答】解：(1)连接OC， ∴ AB⊥CD于F, CD=6， ∴ CF=DF=3 ∵ AB=10， ∴ OC=OA=OB=5 ∴ 在Rt△OCF中，OF=OC2−FC2=52−32=4. ∵ ON=2，OF=4， ∴ NF=2. ∵ FD=3，ND//ME， ∴ tan∠E=tan∠NDF=NFFD=23.(2)GD与⊙O相切. 连接OD. ∵ OF=4，DF=3， ∴ tan∠DOF=DFOF=34. ∴ BG=54，BF=OB−OF=1，∴ FG=BF+BG=94. ∴ tan∠GDF=GFDF=943=34. ∴ ∠GDF=∠GOD. ∵ ∠ODF+∠DOF=∠OFD=90∘， ∴ ∠GDF+∠ODF=90∘，即OD⊥GD. ∴ GD与⊙O相切. ∵ ON=2，BG=54，OF=4，OB=OA=5， ∴ NG=OB+BG−ON=174， ND=NF2+DF2=22+32=13. ∵ OA=5，AM=1， ∴ GM=414 . ∵ ND//ME， ∴ GNGM=DNMH，即174414=13MH. ∴ MH=411317 . 【答案】解：(1)连接AC交BD于点O，如图， 则∠AOB=90∘, ∵ AB=BC=4,∠ABC=60∘， ∴ △ABC是等边三角形，AC=4,AO=2， ∴ BO=AB2−AO2=42−22=23， ∴ BD=2BO=43， ∴ 0≤BP≤43.(2)如图2，当点P与点D重合时， ∠APF=90∘时，BD=43； 如图3，当∠PAF=90∘时，△APF是直角三角形． 在Rt△ABP中，∠ABP=12∠ABC=30∘， ∴ AP=12BP， ∵ AB2+AP2=BP2， ∴ 42+12BP2=BP2， 解得BP=833， ∴ 当△APF为直角三角形时，BP的长为833或43. (3)PA+PF的最大值为4+43，最小值为4.【考点】勾股定理菱形的性质四边形综合题【解析】 【解答】解：(1)连接AC交BD于点O，如图， 则∠AOB=90∘, ∵ AB=BC=4,∠ABC=60∘， ∴ △ABC是等边三角形，AC=4,AO=2， ∴ BO=AB2−AO2=42−22=23， ∴ BD=2BO=43， ∴ 0≤BP≤43.(2)如图2，当点P与点D重合时， ∠APF=90∘时，BD=43； 如图3，当∠PAF=90∘时，△APF是直角三角形． 在Rt△ABP中，∠ABP=12∠ABC=30∘， ∴ AP=12BP， ∵ AB2+AP2=BP2， ∴ 42+12BP2=BP2， 解得BP=833， ∴ 当△APF为直角三角形时，BP的长为833或43. (3)PA+PF的最大值为4+43，最小值为4.【答案】解：1∵抛物线y=x2−ax−a−1过点A，B3,0， ∴9−3a−a−1=0， 解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=x−12−4， ∴抛物线的对称轴为x=1， 由x−12−4=0， 得x1=−1，x2=3． ∴点A的坐标为−1,0．2①存在P，M两点均在抛物线上的情况． 设点P的坐标为m,n，则点M坐标为−m,−n． 若P，M两点均在抛物线上， 则有m2−2m−3=n，m2+2m−3=−n， 解得m=3或m=−3， ∴点P，M的坐标分别为3,−23，−3,23． ∴PM=232+−232=215， ②点M所在曲线的大致图象如图所示，该图象为抛物线． 由M坐标为−m,−n和点A−1,0， 得MA2=m−12+n2， ∵Pm,n在抛物线y=x−12−4上， ∴m−12−4=n， ∴ MA2=m−14−7m−12+16， 不妨设m−12=k，则有MA2=k2−7k+16， 所以当k=72时，MA2取得最小值， 由m−12=k=72，得m=2±142， ∴当MA2取得最小值时点P的坐标为2+142,−12或2−142,−12．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征二次函数综合题【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：1∵抛物线y=x2−ax−a−1过点A，B3,0， ∴9−3a−a−1=0， 解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=x−12−4， ∴抛物线的对称轴为x=1， 由x−12−4=0， 得x1=−1，x2=3． ∴点A的坐标为−1,0．2①存在P，M两点均在抛物线上的情况． 设点P的坐标为m,n，则点M坐标为−m,−n． 若P，M两点均在抛物线上， 则有m2−2m−3=n，m2+2m−3=−n， 解得m=3或m=−3， ∴点P，M的坐标分别为3,−23，−3,23． ∴PM=232+−232=215， ②点M所在曲线的大致图象如图所示，该图象为抛物线． 由M坐标为−m,−n和点A−1,0， 得MA2=m−12+n2， ∵Pm,n在抛物线y=x−12−4上， ∴m−12−4=n， ∴ MA2=m−14−7m−12+16， 不妨设m−12=k，则有MA2=k2−7k+16， 所以当k=72时，MA2取得最小值， 由m−12=k=72，得m=2±142， ∴当MA2取得最小值时点P的坐标为2+142,−12或2−142,−12． 平均数中位数众数10.65 12341相等小小小2大相等小小3大大相等小4大大大相等12341相等小小小2大相等小小3大大相等小4大大大相等
2020-2021学年江西省赣州市某校初三（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 2的相反数是（ ） A.2 B.2 C.−2 D.4 2. 下列运算正确的是( ) A.x2⋅x3=x6 B.x6÷x2=x3 C.x23=x5 D.−3x23=−27x6 3. 下列依次是南昌航空大学、江西师范大学、井冈山大学和江西科技师范大学，共四所大学标志中的图案，其中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，AB=AC=AD，AD//BC，若∠D=31∘，则∠BAC的度数为( ) A.56∘ B.59∘ C.62∘ D.68∘ 5. 已知抛物线y=x2−2x+2m的顶点在直线y=x−m下方，则m的取值范围是( ) A.m>1 B.m<23 C.m>12 D.m<2 6. 如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，将△BEF沿EF翻折，使点B落在AD上的点B′处，若BE=EC,B′E⊥BC,BC=10,B′D=6，则AFFB的值为（ ） A.210 B.15 C.22 D.25二、填空题 函数y=x−3自变量的取值范围是________. 预计到2025年，我国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示应为________． 某汽车4S店A款品牌小汽车在2020年1月到12月销量（辆）统计如下：12，10，5，4，8，9，12， 15，14，10，16，17，将该4S店对销售A，B，C，D四款品牌小汽车的年度销量制成如下扇形统计图，则可估计该4S店一年共销售了________辆小汽车． 已知方程x2−2x+m=0的一个根为2−1，则方程的另一个根为________. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边在x轴的负半轴上，BC=6,AB=AC=5，点C的坐标为−2,0，把△ABC向右平移，当点A恰好落在反比例函数y=12x在第一象限的图象上时，则平移的距离为________. 在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，Q为BD上一动点，若△ABQ是等腰三角形，则BQ的长为________. 三、解答题 解答下列问题. (1)解不等式2x−1>3x−12； (2)先化简，再求值：2x4x−3−2x−32+2x+12x−1，其中x=−32. 如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．请用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留画图痕迹）. (1)在图1中，作AC边的中线； (2)在图2中，作出△ABC垂心． 《九章算术》记载了一个方程的问题：马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两，请运用方程（组）求每匹马和每头牛价格. 一袋子中有4颗球，分别标记号码1，2，3，4，已知每颗球被取出的机会相同，第一次从袋中取出一球后放回，第二次从袋中再取出一球. (1)第一次取出的球号码为偶数的概率是多少？ (2)第二次取出球的号码比第一次取出球的号码大的概率是多少？请通过画树状图或列表说明. 某高校数学系对大学生手机使用情况进行调查，随机抽取大学生20名进行了“一天使用手机时间”的统计，并对获取的数据进行分析，过程如下： 收集数据 20名学生的“一天使用手机时间”如下（单位：小时）： 11 12 14 8 10 12 10 11 13 9 4 9 10 11 10 16 7 13 18 5 整理数据 请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整. 分析数据 请将下列表格补充完整： 得出结论 (1)李杰同学调查这天未被抽到，若他这天使用手机时间为8小时，且他所在班级共有80名学生，那么可估计这天该班使用手机时间比他多的人数为________； (2)若该高校数学系共有1200 名学生，请估计该校数学系一天玩手机时间超过10小时的人数． 如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示.直线型支架的上端A，B与台面相连，下方与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过弧EF的圆心.若AB=200cm，∠CAB=∠DBA=60∘，EC⌢=FD⌢，AB平行于地面EF，EF⌢最顶端与AB的距离为2cm. (1)已知桌面AB到地面EF的距离为0.76m，连接AE，BF，EF，若∠AEF=∠BFE=70∘，求E，F两点之间的距离； (2)求EF⌢的半径. （结果精确到1cm，参考数据：3≈1.7，sin70∘≈0.930，cos70∘≈0.633，tan70∘≈2.747.） 某校教师办公室冬季某日开启空调取暖，设开空调前室温为y∘C，从启动空调升温开始计算时间为x分钟，一般情况下，在室温升高过程中y与x成一次函数关系．已知开启空调前温度为5∘C，空调运转5分钟后室温达到设置温度25∘C，此时，正好断电，室内温度逐渐下降，若下降过程中，y与x成反比例函数关系，室温下降到8∘C，整个y与x的变化过程如图所示. (1)分别求开启空调升温和断电降温过程中y与x的函数关系关系式； (2)若在室温不低于20∘C这段时间内，杨老师正在接电话，那么杨老师接电话的时间为多少分钟？ 如图，AB是⊙O的直径，AB=10，延长弦CD至E，CD=6，AB⊥CD 于F，点M在AB上，AM=1，连接EM，点N在半径OB上，ON=2，ND//ME. (1)求tan∠E的值； (2)延长OB至G，使BG=54，连接GD，并延长GD交 ME于点H，判断直线GD与⊙O的位置关系，并求MH的长. 如图1，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60∘，P是对角线BD上的一个动点，连接AP，过点P作AD边的垂线，垂足为E，交射线BA于点F． (1)求BP的取值范围； (2)是否存在△APF为直角三角形的情况？如果存在，求此时 BP 的长；如果不存在，说明理由； (3)直接写出PA+PF的最大值和最小值． 已知抛物线y=x2−ax−a−1与x轴交于A，B3,0两点. (1)求抛物线的对称轴和点A的坐标； (2)在抛物线上任取一点P，作点P关于原点O的对称点M. ①是否存在P，M两点均在抛物线上的情况？如果存在，求PM 的长；如果不存在说明理由； ②请在网格中画出点M所在曲线的大致图象，指出该图象的名称，并求当MA2取得最小值时点P的坐标. 参考答案与试题解析2020-2021学年江西省赣州市某校初三（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】相反数【解析】此题暂无解析【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数，则 2的相反数是−2. 故选C.2.【答案】D【考点】幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法同底数幂的除法【解析】分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则以及幂的乘方和积的乘方法则进行计算，即可得出结论.【解答】解：A，x2⋅x3=x2+3=x5，因此A错误； B，x6÷x2=x6−2=x4，因此B错误； C，x23=x6，因此C错误； D，−3x23=−33⋅x23=−27x6，因此D正确. 故选D.3.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，分别作出判断即可.【解答】解：根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，可得B是中心对称图形. 故选B.4.【答案】A【考点】平行线的性质三角形内角和定理等腰三角形的性质【解析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠B，∠ACD=∠D，根据平行线的性质得出∠ADC=∠DCB，求出∠B=2∠D，根据三角形内角和求出∠BAC即可．【解答】解：∵AB=AC=AD， ∴∠ACD=∠D=31∘，∠B=∠ACB， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD， 又∵AD//BC， ∴∠BCD=∠D=31∘， ∴∠ACB=62∘， ∴∠B=62∘， ∴∠BAC=180∘−2×62∘=56∘． 故选A．5.【答案】B【考点】二次函数的性质一次函数的性质【解析】根据抛物线解析式求出抛物线顶点坐标(1,2m−1)，求出直线y=x−m当x=1时，y的值1−m，由题意可得1−m>2m−1，解一元一次不等式可得结果．【解答】解：∵y=x2−2x+1+2m−1， ∴y=x−12+2m−1， ∴ 顶点 1,2m−1， ∵ 顶点在y=x−m下方， ∴ 当x=1 时， y=1−m， 1−m>2m−1， 2>3m， m<23． 故选B． 6.【答案】B【考点】翻折变换（折叠问题）勾股定理相似三角形的性质与判定【解析】 【解答】解：∵ BC=10，BE=EC， ∴ BE=EC=B′E==5. ∵ B′E⊥BC, ∴ ∠BEF=∠B′EF=45∘， 延长EF，DA交于点G，如图， 则△B′GE为等腰直角三角形， ∴ B′G=B′E=5， ∵ B′D=6, ∴ AB′=4, ∴ AG=1. ∵ △AGF∽△BEF， ∴ AFBF=AGBE=15. 故选B.二、填空题【答案】x≥3【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解； 根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x−3≥0， 解得x≥3. 故答案为：x≥3．【答案】4.6×108【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：将460000000用科学记数法表示为：4.6×108． 故答案为：4.6×108.【答案】660【考点】用样本估计总体扇形统计图【解析】根据销售总量=A款小汽车销量÷A款小汽车销量占比．【解答】解：A款品牌小汽车一年共销售 12+10+5+4+8+9+12+15+14+10+16+17=132(辆)， A款品牌小汽车所占比例为20%， 故该4S店一年共销售小汽车为：132÷20%=660(辆)． 故答案为：660．【答案】3−2【考点】根与系数的关系【解析】设x2−2x+m=0的另一个根为x1，根据根与系数的关系得出x1+2−1=2，求出即可.【解答】解：设x2−2x+m=0的另一个根为x1， 根据根与系数的关系得出x1+2−1=2， 解得：x1=3−2. 故答案为：3−2.【答案】8【考点】反比例函数综合题等腰三角形的性质【解析】先利用相关条件求得平移后在反比例函数图像上的点的坐标，即可求解.【解答】解：∵BC=6， AB=AC=5， ∴△ABC 是等腰三角形， 过A作 AD⊥BC 于D点， 由等腰三角形的性质可知 BD=DC=3， ∴OD=OC+DC. ∵C−2,0， ∴OC=2， DC=3， ∴OD=3+2=5 ，∴D−5,0. ∵DC=3， AC=5 ∴ AD=4， ∴ A−5,4， 又知 △ABC 向右平移，A点恰好落在 y=12x 的A′处, ∴ A′的纵坐标与A点的纵坐标相等均为4， ∴12x=4 ，∴ x=3, ∴A′3,4, ∴AA′=3−(−5)=8, 故 △ABC 向右平移8个单位，平移距离为8. 故答案为：8.【答案】16或10或254【考点】菱形的性质勾股定理等腰三角形的性质与判定【解析】根据四边形ABCD为菱形，可知AO=OC=12AC=6，BO=DO=12BD，∠AOB=90∘，进一步运用勾股定理得BO=AB2+AO2=102−62=8，则BD=2BO=16，最后根据Q在BD上，且△ABQ为等腰三角形，分成三种情况讨论可得BQ的值．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AO=OC=12AC=6， BO=DO=12BD， ∠AOB=90∘， ∴BO=AB2−AO2=102−62=8， ∴BD=2BO=16， ∵Q在BD上，且△ABQ为等腰三角形， 分成以下几种情形，当AB=AQ时，此时D与Q重合， ∴BQ=BD=16， 当AB=BQ时，则BQ=AB=10， 当AQ=BQ时，则Q在AB的垂直平分线上，连AQ1， 设BQ1=x，则AQ1=x， ∴Q1O=8−x， 在Rt△AQ1O中，AQ12=Q1O2+AO2， ∴x2=8−x2+62 ∴x2=64−16x+x2+36， ∴16x=100 ∴x=254，即BQ=254. ∴当BQ为16或10或254时，ABQ为等腰三角形． 故答案为：16或10或254.三、解答题【答案】解：(1)去分母，得4x−2>3x−1 ， 移项，得4x−3x>2−1， ∴ 原不等式的解集为x>1.(2)2x(4x−3)−(2x−3)2+(2x+1)(2x−1) =8x2−6x−4x2+12x−9+4x2−1 =8x2+6x−10. ∵ x=−32， ∴ 原式=8x2+6x−10 =8×−322+6×−32−10=−1.【考点】解一元一次不等式整式的混合运算——化简求值【解析】暂无暂无【解答】解：(1)去分母，得4x−2>3x−1 ， 移项，得4x−3x>2−1， ∴ 原不等式的解集为x>1.(2)2x(4x−3)−(2x−3)2+(2x+1)(2x−1) =8x2−6x−4x2+12x−9+4x2−1 =8x2+6x−10. ∵ x=−32， ∴ 原式=8x2+6x−10 =8×−322+6×−32−10=−1.【答案】证明：∵ BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴ ∠ADB=∠AEC=90∘， 在△ADB和△AEC中， ∠ADB=∠AEC，AD=AE，∠A=∠A， ∴ △ADB≅△AEC(ASA)， ∴ AB=AC， 又∵ AD=AE， ∴ BE=CD．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】要证明BE＝CD，只要证明AB＝AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．【解答】证明：∵ BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴ ∠ADB=∠AEC=90∘， 在△ADB和△AEC中， ∠ADB=∠AEC，AD=AE，∠A=∠A， ∴ △ADB≅△AEC(ASA)， ∴ AB=AC， 又∵ AD=AE， ∴ BE=CD．【答案】解：(1)如图所示，BD即为所作； (2)如图所示，点D即为所作. 【考点】作图—几何作图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图所示，BD即为所作； (2)如图所示，点D即为所作. 【答案】解：设每匹马价x两，每头牛价y两， 则可列方程组为4x+6y=48，3x+5y=38， 解得x=6，y=4. 答：每匹马价6两，每头牛价4两.【考点】二元一次方程组的应用——销售问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设每匹马价x两，每头牛价y两， 则可列方程组为4x+6y=48，3x+5y=38， 解得x=6，y=4. 答：每匹马价6两，每头牛价4两.【答案】解：(1)P（第一次取出的球号码为偶数）=24=12.(2)列表法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下表： 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38. 画树状图法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下图， 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38.【考点】概率公式列表法与树状图法【解析】暂无暂无【解答】解：(1)P（第一次取出的球号码为偶数）=24=12.(2)列表法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下表： 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38. 画树状图法：第二次取出球的号码与第一次取出球的号码比较情况如下图， 总情况为16种，其中第二次比第一次大的情况有6种，其概率为616=38.【答案】64(2)∵ 所抽取的20人中，共有10人一天玩手机时间超过10小时， ∴ 1200×1020=600， 即估计该校数学系一天玩手机时间超过10小时的人数为600人．【考点】用样本估计总体众数中位数【解析】将数据进行整理，从小到大排列，根据数据及中位数和众数的定义填写表格．(1)根据样本得出使用手机时间大于8小时的概率，用总体乘以样本概率可得；(2)根据样本得出使用手机时间大于10小时的概率，用总体乘以样本概率可得．【解答】解：(1)补充表格如下： 使用手机时间大于8小时的概率为1620=45， 80×45=64(人)． 故答案为：64；(2)∵ 所抽取的20人中，共有10人一天玩手机时间超过10小时， ∴ 1200×1020=600， 即估计该校数学系一天玩手机时间超过10小时的人数为600人．【答案】解：(1)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足为G，H， ∵ ∠AEF=∠BFE=70∘，AG=0.76m=76cm，AB=200cm， ∴ EG=HF=AGtan70∘=76÷2.747≈28cm . ∴ EF=2EG+AB=256cm.(2)延长AC与BD交于点O，如图， ∵ 支架AC与BD所在的直线过EF⌢的圆心，且∠CAB=∠DBA=60∘， ∴ 点O为圆心，△OAB是等边三角形. ∵ AB=200cm， 过点O作AB的垂线，垂足为H，则有AH=BH=12AB=100cm， ∴ OH=AH⋅tan60∘=1003cm ， ∵ AB平行于地面EF ，EF⌢最顶端与AB的距离为2cm， ∴ GH=2cm ，OG=OH−GH=1003−2≈168cm. ∴ EF⌢的半径为168cm.【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】暂无暂无【解答】解：(1)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足为G，H， ∵ ∠AEF=∠BFE=70∘，AG=0.76m=76cm，AB=200cm， ∴ EG=HF=AGtan70∘=76÷2.747≈28cm . ∴ EF=2EG+AB=256cm.(2)延长AC与BD交于点O，如图， ∵ 支架AC与BD所在的直线过EF⌢的圆心，且∠CAB=∠DBA=60∘， ∴ 点O为圆心，△OAB是等边三角形. ∵ AB=200cm， 过点O作AB的垂线，垂足为H，则有AH=BH=12AB=100cm， ∴ OH=AH⋅tan60∘=1003cm ， ∵ AB平行于地面EF ，EF⌢最顶端与AB的距离为2cm， ∴ GH=2cm ，OG=OH−GH=1003−2≈168cm. ∴ EF⌢的半径为168cm.【答案】解：(1)设开启空调升温过程中一次函数的关系式为y=kx+bk≠0， 由图象可知，直线y=kx+b过点0,5和5,25， ∴ b=5,5k+b=25,解得k=4,b=5,即一次函数关系式为y=4x+50≤x≤5. 设空调断电后y与x的关系式为y=mx， 由该函数过点5,25，得m=125， ∴ 反比例函数关系式为y=125xx>5 .(2)根据题意，得y=4x+5,y=20,或y=125x,y=20, 解得x1=154，x2=254， ∴ x2−x1=254−154=52. ∴ 杨老师接电话时间为两分半钟.【考点】一次函数的应用反比例函数的应用函数的图象【解析】暂无暂无【解答】解：(1)设开启空调升温过程中一次函数的关系式为y=kx+bk≠0， 由图象可知，直线y=kx+b过点0,5和5,25， ∴ b=5,5k+b=25,解得k=4,b=5,即一次函数关系式为y=4x+50≤x≤5. 设空调断电后y与x的关系式为y=mx， 由该函数过点5,25，得m=125， ∴ 反比例函数关系式为y=125xx>5 .(2)根据题意，得y=4x+5,y=20,或y=125x,y=20, 解得x1=154，x2=254， ∴ x2−x1=254−154=52. ∴ 杨老师接电话时间为两分半钟.【答案】解：(1)连接OC， ∴ AB⊥CD于F, CD=6， ∴ CF=DF=3 ∵ AB=10， ∴ OC=OA=OB=5 ∴ 在Rt△OCF中，OF=OC2−FC2=52−32=4. ∵ ON=2，OF=4， ∴ NF=2. ∵ FD=3，ND//ME， ∴ tan∠E=tan∠NDF=NFFD=23.(2)GD与⊙O相切. 连接OD. ∵ OF=4，DF=3， ∴ tan∠DOF=DFOF=34. ∴ BG=54，BF=OB−OF=1，∴ FG=BF+BG=94. ∴ tan∠GDF=GFDF=943=34. ∴ ∠GDF=∠GOD. ∵ ∠ODF+∠DOF=∠OFD=90∘， ∴ ∠GDF+∠ODF=90∘，即OD⊥GD. ∴ GD与⊙O相切. ∵ ON=2，BG=54，OF=4，OB=OA=5， ∴ NG=OB+BG−ON=174， ND=NF2+DF2=22+32=13. ∵ OA=5，AM=1， ∴ GM=414 . ∵ ND//ME， ∴ GNGM=DNMH，即174414=13MH. ∴ MH=411317 . 【考点】勾股定理锐角三角函数的定义解直角三角形相似三角形的性质与判定切线的判定【解析】暂无暂无【解答】解：(1)连接OC， ∴ AB⊥CD于F, CD=6， ∴ CF=DF=3 ∵ AB=10， ∴ OC=OA=OB=5 ∴ 在Rt△OCF中，OF=OC2−FC2=52−32=4. ∵ ON=2，OF=4， ∴ NF=2. ∵ FD=3，ND//ME， ∴ tan∠E=tan∠NDF=NFFD=23.(2)GD与⊙O相切. 连接OD. ∵ OF=4，DF=3， ∴ tan∠DOF=DFOF=34. ∴ BG=54，BF=OB−OF=1，∴ FG=BF+BG=94. ∴ tan∠GDF=GFDF=943=34. ∴ ∠GDF=∠GOD. ∵ ∠ODF+∠DOF=∠OFD=90∘， ∴ ∠GDF+∠ODF=90∘，即OD⊥GD. ∴ GD与⊙O相切. ∵ ON=2，BG=54，OF=4，OB=OA=5， ∴ NG=OB+BG−ON=174， ND=NF2+DF2=22+32=13. ∵ OA=5，AM=1， ∴ GM=414 . ∵ ND//ME， ∴ GNGM=DNMH，即174414=13MH. ∴ MH=411317 . 【答案】解：(1)连接AC交BD于点O，如图， 则∠AOB=90∘, ∵ AB=BC=4,∠ABC=60∘， ∴ △ABC是等边三角形，AC=4,AO=2， ∴ BO=AB2−AO2=42−22=23， ∴ BD=2BO=43， ∴ 0≤BP≤43.(2)如图2，当点P与点D重合时， ∠APF=90∘时，BD=43； 如图3，当∠PAF=90∘时，△APF是直角三角形． 在Rt△ABP中，∠ABP=12∠ABC=30∘， ∴ AP=12BP， ∵ AB2+AP2=BP2， ∴ 42+12BP2=BP2， 解得BP=833， ∴ 当△APF为直角三角形时，BP的长为833或43. (3)PA+PF的最大值为4+43，最小值为4.【考点】勾股定理菱形的性质四边形综合题【解析】 【解答】解：(1)连接AC交BD于点O，如图， 则∠AOB=90∘, ∵ AB=BC=4,∠ABC=60∘， ∴ △ABC是等边三角形，AC=4,AO=2， ∴ BO=AB2−AO2=42−22=23， ∴ BD=2BO=43， ∴ 0≤BP≤43.(2)如图2，当点P与点D重合时， ∠APF=90∘时，BD=43； 如图3，当∠PAF=90∘时，△APF是直角三角形． 在Rt△ABP中，∠ABP=12∠ABC=30∘， ∴ AP=12BP， ∵ AB2+AP2=BP2， ∴ 42+12BP2=BP2， 解得BP=833， ∴ 当△APF为直角三角形时，BP的长为833或43. (3)PA+PF的最大值为4+43，最小值为4.【答案】解：1∵抛物线y=x2−ax−a−1过点A，B3,0， ∴9−3a−a−1=0， 解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=x−12−4， ∴抛物线的对称轴为x=1， 由x−12−4=0， 得x1=−1，x2=3． ∴点A的坐标为−1,0．2①存在P，M两点均在抛物线上的情况． 设点P的坐标为m,n，则点M坐标为−m,−n． 若P，M两点均在抛物线上， 则有m2−2m−3=n，m2+2m−3=−n， 解得m=3或m=−3， ∴点P，M的坐标分别为3,−23，−3,23． ∴PM=232+−232=215， ②点M所在曲线的大致图象如图所示，该图象为抛物线． 由M坐标为−m,−n和点A−1,0， 得MA2=m−12+n2， ∵Pm,n在抛物线y=x−12−4上， ∴m−12−4=n， ∴ MA2=m−14−7m−12+16， 不妨设m−12=k，则有MA2=k2−7k+16， 所以当k=72时，MA2取得最小值， 由m−12=k=72，得m=2±142， ∴当MA2取得最小值时点P的坐标为2+142,−12或2−142,−12．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征二次函数综合题【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：1∵抛物线y=x2−ax−a−1过点A，B3,0， ∴9−3a−a−1=0， 解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=x−12−4， ∴抛物线的对称轴为x=1， 由x−12−4=0， 得x1=−1，x2=3． ∴点A的坐标为−1,0．2①存在P，M两点均在抛物线上的情况． 设点P的坐标为m,n，则点M坐标为−m,−n． 若P，M两点均在抛物线上， 则有m2−2m−3=n，m2+2m−3=−n， 解得m=3或m=−3， ∴点P，M的坐标分别为3,−23，−3,23． ∴PM=232+−232=215， ②点M所在曲线的大致图象如图所示，该图象为抛物线． 由M坐标为−m,−n和点A−1,0， 得MA2=m−12+n2， ∵Pm,n在抛物线y=x−12−4上， ∴m−12−4=n， ∴ MA2=m−14−7m−12+16， 不妨设m−12=k，则有MA2=k2−7k+16， 所以当k=72时，MA2取得最小值， 由m−12=k=72，得m=2±142， ∴当MA2取得最小值时点P的坐标为2+142,−12或2−142,−12． 平均数中位数众数10.65 12341相等小小小2大相等小小3大大相等小4大大大相等12341相等小小小2大相等小小3大大相等小4大大大相等
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