2020-2021学年湖南省岳阳市某校初三（下）4月期中考试数学试卷新人教版

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2020-2021学年湖南省岳阳市某校初三(下)4月期中考试数学试卷一、选择题 1. 电梯上升16层记为+16，下降5层记为(        ) A.+5 B.|5| C.5−1 D.−5 2. 下列因式分解正确的是(        ) A.x2−9=x+3x−3 B.a3+2a2b+ab2=aba+b2C.a3+a=a2a+1a D.x2−2xy+4y2=x−2y2 3. 图中是一个少数民族手鼓的轮廓图，其主视图是( ) A. B. C. D. 4. 岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：13，8，12，9，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是(        ) A.9人，8人 B.8人，12人 C.8人，9人 D.9人，12人 5. 不等式组x+23≥0，x−1<0的解集在数轴上表示为(        ) A. B.C. D. 6. 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90∘，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D．若CD=4，则点D到AB的距离为(        ) A.4 B.3 C.7 D.1 7. 下列命题是真命题的是(        ) A.同弧所对的圆心角相等B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.二次函数y=ax2+bxab≠0的图象与坐标轴有两个交点D.若a>b，则a2>b2 8. 如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1，B2，B3，⋯Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则Bn（n为正整数）的坐标是(        ) A.(2n,0) B.(0,2n+1) C.(0,2n(n+1)) D.(0,2n)二、填空题  岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为________．   若7axb2与−3a3by的和为单项式，则xy=________．   函数y=2−x3自变量x的取值范围是________．   光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB=20∘，∠FED=45∘，则∠GFH=________​∘．   若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.   如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，点E在BC上，将纸片沿AE折叠后，点B与点O重合．若BE=1，则矩形ABCD的周长为________．   《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，依题意，可列方程组为________.    如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，过A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF=h．则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）①MN//BC；②△BDE∼△BCA；③AB⋅AC=2R⋅h；④若∠BAC=2α，则AB+ACAD=2cosα. 三、解答题    (1)计算：327−2021−π0−2cos30∘+−12−1； (2)先化简： x2−2xx2−4x+4−1x−2÷x2−xx2−4，再从−2≤x<3中选取一个合适的整数，代入求值．  如图，E，F，G，H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC=BD. 求证：四边形EFGH为菱形．   如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=kxk>0交于Ax1,y1，Bx2,y2两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于点Px0,0，与y轴交于点C． (1)若A，B两点的坐标分别为1,3，3,y2，求两函数的解析式； (2)在(1)的条件下，求证：AC=BP； (3)猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．  某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下统计图．请结合图中的信息解决下列问题： (1)在这次活动中，调查的居民共有________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)扇形统计图中的a=________，D所在扇形的圆心角是________度； (4)该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A，B话题发言的概率．  随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加． (1)该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； (2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t10≤t≤30，且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？  某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1:2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α=18∘30′，竖直的立杆上C，D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求： (1)观众区的水平宽度AB； (2)顶棚的E处离地面的高度EF．(sin18∘30′≈0.32，tan18∘30′≈0.33，结果精确到0.1m)  一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG.小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2a，AB=2b，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．试求DE2+BG2的值（用a，b表示）．  如图，抛物线y=ax2−23x+c(a≠0)过点O(0, 0)和A(6, 0)．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，当∠BOD=30∘时，求点D的坐标； (3)如图②，在(2)的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B′，△EFB′与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省岳阳市某校初三(下)4月期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】正数和负数的识别【解析】直接利用电梯上升5层记为+5，则电梯下降记为负数，进而得出答案．【解答】解：由电梯上升16层记为+16，则电梯下降记为负数，所以电梯下降5层应记为：−5．故选D.2.【答案】A【考点】因式分解-运用公式法提公因式法与公式法的综合运用因式分解-提公因式法【解析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．【解答】解：A， x2−9=(x+3)x−3，故此选项正确；B， a3+2a2b+ab2=aa+b2，故此选项错误；C， a3+a=a(a2+1)，故此选项错误；D，x2−2xy+4y2，无法分解因式，故此选项错误．故选A．3.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】此题暂无解析【解答】解：由几何体可得其主视图如图所示. 故选B．4.【答案】C【考点】中位数众数【解析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），即可得出答案．【解答】解：8出现了2次，出现的次数最多，则众数是8人；把这组数据从小到大排列：8，8，9，12，13，最中间的数是9，则中位数是9人．故选C．5.【答案】B【考点】解一元一次不等式组在数轴上表示不等式的解集【解析】先对各不等式求解，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．【解答】解：解x+23≥0，得： x≥−2，解x−1<0，得： x<1，所以不等式组的解集为： −2≤x<1，在数轴上表示如图所示.故选B.6.【答案】A【考点】角平分线的性质作图—基本作图【解析】判断出BP是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD=4，即可得解．【解答】解：由题意得BP是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵ ∠C=90∘，∴ DE=CD=4，∴ 点D到AB的距离为4.故选A．7.【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点不等式的性质圆心角、弧、弦的关系菱形的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：A，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故A错误；B，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；C，∵ ab≠0，∴ a≠0，b≠0，∴ Δ=b2>0，∴ 二次函数y=ax2+bxab≠0的图象与x轴有两个交点，且一个交点为原点，可知二次函数y=ax2+bxab≠0中c=0，与y轴交于原点，∴ 二次函数y=ax2+bxab≠0的图象与坐标轴有两个交点，故C正确；D，当a=1，b=−2，a21时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．所以176000000用科学记数法可表示为1.76×108．故答案为：1.76×108．【答案】9【考点】列代数式求值同类项的概念【解析】直接利用合并同类项法则进而得出x，y的值，即可得出答案．【解答】解：∵ 7axb2与−3a3by的和为单项式，∴ 7axb2与−3a3by是同类项，∴ x=3，y=2，∴ xy=32=9．故答案为：9.【答案】x≤2【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数，列出关于x的不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：2−x≥0，解得：x≤2．故答案为：x≤2．【答案】25【考点】平行线的性质【解析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45∘，结合图形求得∠GFH的度数．【解答】解：∵ AB // CD，∴ ∠GFB=∠FED=45∘．∵ ∠HFB=20∘，∴ ∠GFH=∠GFB−∠HFB=45∘−20∘=25∘．故答案为：25．【答案】k<5且k≠1【考点】一元二次方程的定义根的判别式【解析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴ k−1≠0,Δ>0, 即k−1≠0,42−4(k−1)>0, 解得k<5且k≠1．故答案为：k<5且k≠1.【答案】6+23【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质勾股定理【解析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE＝EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE＝30∘，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长．【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，且OE垂直平分AC，∴ AE=CE，在Rt△OEC中，∠OCE=30∘，∴ OE=12EC，即BE=12EC，∵ BE=1，∴ OE=1，AE=EC=2，∴ AB=AE2−BE2=3，BC=BE+CE=3，∴ 矩形ABCD的周长为：2(3+3)=6+23.故答案为：6+23.【答案】y=5x+45y=7x+3 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：y=5x+45,y=7x+3. 故答案为：y=5x+45,y=7x+3. 【答案】①③④【考点】平行线的判定锐角三角函数的定义相似三角形的判定与圆有关的探究问题【解析】此题暂无解析【解答】解：①如图1，连接OD，BO，CO，∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD=∠CAD ，∴ ∠BOD=∠COD，又∵ OB=OC，∴ OD⊥BC，∵ OD⊥MN，∴ MN//BC，故①正确；②∵ 只有∠ADB=∠ACB，∴ 无法判断△BDE∽△BCA，故②错误；③如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵ AH是直径，∴ ∠ABH=90∘=∠AFC，又∵ ∠AHB=∠ACF， ∴ △ACF∽△AHB，∴ ACAH=AFAB，∴ AB⋅AC=AF⋅AH=2R⋅h，故③正确；④如图3，过点D作DQ⊥AB于Q， DP⊥AC交AC延长线于P，连接CD，∵ ∠BAC=2α，AD平分∠BAC ，∴ ∠BAD=∠CAD=α，∴ BD=CD ，∴ BD=CD．∵ ∠BAD=∠CAD，DQ⊥AB， DP⊥AC，∴ DQ=DP，∴ Rt△DQB≅Rt△DPCHL，∴ BQ=CP，∵ DQ=DP，AD=AD，∴  Rt△DQA≅Rt△DPAHL，∴ AQ=AP，∴ AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ，∵ cos∠BAD=AQAD ，∴ AD=AQcosα ，∴  AB+ACAD=2AQAQcosα=2cosα，故④正确，综上所述，正确的结论有①③④.故答案为：①③④.三、解答题【答案】解：(1)原式=3−1−2×32−2=−3.(2)原式=[x(x−2)(x−2)2−1x−2]⋅(x+2)(x−2)x(x−1)=x+2x，取x=−1，原式=−1.【考点】特殊角的三角函数值零指数幂、负整数指数幂实数的运算立方根的性质分式的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)原式=3−1−2×32−2=−3.(2)原式=[x(x−2)(x−2)2−1x−2]⋅(x+2)(x−2)x(x−1)=x+2x，取x=−1，原式=−1.【答案】证明：∵ E，F分别是AB，BC的中点，∴ EF是△ABC的中位线，∴ EF=12AC，EF//AC，同理，GH=12AC，GH//AC，∴ EF=GH，EF//GH，∴ 四边形EFGH是平行四边形．又∵ AC=BD，∴ EF=FG，∴ 四边形EFGH为菱形．【考点】三角形中位线定理菱形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵ E，F分别是AB，BC的中点，∴ EF是△ABC的中位线，∴ EF=12AC，EF//AC，同理，GH=12AC，GH//AC，∴ EF=GH，EF//GH，∴ 四边形EFGH是平行四边形．又∵ AC=BD，∴ EF=FG，∴ 四边形EFGH为菱形．【答案】(1)解：∵ 点A1,3在反比例函数y=kx上，∴ k=3，∴ 反比例函数解析式为：y=3x，∵ 点B3,y2在y=3x上，∴ y2=1，即B点坐标为3,1，把A，B两点坐标代入直线y=ax+b，可得a+b=3，3a+b=1，解得a=−1，b=4，∴ 直线AB的解析式为y=−x+4.(2)证明：∵ 直线AB的解析式为y=−x+4，当y=0时， x=4，当x=0时， y=4，∴ P4,0，C0,4，∵ A1,3，B3,1，∴ AC=12+(4−3)2=2，BP=(4−3)2+12=2，∴ AC=BP.(3)猜想x1，x2，x0之间的关系式为： x1+x2=x0.理由如下：∵ Ax1,y1，Bx2,y2，∴ ax1+b=y1，ax2+b=y2， 得a=y2−y1x2−x1，b=−x1y2−x2y1x2−x1，∴ 直线AB解析式为y=y2−y1x2−x1x−x1y2−x2y1x2−x1，令y=0，可得x=x1y2−x2y1y2−y1，∵ x1y1=x2y2，∴ x=x1y2−x2y1y2−y1=y2−y1x1+x2y2+y1=x1+x2，即x1+x2=x0.【考点】待定系数法求一次函数解析式待定系数法求反比例函数解析式一次函数图象上点的坐标特点勾股定理反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，进一步可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线解析式；（2）根据P、C两点都在一次函数图象上，可求得P、C两点的坐标,结合A、B两点的坐标,进而运用勾股定理得到结论；（3）结合（1）、（2）中的坐标可猜得结论．【解答】(1)解：∵ 点A1,3在反比例函数y=kx上，∴ k=3，∴ 反比例函数解析式为：y=3x，∵ 点B3,y2在y=3x上，∴ y2=1，即B点坐标为3,1，把A，B两点坐标代入直线y=ax+b，可得a+b=3，3a+b=1，解得a=−1，b=4，∴ 直线AB的解析式为y=−x+4.(2)证明：∵ 直线AB的解析式为y=−x+4，当y=0时， x=4，当x=0时， y=4，∴ P4,0，C0,4，∵ A1,3，B3,1，∴ AC=12+(4−3)2=2，BP=(4−3)2+12=2，∴ AC=BP.(3)猜想x1，x2，x0之间的关系式为： x1+x2=x0.理由如下：∵ Ax1,y1，Bx2,y2，∴  ax1+b=y1，ax2+b=y2， 得a=y2−y1x2−x1，b=−x1y2−x2y1x2−x1，∴ 直线AB解析式为y=y2−y1x2−x1x−x1y2−x2y1x2−x1，令y=0，可得x=x1y2−x2y1y2−y1，∵ x1y1=x2y2，∴ x=x1y2−x2y1y2−y1=y2−y1x1+x2y2+y1=x1+x2，即x1+x2=x0.【答案】200(2)选择C的居民有： 200×15%=30（人）， 选择A的有：200−60−30−20−40=50 （人），补全的条形统计图如图所示：  25,36(4)树状图如图，共有6个等可能的结果，甲，乙两个小组选择A，B话题发言的结果有2个，所以两个小组选择A，B话题发言的概率为26=13 . 【考点】扇形统计图条形统计图列表法与树状图法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)调查的居民共有：60÷30%=200（人）．故答案为：200.(2)选择C的居民有： 200×15%=30（人）， 选择A的有：200−60−30−20−40=50 （人），补全的条形统计图如图所示：  (3)a%=50÷200×100%=25%，话题D所在扇形的圆心角是：360∘×20200=36∘.故答案为：25；36 . (4)树状图如图，共有6个等可能的结果，甲，乙两个小组选择A，B话题发言的结果有2个，所以两个小组选择A，B话题发言的概率为26=13 . 【答案】解：(1)设这两年平均年增长率为x，由题意可得：2(1+x)2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，会去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．(2)设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y=t+4t+3(100−3t)=−4t+300(0≤t≤30)，∵ k=−4<0，∴ y随t的增大而减小，当t=10时，y的最大值为−4×10+300=260（个）. 答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．【考点】一元二次方程的应用——增长率问题一次函数的应用【解析】  【解答】解：(1)设这两年平均年增长率为x，由题意可得：2(1+x)2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，会去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．(2)设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y=t+4t+3(100−3t)=−4t+300(0≤t≤30)，∵ k=−4<0，∴ y随t的增大而减小，当t=10时，y的最大值为−4×10+300=260（个）. 答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．【答案】解：(1)∵ 观众区AC的坡度i为1:2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，即BD=10，∴ AB=2BC=20m，答：观众区的水平宽度AB为20m.(2)作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC，MCDN为矩形，∴ MF=BC=10m，MN=CD=4m，DN=MC=BF=23m，在Rt△END中，tan∠EDN=ENDN，则EN=DN⋅tan∠EDN≈7.59m，∴ EF=EN+MN+MF=7.59+4+10≈21.6(m)，答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解答】解：(1)∵ 观众区AC的坡度i为1:2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，即BD=10，∴ AB=2BC=20m，答：观众区的水平宽度AB为20m.(2)作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC，MCDN为矩形，∴ MF=BC=10m，MN=CD=4m，DN=MC=BF=23m，在Rt△END中，tan∠EDN=ENDN，则EN=DN⋅tan∠EDN≈7.59m，∴ EF=EN+MN+MF=7.59+4+10≈21.6(m)，答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【答案】解：(1)能得到BE=DG.∵ 四边形AEFG为正方形，∴ AE=AG，∠EAG=90∘，又∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB=AD，∠BAD=90∘，∴ ∠EAB=∠GAD，∴ △AEB≅△AGD(SAS)．∴ BE=DG . (2)当∠EAG=∠BAD时， BE=DG.理由如下：∵ ∠EAG=∠BAD，∴ ∠EAB=∠GAD，又∵ 四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴ AE=AG，AB=AD，∴ △AEB≅△ACD（SAS），∴ BE=DG.(3)如图，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，AB与DG交于H．∵ AEAG=ABAD=23，∠EAB=∠GAD=90∘+∠GAB，∴ △EAB∽△GAD，可得∠EBA=∠GDA，∵ ∠AHD+∠GAD=90∘=∠QHB+∠EBA，∴ GD⊥EB，连接EG，BD，∴ ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=EG2+BD2=2a2+3a2+2b2+3b2=13a2+13b2.【考点】全等三角形的性质与判定正方形的性质菱形的性质矩形的性质相似三角形的性质与判定勾股定理【解析】 【解答】解：(1)能得到BE=DG.∵ 四边形AEFG为正方形，∴ AE=AG，∠EAG=90∘，又∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB=AD，∠BAD=90∘，∴ ∠EAB=∠GAD，∴ △AEB≅△AGD(SAS)．∴ BE=DG . (2)当∠EAG=∠BAD时， BE=DG.理由如下：∵ ∠EAG=∠BAD，∴ ∠EAB=∠GAD，又∵ 四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴ AE=AG，AB=AD，∴ △AEB≅△ACD（SAS），∴ BE=DG.(3)如图，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，AB与DG交于H．∵ AEAG=ABAD=23，∠EAB=∠GAD=90∘+∠GAB，∴ △EAB∽△GAD，可得∠EBA=∠GDA，∵ ∠AHD+∠GAD=90∘=∠QHB+∠EBA，∴ GD⊥EB，连接EG，BD，∴ ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=EG2+BD2=2a2+3a2+2b2+3b2=13a2+13b2.【答案】解：(1)把点O(0, 0)和A(6, 0)代入y=ax2−23x+c中，得到：c=0，36a − 123 + c = 0，解得：a=33，c=0，∴ 抛物线的解析式为y = 33x2−23x.(2)如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．∵ y = 33x2−23x = 33(x−3)2−33，∴ 顶点B(3, −33)，M(3, 0)，∴ OM=3，BM=33，∴ tan∠MOB = BMOM = 3，∴ ∠MOB=60∘，∵ ∠BOD=30∘，∴ ∠MON=∠MOB−∠BOD=30∘，∴ MN=OM⋅tan30∘ = 3，∴ N(3,  − 3)，∴ 直线ON的解析式为y=−33x，由y =−33x， y = 33x2 − 23x ，解得x=0，y=0，或x=5，y = − 533，∴ D(5,  − 533).(3)如图，当∠EFG=90∘时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意得OF=BF，可得F( − 32,  − 332)，E(3,  − 3)，利用平移的性质可得H(32, 32)；如图，当∠EGF=90∘时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF=∠FEB=30∘，∴ BE=BF，可得F(2,−23)，利用平移的性质可得H(72,− 332)；如图，当∠FGE=90∘时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F(1,−3)，G(32,−32)，利用平移的性质可得H(52,  − 332)．综上所述，满足条件的点H的坐标为(32, 32)或(52,  − 332)或(72,  − 332)．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题解直角三角形【解析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．解直角三角形求出等N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定等D坐标即可；（3）分三种情形：如图②−1中，当∠EFG=90∘时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合．如图②−2中，当∠EGF=90∘时，点H在对称轴右侧．如图②−3中当∠FGE=90∘时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，分别求解即可．【解答】解：(1)把点O(0, 0)和A(6, 0)代入y=ax2−23x+c中，得到：c=0，36a − 123 + c = 0，解得：a=33，c=0，∴ 抛物线的解析式为y = 33x2−23x.(2)如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．∵ y = 33x2−23x = 33(x−3)2−33，∴ 顶点B(3, −33)，M(3, 0)，∴ OM=3，BM=33，∴ tan∠MOB = BMOM = 3，∴ ∠MOB=60∘，∵ ∠BOD=30∘，∴ ∠MON=∠MOB−∠BOD=30∘，∴ MN=OM⋅tan30∘ = 3，∴ N(3,  − 3)，∴ 直线ON的解析式为y=−33x，由y =−33x， y = 33x2 − 23x ，解得x=0，y=0，或x=5，y = − 533，∴ D(5,  − 533).(3)如图，当∠EFG=90∘时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意得OF=BF，可得F( − 32,  − 332)，E(3,  − 3)，利用平移的性质可得H(32, 32)；如图，当∠EGF=90∘时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF=∠FEB=30∘，∴ BE=BF，可得F(2,−23)，利用平移的性质可得H(72,− 332)；如图，当∠FGE=90∘时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F(1,−3)，G(32,−32)，利用平移的性质可得H(52,  − 332)．综上所述，满足条件的点H的坐标为(32, 32)或(52,  − 332)或(72,  − 332)．