这是一份2020-2021学年福建省龙岩市某校初三（下）期中考试数学试卷新人教版
2020-2021学年福建省龙岩市某校初三（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. −12021的绝对值是( ) A.2021 B.−2021 C.12021 D.−12021 2. 某城市四月初连续四天的天气情况如图所示，这四天中，温差最大的是( ) A.周一 B.周二 C.周三 D.周四 3. 下列运算结果等于x6的是( ) A.x2⋅x3 B.x6÷x C.x2+x4 D.(x3)2 4. 如图，点E，F在AC上，∠B=∠D=90∘，则下列结论正确的是( ) A.∠A=∠C B.DE//BF C.AE=CF D.∠D=∠A+∠AFB 5. 如图是一个几何体的正视图，则这个几何体可能是( ) A. B. C. D. 6. 两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( ) A.两个小球的标号之和等于1B.两个小球的标号之和等于6C.两个小球的标号之和大于1D.两个小球的标号之和大于6 7. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和bb>1，将点A向右平移1个单位长度得到点C．若OC=OB，则a，b的关系是( ) A.a+b=1 B.a−b=1 C.a+b=−1 D.a−b=−1 8. 如图， ⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B−4,0，交y轴于点C0,3，点D为第二象限内圆上一点．则sin∠CDO的值是( ) A.35 B.−34 C.34 D.45 9. 已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC=2，则PM的最小值为( ) A.2 B.22−2 C.22+2 D.22 10. 已知点Ax1,y1与点Bx2,y2在二次函数y=−x−m2−m+1(m为常数)的图象上，且x1
2m，则下列判断正确的是( ) A.y1>y2 B.y1=y2 C.y10的图象交于点C，与y轴交于点A，过点A作AB⊥y轴，交反比例函数于点B，若AC=BC，则△OBC的面积为________. 三、解答题 解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集. 3(1−x)+2<8，①x+46≥1，② 先化简，再求值： 1−xx+1÷x2−2x+1x2−1，其中x=3+1. 如图，AC是四边形ABCD的对角线， ∠ACD=∠B，点E，F分别在AB，BC上， BE=CD，BF=CA，连接EF. (1)求证： AD=EF； (2)若EF//AC，∠D=78∘，求∠BAC的度数. 如图，在Rt△ABC中， ∠A=90∘，∠C=30∘， BC=12. (1)求作：以∠B为一个内角的菱形BDEF，使顶点E在AC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求菱形BDEF的边长. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天. (1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ (2)若甲队工作一天的改造费用3万元，乙队工作一天的改造费用为2.4万元，如需改造的道路全长为900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？ 如图，在▱ABCD中，∠D=60∘，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与CB的延长线交于点E，AB=EB． 1求证：EC是⊙O的切线； (2)若AD=23，求弧AM的长（结果保留π）． 某工厂承接了一批加工业务，双方约定：原材料由委托方供给，加工出来的每件产品按质量标准评定为A，B，C，D四个等级，并由委托方按委托加工数量全部收回.对于每件A级品、B级品、C级品，委托方分别付给加工厂加工费90元，50元，20元；对于每件D级品，加工厂要赔偿委托方原材料费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．该厂为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： (1)分别估计甲、乙两个分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润. 若以平均利润为依据，则该厂应选哪个分厂承接加工业务？ 如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，连接EC，交AD于点F，交BD于点G， BD⊥EC. (1)求证：AF=AB； (2)若AD=2，求AB的长； (3)连接AG，求证：EG−DG=2AG. 如图1，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A−1,0和B点，与y轴交于点C0,2. (1)求这个抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB=∠ACO，求点P的坐标； (3)如图2，若点D是在直线BC上方的抛物线的点，作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大值. 参考答案与试题解析2020-2021学年福建省龙岩市某校初三（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】绝对值【解析】 【解答】解：正数或零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 则−12021的绝对值是12021. 故选C.2.【答案】B【考点】正数和负数的识别有理数的减法【解析】利用有理数的加减运算法则，利用大数减去小数分别计算得出每天的温差进而得出答案．【解答】解：由图可得：星期一温差为：−2−−7=5∘C， 星期二温差为： 2−−9=11∘C， 星期三温差为：−5−−12=7∘C， 星期四温差为： −8−−18=10∘C， 故这四天中温差（最高气温与最低气温的差）最大的是周二． 故选B.3.【答案】D【考点】合并同类项幂的乘方与积的乘方单项式乘单项式单项式除以单项式【解析】此题暂无解析【解答】解：A.x2⋅x3=x5,故此选项错误； B.x6÷x=x5,故此选项错误； C.x2与x4不是同类项,不能合并，故此选项错误； D.(x3)2=x6,故此选项正确. 故选D.4.【答案】D【考点】三角形内角和定理【解析】根据三角形内角和定理可得∠C+∠CED=90∘,∠A+∠AFB=90∘,即可解答.【解答】解：∵ ∠B=∠D=90∘， ∴ ∠C+∠CED=90∘，∠A+∠AFB=90∘， ∴ ∠D=∠A+∠AFB，则D正确； ∠A=∠C，DE//BF，AE=CF，根据题目条件无法得出. 故选D.5.【答案】A【考点】由三视图判断几何体【解析】从主视图看，这是一个正方体右上角挖去一个小正方体，根据选项判断．【解答】解：从主视图看，这是一个正方体右上角挖去一个小正方体，故A符合，BCD不符合． 故选A．6.【答案】B【考点】随机事件必然事件不可能事件【解析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：∵ 两个不透明的口袋中各有三个相同的小球， 将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3， ∴ 从这两个口袋中分别摸出一个小球， 两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意； 两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意； 两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意； 两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意； 故选B.7.【答案】C【考点】绝对值数轴【解析】根据OC=OB可得点C表示的数为a+1，据此可得|a+1|=b，去绝对值符号可得a，b的关系．【解答】解：根据已知条件，C点的数为a+1， 根据题意得：|a+1|=b，a<0，b>1， ∵b>1， ∴|a+1|>1， 又∵a<0， ∴a+1<0， ∴去绝对值符号得：−a−1=b， ∴a+b=−1． 故选C．8.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义勾股定理圆周角定理【解析】连接BC，由垂径定理可知BC⊥OD，由勾股定理BC=32+42=5，再根据三角函数的定义sin∠OBC=OCBC=35，因此sin∠CDO=sin∠OBC=35.【解答】解：连接BC，如图， ∵B−4,0，C0,3， ∴ OB=4，OC=3， ∴ BC=32+42=5， ∴ sin∠OBC=OCBC=35. ∵∠ODC=∠OBC， ∴ sin∠CDO=sin∠OBC=35. 故选A.9.【答案】B【考点】等腰直角三角形直角三角形斜边上的中线【解析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB=42，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．【解答】解：∵ 等腰直角三角形ABC的腰长为4， ∴ 斜边AB=42， ∵ 点P为该平面内一动点，且满足PC=2， ∴ 点P在以C为圆心，PC为半径的圆上， 当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小， ∵ △ABC是等腰直角三角形， ∴ CM=12AB=22， ∵ PC=2， ∴ PM=CM−CP=22−2. 故选B.10.【答案】C【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】由y=−x−m2−m+1可知抛物线开口向下，对称轴 x=m，再由开口向下时，横坐标到对称轴m的距离越大，纵坐标值越小，得到y12m， ∴x1−m>m−x2，即x1到m的距离大于x2到m的距离， 由抛物线的性质知，当开口向下时，横坐标到对称轴m的距离越大，纵坐标值越小， ∴y1−1. 由②得：x+4≥6， 解得x≥2. ∴ 如图所示， ∴ 原不等式组的解集为x≥2.【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】暂无【解答】解：由①得：3−3x+2<8， 解得x>−1. 由②得：x+4≥6， 解得x≥2. ∴ 如图所示， ∴ 原不等式组的解集为x≥2.【答案】解：原式=x+1−xx+1÷x−12x+1x−1 =1x+1⋅x+1x−1x−12 =1x−1 . 当x=3+1时，原式=13+1−1=33.【考点】分式的化简求值完全平方公式平方差公式【解析】暂无【解答】解：原式=x+1−xx+1÷x−12x+1x−1 =1x+1⋅x+1x−1x−12 =1x−1 . 当x=3+1时，原式=13+1−1=33.【答案】(1)证明：∵ BE=CD ，∠ACD=∠B，BF=CA， ∴ △BEF≅△CDA(AAS). ∴ AD=EF .(2)解：∵ △BEF≅△CDA， ∴ ∠D=∠BEF . ∵ ∠D=78∘， ∴ ∠BEF=78∘ . ∵ EF//AC， ∴ ∠BAC=∠BEF=78∘ .【考点】全等三角形的性质与判定平行线的性质全等三角形的性质【解析】暂无暂无【解答】(1)证明：∵ BE=CD ，∠ACD=∠B，BF=CA， ∴ △BEF≅△CDA(AAS). ∴ AD=EF .(2)解：∵ △BEF≅△CDA， ∴ ∠D=∠BEF . ∵ ∠D=78∘， ∴ ∠BEF=78∘ . ∵ EF//AC， ∴ ∠BAC=∠BEF=78∘ .【答案】解：(1)如图，四边形BDEF即为所求作的菱形. (2)∵ 四边形BDEF是菱形. ∴ ED=BD ，ED//BA， ∵ ∠A=90∘， ∴ ∠CED=∠A=90∘. ∵ ∠C=30∘， ∴ CD=2ED=2BD. ∵ BD+CD=BC， 即BD+2BD=12， ∴ BD=4. 即菱形BDEP的边长为4 .【考点】作图—复杂作图菱形的性质【解析】暂无暂无【解答】解：(1)如图，四边形BDEF即为所求作的菱形. (2)∵ 四边形BDEF是菱形. ∴ ED=BD ，ED//BA， ∵ ∠A=90∘， ∴ ∠CED=∠A=90∘. ∵ ∠C=30∘， ∴ CD=2ED=2BD. ∵ BD+CD=BC， 即BD+2BD=12， ∴ BD=4. 即菱形BDEP的边长为4 .【答案】解：(1)设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路32x米. 依题意，得360x−36032x=4 ， 解得：x=30 ， 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 32x=45. 答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米.(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作900−45m30天， 依题意，得：3m+2.4×900−45m30≤63 ， 解得：m≥15 . 答：至少安排甲队工作15天.【考点】分式方程的应用一元一次不等式的实际应用【解析】暂无暂无【解答】解：(1)设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路32x米. 依题意，得360x−36032x=4 ， 解得：x=30 ， 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 32x=45. 答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米.(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作900−45m30天， 依题意，得：3m+2.4×900−45m30≤63 ， 解得：m≥15 . 答：至少安排甲队工作15天.【答案】1证明：连接OB， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠ABC=∠D=60∘. ∵ AC⊥BC， ∴ ∠ACB=90∘， ∴ ∠BAC=30∘. ∵ BE=AB， ∴ ∠E=∠BAE. ∵ ∠ABC=∠E+∠BAE=60∘， ∴ ∠E=∠BAE=30∘. ∵ OA=OB， ∴ ∠ABO=∠OAB=30∘， ∴ ∠OBC=30∘+60∘=90∘， ∴ OB⊥CE， ∴ EC是⊙O的切线.2解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC=AD=23. 过O作OH⊥AM于H， 则四边形OBCH是矩形， ∴ OH=BC=23， ∴ OA=OHsin60∘=4，∠AOM=2∠AOH=60∘， ∴ AM的长度=60 ⋅ π × 4180=4π3．【考点】平行四边形的性质切线的判定与性质等腰三角形的性质与判定弧长的计算锐角三角函数的定义【解析】1证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60∘，求得∠BAC=30∘，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30∘，于是得到结论； 2根据平行四边形的性质得到BC=AD=23，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【解答】1证明：连接OB， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠ABC=∠D=60∘. ∵ AC⊥BC， ∴ ∠ACB=90∘， ∴ ∠BAC=30∘. ∵ BE=AB， ∴ ∠E=∠BAE. ∵ ∠ABC=∠E+∠BAE=60∘， ∴ ∠E=∠BAE=30∘. ∵ OA=OB， ∴ ∠ABO=∠OAB=30∘， ∴ ∠OBC=30∘+60∘=90∘， ∴ OB⊥CE， ∴ EC是⊙O的切线.2解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC=AD=23. 过O作OH⊥AM于H， 则四边形OBCH是矩形， ∴ OH=BC=23， ∴ OA=OHsin60∘=4，∠AOM=2∠AOH=60∘， ∴ AM的长度=60 ⋅ π × 4180=4π3．【答案】解：(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40， 故频率为40100=0.4， 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28， 故频率为28100=0.28， 故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是0.4，0.28.(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2， 故其平均利润为(90−25)×0.4+(50−25)×0.2+ (20−25)×0.2+(−50−25)×0.2=15（元）； 同理，乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21， 故其平均利润为(90−20)×0.28+(50−20)×0.17+ (20−20)×0.34+(−50−20)×0.21=10（元）. 因为15>10， 所以选择甲分厂承接更好.【考点】频数与频率算术平均数【解析】（1）根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率； （2）根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．【解答】解：(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40， 故频率为40100=0.4， 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28， 故频率为28100=0.28， 故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是0.4，0.28.(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2， 故其平均利润为(90−25)×0.4+(50−25)×0.2+ (20−25)×0.2+(−50−25)×0.2=15（元）； 同理，乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21， 故其平均利润为(90−20)×0.28+(50−20)×0.17+ (20−20)×0.34+(−50−20)×0.21=10（元）. 因为15>10， 所以选择甲分厂承接更好.【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠EAF=∠DAB=90∘ . ∴ ∠E+∠AFE=90∘. ∵ BD⊥EC， ∴ ∠FDG+∠DFG=90∘. ∵ ∠AFE=∠DFG， ∴ ∠E=∠ADB . 又∵ AE=AD， ∴ △AEF≅△ADBASA ∴ AF=AB .(2)解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE//CD ，AB=CD. ∴ ∠E=∠DCF，∠EAF=∠CDF， ∴ △AEF∼△DCF . ∴ AEDC=AFDF，即AE⋅DF=AF⋅DC . 设AF=AB=aa>0， ∵ AE=AD=2，则有：22−a=a2 ， 化简得：a2+2a−4=0， 解得a=−1+5，或a=−1−5（舍去）， ∴ AB=−1+5.(3)解：如图，在线段EG上取点P，使得EP=DG， ∵ AE=AD，∠E=∠ADG，EP=DG， ∴ △AEP≅△ADG(SAS). ∴ AP=AG ，∠EAP=∠DAG . ∴ ∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90∘. ∴ △PAG为等腰直角三角形. ∴ EG−DG=EG−EP=PG=2AG .【考点】矩形的性质全等三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定等腰直角三角形【解析】暂无暂无暂无【解答】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠EAF=∠DAB=90∘ . ∴ ∠E+∠AFE=90∘. ∵ BD⊥EC， ∴ ∠FDG+∠DFG=90∘. ∵ ∠AFE=∠DFG， ∴ ∠E=∠ADB . 又∵ AE=AD， ∴ △AEF≅△ADBASA ∴ AF=AB .(2)解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE//CD ，AB=CD. ∴ ∠E=∠DCF，∠EAF=∠CDF， ∴ △AEF∼△DCF . ∴ AEDC=AFDF，即AE⋅DF=AF⋅DC . 设AF=AB=aa>0， ∵ AE=AD=2，则有：22−a=a2 ， 化简得：a2+2a−4=0， 解得a=−1+5，或a=−1−5（舍去）， ∴ AB=−1+5.(3)解：如图，在线段EG上取点P，使得EP=DG， ∵ AE=AD，∠E=∠ADG，EP=DG， ∴ △AEP≅△ADG(SAS). ∴ AP=AG ，∠EAP=∠DAG . ∴ ∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90∘. ∴ △PAG为等腰直角三角形. ∴ EG−DG=EG−EP=PG=2AG .【答案】解：(1)∵ 抛物线y=−12x2+bx+c经过A−1,0和C0,2， ∴ 0=−12−b+c，2=c， 解得 b=32，c=2， ∴ 这个抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2.(2)如图， 作PM⊥x轴于点M， 设Pm,−12m2+32m+2， 则AM=m+1，PM=−12m2+32m+2， ∵ ∠PAB=∠ACO， ∴ tan∠PAB=∠ACO. 即PMAM=AOCD=12， ∴ −12m2+32m+2m+1=12. ①当P在x轴上方时，−12m2+32m+2m+1=12， 解得m=3或m=−1（与A重合，舍去）， 当m=3时，−12m2+32m+2=2， ∴ P(3,2)； ②当P在x轴下方时，12m2−32m−2m+1=12， 解得m=5或m=−1（与A重合，舍去）， 当m=5时，−12m2+32m+2=−3， ∴ P5,−3 . 综上，P点有两个，分别是3,2和5,−3.(3)对于y=−12x2+32x+2， 令y=0，得x=−1或x=4， ∴ B4,0. 设直线BC的解析式为：y=kx+2， ∴ 0=4k+2，得k=−12， ∴ 直线BC的解析式是：y=−12x+2 . 在Rt△COB中，BC=OC2+OB2=25， ∴ cos∠CBO=OBBC=255. 如图，作DN⊥x轴于N点，交BC于点F， ∵ DE⊥BC，∠DFE=∠BFN， ∴ ∠EDF=∠NBF， ∴ DE=DF⋅cos∠EDF=DF⋅cos∠CBO=255DF， 当DF最大时，DE最大， 设D(n,−12n2+32n+2)，则Fn,−12n+2， ∴ DF=−12n2+32n+2−−12n+2 =−12(n−2)2+2， 当n=2时，DF最大，最大值为2. ∴ DE的最大值=255DF=455.【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题二次函数图象上点的坐标特征解直角三角形【解析】暂无暂无暂无【解答】解：(1)∵ 抛物线y=−12x2+bx+c经过A−1,0和C0,2， ∴ 0=−12−b+c，2=c， 解得 b=32，c=2， ∴ 这个抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2.(2)如图， 作PM⊥x轴于点M， 设Pm,−12m2+32m+2， 则AM=m+1，PM=−12m2+32m+2， ∵ ∠PAB=∠ACO， ∴ tan∠PAB=∠ACO. 即PMAM=AOCD=12， ∴ −12m2+32m+2m+1=12. ①当P在x轴上方时，−12m2+32m+2m+1=12， 解得m=3或m=−1（与A重合，舍去）， 当m=3时，−12m2+32m+2=2， ∴ P(3,2)； ②当P在x轴下方时，12m2−32m−2m+1=12， 解得m=5或m=−1（与A重合，舍去）， 当m=5时，−12m2+32m+2=−3， ∴ P5,−3 . 综上，P点有两个，分别是3,2和5,−3.(3)对于y=−12x2+32x+2， 令y=0，得x=−1或x=4， ∴ B4,0. 设直线BC的解析式为：y=kx+2， ∴ 0=4k+2，得k=−12， ∴ 直线BC的解析式是：y=−12x+2 . 在Rt△COB中，BC=OC2+OB2=25， ∴ cos∠CBO=OBBC=255. 如图，作DN⊥x轴于N点，交BC于点F， ∵ DE⊥BC，∠DFE=∠BFN， ∴ ∠EDF=∠NBF， ∴ DE=DF⋅cos∠EDF=DF⋅cos∠CBO=255DF， 当DF最大时，DE最大， 设D(n,−12n2+32n+2)，则Fn,−12n+2， ∴ DF=−12n2+32n+2−−12n+2 =−12(n−2)2+2， 当n=2时，DF最大，最大值为2. ∴ DE的最大值=255DF=455.
