新疆乌鲁木齐地区2021届高三三模数学（理）试题（含答案）

这是一份新疆乌鲁木齐地区2021届高三三模数学（理）试题（含答案），共8页。

注意事项：
1．本试卷分为问卷(4页)和答卷(4页)，答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上．
2．答题前，先将答卷密封线内的项目(或答题卡中的相关信息)填写清楚．
第I卷(选择题共60分)
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】A
2. 下列函数中，周期为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3. 已知复数的模为2，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
4. 下列说法错误的是（ ）
A. “若，则”的逆否命题是“若，则”
B. “”的否定是”
C. “是"”必要不充分条件
D. “或是"”充要条件
【答案】C
5. 比较甲､乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的有几个（ ）
①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
②甲数学建模能力指标值优于乙的数学建模能力指标值
③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
④甲的数学运算能力指标值优于乙的数学运算能力指标值
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
6. 计算定积分（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9. 过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10. 等差数列中，是数列的前项和，则数列的前项和最大时，（ ）
A. 20B. C. 20或21D. 21或22
【答案】C
11. 拋物线，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆与轴交于、两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
12. 意大利画家列奥多·达芬奇(1452.4-1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出，固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：，其中是悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为，相应地双曲正弦函数的表达式为若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别交于两点，曲线在点A处的切线与曲线在点处的切线相交于点则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 随的增大而减小
D. 的面积随的增大而减小
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，需抽出的男运动员的人数为 __________．
【答案】16
14. 在中，，，是中点，则__________．
【答案】2
15. 等比数列中，为数列的前项和，，则__________．
【答案】4
16. 如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：
①长度的最小值为；
②当时，与相交；
③始终与平面平行；
④当时，为直二面角．
正确的序号是__________．
【答案】①③
三､解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角所对的边长分别为，是1和的等差中项．
（1）求角；
（2）若平分线交于点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
18. 如图，四棱锥的底面为正方形，所有棱长都是，，，分别是棱，，的中点．
（1）求过，，三点的平面截棱锥所得截面的面积；
（2）设过，，三点的平面为，求与平面所成角的大小．
【答案】（1）；（2）．
19. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：
并计算得：
（1）画出散点图；
（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；
（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．
(附：)
【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）预测摸底考试成绩低于53分学生将不能获得某课程结业．
20. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，在椭圆上有一点，满足，且的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；．
21. 已知函数．
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．
选考题：共10分，请考生在22､23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数为的倾斜角，且，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，点恰为线段的三等分点，求
【答案】（1）；（2）．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知.
（1）若时，求的解集；
（2）当时，不等式恒成立，求取值范围．
【答案】（1）；（2）．摸底成绩
50
35
40
55
80
60
65
35
90
50
期末成绩
53
51
56
68
87
71
46
31
79
68