人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质同步练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质同步练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
2．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，则p的值( )
A．1 B．－1
C．4 D．6
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
4．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是( )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
二、填空题
5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4eq \r(3)，则焦点到AB的距离为________．
6．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
7．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．
三、解答题
8．求抛物线y＝eq \f(1,8)x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离．
9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
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10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
课时作业(二十四) 抛物线的几何性质
1．解析：依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又eq \f(p,2)＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程为x2＝±12y.
答案：C
2．解析：eq \f(p,2)＝eq \r(3＋1)⇒p＝4，解得p＝4.
答案：C
3．解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
答案：B
4．解析：由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝eq \f(1,2)×2p×4p＝4p2.
答案：B
5．解析：不妨设A(x,2eq \r(3))，则(2eq \r(3))2＝4x.所以x＝3，所以AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)．所以焦点到AB的距离为2.
答案：2
6．解析：由题意知Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,\r(3))，－\f(p,2)))，代入方程eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得p＝6.
答案：6
7．解析：线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，
与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，0))，
∴抛物线的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，0))，
∴其标准方程是y2＝5x.
答案：y2＝5x
8．解析：抛物线的对称轴为y轴，把A(x0,2)代入y＝eq \f(1,8)x2，得xeq \\al(2,0)＝16，即|x0|＝4，故A到y轴的距离为4.
9．解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))).联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－eq \f(3,2)，
所以M到准线的距离等于3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
10．证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
由题意可设直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px，
得y2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2，
所以x1x2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＝eq \f(p4,4p2)＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))
＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).
因为x1x2＝eq \f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，
代入上式，
得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)
＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．