2021-2022学年广东省深圳市宝安区富源学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）（含答案）

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2021-2022学年广东省深圳市宝安区富源学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
3．（3分）如图，m∥n，直角三角尺ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α，β．若α＝35°，则β的值为（　　）

A．55° B．35° C．45° D．50°
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．3a2•2a3＝6a6
C．（﹣a3）2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
6．（3分）已知m是方程x2﹣2x﹣1010＝0的根，则代数式4m﹣2m2﹣1的值为（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣2022 D．2022
7．（3分）下列哪一个是假命题（　　）
A．五边形外角和为360°
B．圆的切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2020的对称轴为直线x＝2
8．（3分）如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是（　　）

A．﹣1 B．2﹣ C．2﹣2 D．1﹣
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：2ab3﹣2a3b＝　 　．
12．（3分）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是 　 　．
13．（3分）如图，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度为 　 　米．（结果带根号即可）

14．（3分）如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，且OA＝2，OB＝1，将△AOB沿AB翻折得△ADB，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过D点，则k的值是　 　 　．

15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上且BE＝3，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于点H．若BH＝2，则AM＝　 　．

三．解答题（共7小题，共55分）
16．（5分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣1），然后从﹣2、2、﹣3、3中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
18．（8分）2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b

（1）n的值为 　 　，a的值为 　 　，b的值为 　 　．
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 　 　°．
（3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
（4）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△OBE的面积为 　 　．

20．（8分）五月的第二个星期日是母亲节，母亲们在这一天通常会收到礼物，康乃馨被视为献给母亲的花，某花店在母亲节前夕用3000元购进一批康乃馨，在母亲节当天供不应求，又马上用6000元加急购进一批康乃馨，第二批康乃馨数量是第一批的1.2倍，单价比第一批贵2元．
（1）第一批康乃馨进货单价多少元？
（2）若两次购进康乃馨按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？
21．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，且点D为（4，3）．
（1）求抛物线及直线l的函数关系式；
（2）点F为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△AFG为等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；
（3）若点Q是y轴上一点，且∠ADQ＝45°，请直接写出点Q的坐标．

22．（10分）已知D是等腰直角△ABC所在平面上的任意一点，∠BAC＝90°，连接DA并延长到点E，使得AE＝DA．连接BD，CD，以DB，DC为邻边作平行四边形DBFC，连接EF．
（1）如图1，当点D在△ABC的直角角平分线上时，EF与BC的位置关系为 　 　，数量关系为 　 　；
（2）如图2，当点D不在∠BAC的平分线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
（3）将AD绕点A逆时针旋转，当∠ACD＝15°，∠BFC＝90°时，请直接写出的值．


2021-2022学年广东省深圳市宝安区富源学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图，m∥n，直角三角尺ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α，β．若α＝35°，则β的值为（　　）

A．55° B．35° C．45° D．50°
【分析】过点C作CD∥m，交AB与点D．利用平行线的性质和角的和差关系，求出∠β的值．
【解答】解：如图，过点C作CD∥m，交AB与点D．
∵m∥n，CD∥m，
∴m∥n∥CD．
∴∠ACD＝∠α＝35°，∠DCB＝∠β．
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠α+∠β＝90°．
∴∠β＝55°．
故选：A．

【点评】本题考查了平行线的性质和角的和差等知识点．解决本题亦可延长AC交直线n于点E，利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．3a2•2a3＝6a6
C．（﹣a3）2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式计算即可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误；
B、3a2•2a3＝6a5，故B错误；
C、（﹣a3）2＝a6，正确，故C正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（3分）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知＝，由位似图形性质得＝（）2，即＝，据此可得答案．
【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴＝，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴＝（）2，即＝，
解得：S△ABC＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（3分）已知m是方程x2﹣2x﹣1010＝0的根，则代数式4m﹣2m2﹣1的值为（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣2022 D．2022
【分析】把x＝m代入方程得出m2﹣2m＝3，把4m﹣2m2﹣1化成﹣2（m2﹣2）﹣1，代入求出即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1010＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1010＝0，
∴m2﹣2m＝1010，
∴4m﹣2m2﹣1
＝﹣2（m2﹣2m）﹣1
＝﹣2×1010﹣1
＝﹣2021，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2﹣2m当作一个整体来代入．
7．（3分）下列哪一个是假命题（　　）
A．五边形外角和为360°
B．圆的切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2020的对称轴为直线x＝2
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、五边形外角和为360°，是真命题；
B、圆的切线垂直于经过切点的半径，是真命题；
C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，﹣2），原命题是假命题；
D、抛物线y＝x2﹣4x+2020的对称轴为直线x＝2，是真命题；
故选：C．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（3分）如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是（　　）

A．﹣1 B．2﹣ C．2﹣2 D．1﹣
【分析】根据数轴两点间的距离求出⊙A的半径AB＝，从而得到AC＝，即可求解．
【解答】解：∵A，B两点表示的数分别为1，，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∵点C在点A的左边，
∴点C表示的数为，
（备注：由A是BC的中点，用中点坐标公式也可求解），
故选：B．
【点评】本题主要考查了是数轴上两点之间的距离．注意：因为点C在点A的左边，所以用点A表示的数减去AC的距离，计算即可．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，即可判断①②；由抛物线对称轴在y轴的左侧，交y轴的正半轴，即可判断③；抛物线的顶点纵坐标大于2，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴a＜0，
∴函数的对称轴为：x＝﹣＞﹣1，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，故②正确；
∵抛物线对称轴在y轴的左侧，交y轴的正半轴，
∴ab同号，c＞0，
∴abc＞0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），
∴顶点纵坐标大于2，故＞2，
∴b2+8a＞4ac，故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，a的符号由抛物线的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，此外还要注意二次函数图象上的一些特殊点．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点C作CN⊥FG交AB，FG于点M，N，由题意可证明△ACP∽△ICQ，可得＝＝，设AC＝3x，则BC＝4x，可得AB＝5x，然后由三角形面积可得CM＝x，再根据MK∥NG，平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CN⊥FG交AB，FG于点M，N，

由题意可知：∠CAP＝∠CEQ＝90°，
∵∠ACP＝∠ICQ，
∴△ACP∽△ICQ，
∴＝＝，
设AC＝3x，则BC＝4x，
∴AB＝＝5x，
∴MN＝AF＝AB＝5x，
∵CM⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝x，
∵MK∥NG，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACP∽△ICQ．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：2ab3﹣2a3b＝　2ab（b+a）（b﹣a）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2ab（b2﹣a2）
＝2ab（b+a）（b﹣a）．
故答案为：2ab（b+a）（b﹣a）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种，
∴墩墩和融融两人同坐2号车的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了树状图法求概率：利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．（3分）如图，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度为 　（5+1.70）　米．（结果带根号即可）

【分析】过A作AB⊥地面于B，过D作DE⊥地面于E，DC⊥AB于C，则四边形DEBC是矩形，得BC＝ED＝1.70米，DC＝EB＝15米，再由锐角三角函数定义得AC＝5（米），即可解决问题．
【解答】解：如图，过A作AB⊥地面于B，过D作DE⊥地面于E，DC⊥AB于C，

则四边形DEBC是矩形，
∴BC＝ED＝1.70米，DC＝EB＝15米，
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴tan∠ADC＝tan30°＝＝，
∴AC＝DC＝5（米），
∴AB＝AC+CB＝（5+1.70）（米）．
即无人机距离地面的高度为（5+1.70）米，
故答案为：（5+1.70）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．（3分）如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，且OA＝2，OB＝1，将△AOB沿AB翻折得△ADB，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过D点，则k的值是　 　　．

【分析】过点D作y轴的垂线于点E，交过点A作x轴的垂线于点F，可得△BED∽△DFA，所以BE：DF＝DE：AF＝BD：DA，由折叠可知，∠ADB＝∠AOB＝90°，OA＝AD＝2，OB＝BD＝1，所以BE：DF＝DE：AF＝BD：AD＝1：2．设BE＝a，则DF＝2a，所以AF＝1+a，DE＝AF＝（1+a），所以（1+a）+2a＝2，解得a＝．所以D（，），所以k＝．
【解答】解：如图，过点D作y轴的垂线于点E，交过点A作x轴的垂线于点F，

∴∠F＝∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠EBD＝∠ADF+∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝∠ADF，
∴△BED∽△DFA，
∴BE：DF＝DE：AF＝BD：DA，
由折叠可知，∠ADB＝∠AOB＝90°，OA＝AD＝2，OB＝BD＝1，
∴BE：DF＝DE：AF＝BD：AD＝1：2，
设BE＝a，则DF＝2a，
∴AF＝1+a，
∴DE＝AF＝（1+a），
∴（1+a）+2a＝2，解得a＝．
∴D（，），
∴k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数点的坐标特征，翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质与判定，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上且BE＝3，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于点H．若BH＝2，则AM＝　　．

【分析】由“AAS”可证△ABE≌△EGF，可得BE＝FG，AB＝EG，可证NF＝FG＝3，通过证明△ABE∽△EBH，可求AB的长，由勾股定理可求AE，AF的，即可求解．
【解答】解：过点F作FN⊥CD于N，

∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，AF＝AE，
又∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠GEF＝∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE＝∠EGF＝90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS）；
∴BE＝FG，AB＝EG，
∵AB＝BC，
∴BC＝EG，
∴BE＝CG，
∴FG＝CG，
∵∠AEH＝∠ABE＝∠EBH＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠BEH＝90°，
∴∠BEH＝∠EAB，
∴△ABE∽△EBH，
∴，
∴EB2＝AB•BH，
∴9＝2•AB，
∴AB＝，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝AF＝，
∵∠G＝∠DCG＝∠FNC＝90°，
∴四边形CGFN是矩形，
∵FG＝CG，
∴四边形CGFN是正方形，
∴FN＝FG＝3，
∵FN∥AD，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，求出AF的长是解题的关键．
三．解答题（共7小题，共55分）
16．（5分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3×+﹣1﹣1
＝4﹣+﹣1﹣1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣1），然后从﹣2、2、﹣3、3中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的加减运算、乘除运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件可求出x的值，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝﹣÷
＝﹣•
＝﹣，
根据分式有意义的条件可知：x不能取3，﹣3，
当x＝2时，
原式＝﹣
＝﹣．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b

（1）n的值为 　60　，a的值为 　6　，b的值为 　12　．
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 　144　°．
（3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
（4）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“C”所占的比例即可；
（3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，6，12；
（2）补全频数分布直方图如下：

扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：800×＝480（人）；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为＝．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△OBE的面积为 　　．

【分析】（1）先证CD＝AD，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由AB＝AD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝1，则OA＝3，再证△AOB∽△AEC，得EA＝，则BE＝，过O作OP⊥AE于P，然后由面积法得OP＝，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝1，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°＝∠AOB，
又∵∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴＝，
即＝，
解得：EA＝，
∴BE＝EA﹣AB＝﹣＝，
过O作OP⊥AE于P，
则OP＝＝＝，
∴△OBE的面积＝××＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）五月的第二个星期日是母亲节，母亲们在这一天通常会收到礼物，康乃馨被视为献给母亲的花，某花店在母亲节前夕用3000元购进一批康乃馨，在母亲节当天供不应求，又马上用6000元加急购进一批康乃馨，第二批康乃馨数量是第一批的1.2倍，单价比第一批贵2元．
（1）第一批康乃馨进货单价多少元？
（2）若两次购进康乃馨按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？
【分析】（1）设第一批康乃馨进货单价为x元，则第二批康乃馨进货单价为（x+2）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批购进的数量是第一批的1.2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为y元，利用销售利润＝销售总价﹣进货总价，结合获利不少于4200元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批康乃馨进货单价为x元，则第二批康乃馨进货单价为（x+2）元，
依题意得：＝×1.2，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．
答：第一批康乃馨进货单价为3元．
（2）设销售单价为y元，
依题意得：（+）y﹣3000﹣6000≥4200，
解得：y≥6．
答：销售单价至少为6元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，且点D为（4，3）．
（1）求抛物线及直线l的函数关系式；
（2）点F为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△AFG为等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；
（3）若点Q是y轴上一点，且∠ADQ＝45°，请直接写出点Q的坐标．

【分析】（1）设抛物线函数关系式为y＝a（x+2）（x﹣6），将点D（4，3）代入可求二次函数的解析式；再由待定系数法求直线解析式即可；
（2）由题知，点F（2，4），设G（2，y），分三种情况讨论：①当点A为顶点，AF为腰时，AF＝AG，此时G（2，﹣4）；②当点F为顶点，AF为腰时，FA＝FG，此时G（2，4+4）或（2，4﹣4）；③当点G为顶点，AF为底时，GA＝GF，此时G（2，0）；
（3）分两种情况讨论：①当Q点在y轴正半轴上时，过点D作DF⊥y轴交于F点，取点M（0，2），连接AM，过点E作EK⊥AM交于点K，可得∠QDF＝∠MAE，再求出KM＝KE＝，AK＝，可求tan∠KAE＝tan∠QDF＝＝，从而可求QF＝，则Q（0，）；②当Q点在y轴负半轴上时，过点D作DH⊥x轴交于点H，可得∠MAE＝∠QDH，由tan∠QDH＝＝，求出PH＝1，则OP＝3，再求出∠OQP＝∠PDH，由tan∠OQP＝＝，可求OQ＝9，从而得到Q（0，﹣9）．
【解答】解：（1）设抛物线函数关系式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将点D（4，3）代入得，
a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+3；
设直线l的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1；
（2）存在点G，使△AFG为等腰三角形，理由如下：
由题知，点F（2，4），
∴，
设G（2，y），
∴AG＝，
当点A为顶点，AF为腰时，AF＝AG，
∴4＝，
∴y＝±4，
此时G（2，﹣4），
当点F为顶点，AF为腰时，FA＝FG，
∴4＝|4﹣y|，
∴y＝4﹣4或y＝4+4，
此时，
当点G为顶点，AF为底时，GA＝GF，
∴，
解得y＝0，
∴G（2，0），
综上所述：；
（3）如图1，当Q点在y轴正半轴上时，
过点D作DF⊥y轴交于F点，取点M（0，2），连接AM，过点E作EK⊥AM交于点K，
∵DF∥AO，
∴∠FDA＝∠EAO，
∵OM＝OA，
∴∠MAO＝45°，
∵∠ADQ＝45°，
∴∠QDF＝∠MAE，
∵ME＝1，
∴KM＝KE＝，
∵OM＝OA＝2，
∴AM＝2，
∴AK＝，
∴tan∠KAE＝＝＝，
∴tan∠QDF＝＝＝，
∴QF＝，
∴OQ＝+3＝，
∴Q（0，）；
如图2，当Q点在y轴负半轴上时，
过点D作DH⊥x轴交于点H，
∵∠ADQ＝45°，
∴∠FDA+∠QDH＝45°，
∵∠FDE＝∠EAO，
∴∠MAE＝∠QDH，
∴tan∠QDH＝＝＝，
∴PH＝1，
∴OP＝3，
∵∠PDH+∠DPH＝90°，∠OPQ+∠OQP＝90°，∠OPQ＝∠DPH，
∴∠OQP＝∠PDH，
∴tan∠OQP＝＝＝，
∴OQ＝9，
∴Q（0，﹣9）；
综上所述：Q点坐标为（0，﹣9）或（0，）．


【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
22．（10分）已知D是等腰直角△ABC所在平面上的任意一点，∠BAC＝90°，连接DA并延长到点E，使得AE＝DA．连接BD，CD，以DB，DC为邻边作平行四边形DBFC，连接EF．
（1）如图1，当点D在△ABC的直角角平分线上时，EF与BC的位置关系为 　EF⊥BC　，数量关系为 　EF＝BC　；
（2）如图2，当点D不在∠BAC的平分线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
（3）将AD绕点A逆时针旋转，当∠ACD＝15°，∠BFC＝90°时，请直接写出的值．

【分析】（1）设EF交BC于点G，由AB＝AC，AF平分∠BAC得EF⊥BC，因为四边形DBFC是平行四边形，所以FG＝DG，而AE＝DA，可得EF＝2AG＝BC；
（2）EF⊥BC，EF＝BC仍然成立，设EF交BC于点H，连接DF交BC于点G，连接AG，则FG＝DG，AE＝DA，根据三角形中位线定理可得AG∥EF，AG＝EF，而AG⊥BC，AG＝BC，于是得EF⊥BC，EF＝BC；
（3）分两种情况，一是点D与点B在直线AC的异侧，则∠BCD＝45°+15°＝60°，由四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°得∠BDC＝90°，于是可求得DC＝BC，AB＝BC，可求得＝；二是点D与点B在直线AC的同侧，则∠BCD＝45°﹣15°＝30°，于是可求得DC＝BC，AB＝BC，可求得＝．
【解答】（1）解：如图1，EF交BC于点G，
∵AB＝AC，AF平分∠BAC，
∴EF⊥BC，
∵∠BAC＝90°，
∴AG＝BC＝BG＝CG，
∵四边形DBFC是平行四边形，
∴FG＝DG，
∵AE＝DA，
∴EF＝AG+AE+FG＝AG+DA+DG＝AG+AG＝BC+BC＝BC，
故答案为：EF⊥BC，EF＝BC．
（2）解：成立，
证明：如图2，EF交BC于点H，连接DF交BC于点G，连接AG，
∵四边形DBFC是平行四边形，
∴GF＝DG，BG＝CG，
∵AB＝AC，
∴AG⊥BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AG＝BC，
∴AE＝DA，
∴AG∥EF，AG＝EF，
∴∠EHB＝∠AGB＝90°，EF＝BC，
∴EF⊥BC，EF＝BC．
（3）解：如图3，点D与点B在直线AC的异侧，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝45°+15°＝60°，
∵四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC＝90°，
∴DC＝BC•cos∠BCD＝BC•cos60°＝BC，
∵AB＝BC•cos∠ABC＝BC•cos45°＝BC，
∴＝＝；
如图4，点D与点B在直线AC的同侧，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝45°﹣15°＝30°，
∵四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC＝90°，
∴DC＝BC•cos∠BCD＝BC•cos30°＝BC，
∵AB＝BC•cos∠ABC＝BC•cos45°＝BC，
∴＝＝，
综上所述，的值为或．




【点评】此题考查等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行线的性质、锐角三角函数、解直角三角形、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题