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2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷（含答案）
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这是一份2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为（ ）
A．0.393×107米 B．3.93×106米
C．3.93×105米 D．39.3×104米
4．（2分）下列算式的计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．（a2）3 C．a3+a3 D．a6÷a
5．（2分）AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠BAC＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．175° B．35° C．55° D．70°
6．（2分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
7．（2分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，若OB＝2，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2分）一次函数y＝7x﹣6的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为2
10．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝3，则弧BC的长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝ ．
12．（3分）不等式组，的解集是 ．
13．（3分）计算：的结果为 ．
14．（3分）如图，点M为双曲线y＝上一点，MP⊥x轴于点B，且S△MOP＝，则k值为 ．
15．（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形ABCD面积的最大值是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为AD的中点，F，G分别是边AB，CD上的动点，且AF＝CG，连接CE，FG交于点O，若∠EOF＝45°，则＝ ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2tan60°+（）﹣1﹣+（π﹣4）0．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 ．
19．（8分）深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．
（1）张红选择A安全检查口通过的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）我校九年级163班所有学生参加体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）九年级163班参加体育测试的学生共有多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数；
（4）若规定达到A、B级为优秀，我校九年级共有学生850人，估计参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？
21．（8分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 ．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴，x轴分别交于点A和点B，点E在直线AB上．将线段AO沿OE翻折，使点A落在线段AB上的点D处；再将线段OB沿OF翻折，使点B落在OD的延长线上的点B'处，两条折痕与线段AB分别交于点E、F．
（1）分别求出点A和点B的坐标；
（2）请直接写出线段B'F的长度为 ；
（3）若点P坐标为（﹣4，n），且△ABP的面积为8，则n＝ ．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）在图（a）中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝∠B＝60°．求证：BD•CD＝AB•CE．
（2）在图（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于点F，若CD＝2BD，求的值．
（3）在图（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于点E，若AD＝2，CE＝，请直接写出BE的长度．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义解决此题．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣的相反数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看共有两层，底层靠左边是2个小正方形，上层有3个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（2分）2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为（ ）
A．0.393×107米 B．3.93×106米
C．3.93×105米 D．39.3×104米
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：393000米＝3.93×105米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（2分）下列算式的计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．（a2）3 C．a3+a3 D．a6÷a
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项符合题意；
C．a3+a3＝2a3，故此选项不合题意；
D．a6÷a＝a5，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2分）AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠BAC＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．175° B．35° C．55° D．70°
【分析】根据角平分线的性质得出∠FAC度数，再利用平行线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝70°，AF平分∠BAC，
∴∠FAC＝∠BAC＝35°，
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠FAC＝35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和平行线的性质．
6．（2分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
【分析】根据中位数、众数的意义即可求出答案．
【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7；
将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8，
故选：A．
【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提．
7．（2分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，若OB＝2，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵＝（）2＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴EO＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2分）一次函数y＝7x﹣6的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝7x﹣6，k＝7，b＝﹣6，
∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为2
【分析】根据抽查、普查的意义对选项A、B做出判断；通过求方差对D做出判断，利用必然事件的意义对学校C做出判断．
【解答】解：书稿中不能有错别字，因此应采取普查的方式，不能进行抽样调查，因此选项A不正确；
了解春节联欢晚会的收视率，可以选择抽查的方式，普查有时没有必要且不易做到，因此选项B不正确；
经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，是随机事件，因此选项C不正确；
通过计算这组数据的方差，结果是正确的；
故选：D．
【点评】本题考查必然事件、随机事件的意义，理解随机事件发生可能性的大小，普查和抽查的区别与联系，是正确判断的前提．
10．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝3，则弧BC的长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OB、OC，
∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3，
∴OB＝3＝3，
∴的长＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝ a（a﹣1）2 ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（3分）不等式组，的解集是 x＞﹣2 ．
【分析】先解出每一个不等式的解集，再按“大大取大；小小取小；比大小，比小大，中间找；比大大，比小小，无解了”确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞x﹣3得x＞﹣2；
解不等式x+3＞0得x＞﹣3，
则不等式组的解集为：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法及不等式组解集的确定方法，牢记不等式组的解集的确定方法口诀：“大大取大；小小取小；比大小，比小大，中间找；比大大，比小小，无解了”．
13．（3分）计算：的结果为 ．
【分析】根据分式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：
＝
＝﹣
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
14．（3分）如图，点M为双曲线y＝上一点，MP⊥x轴于点B，且S△MOP＝，则k值为 ﹣3 ．
【分析】由k＜0，S△MOP＝求得k的大小．
【解答】解：∵MP⊥x轴，
∴S△MOP＝＝，
∴|k|＝3，
∵函数图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．
15．（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形ABCD面积的最大值是 32m2 ．
【分析】设矩形的宽为xm，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【解答】解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，
根据题意得：S＝x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32，
∴x＝4m时，菜园面积最大，最大面积是32m2．
故答案为：32m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，难度一般，关键在于找出等量关系列出函数解析式，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为AD的中点，F，G分别是边AB，CD上的动点，且AF＝CG，连接CE，FG交于点O，若∠EOF＝45°，则＝ ．
【分析】延长CE交BA的延长线于M，过F作FH⊥CM于点H，过G作GN⊥CM于点N，由矩形的性质及相似三角形的判定与性质可得＝，再根据三角函数得sinM＝＝，cosM＝＝，设AF＝CG＝x，则MF＝AM+AF＝4+x，然后再由三角函数及线段和差得MC的长，最后再次运用相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于M，过F作FH⊥CM于点H，过G作GN⊥CM于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴△CDE∽△FHM，
∴＝，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE＝AD＝BC＝3，
∴AM＝CD＝AB＝4，
∴ME＝＝5，
∴MC＝10，
∴sinM＝＝，cosM＝＝，
设AF＝CG＝x，则MF＝AM+AF＝4+x，
∴FH＝MF•cosM＝（4+x），
∵AB∥CD，
∴∠M＝∠DCE，
∴NC＝x，NG＝x，
∵∠EOF＝45°，∠FHO＝∠GNO＝90°，
∴FH＝OH＝（4+x），ON＝NG＝x，
∴MC＝MH+HO+ON+NC
＝（4+x）+（4+x）+x+x
＝+x
＝10．
解得x＝．
∴CG＝AF＝，
∴FM＝AM+AF＝4+＝，
∵AB∥CD，
∴∠FMO＝∠GCO，∠OGC＝∠OFM，
∴△COG∽△FOM，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形性质、三角函数等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解决此题关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2tan60°+（）﹣1﹣+（π﹣4）0．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2+3﹣2+1
＝4．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的意义，以及二次根式的性质是解答本题的关键．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 ．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，根据BM＝BC，DN＝DC，可得BM＝DN，利用SAS即可证明；
（2）根据菱形的性质可证明△AND∽△ENC，根据相似的性质可求得CE的长度，进而可求ME．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵BM＝BC，DN＝DC，
∴BM＝DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠DAN＝∠CEN，
∵∠AND＝∠CNE，
∴△AND∽△ENC，
∴＝，
∵DN＝DC，
∴＝＝，
∴＝，
∴CE＝，
∵BM＝BC，
∴MC＝BC＝1，
∴ME＝MC+CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到△AND∽△ENC是关键．
19．（8分）深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．
（1）张红选择A安全检查口通过的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有A．B、C三个闸口，
∴张红选择A安全检查口通过的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种，
则她俩选择相同安全检查口通过的概率是
＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）我校九年级163班所有学生参加体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）九年级163班参加体育测试的学生共有多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数；
（4）若规定达到A、B级为优秀，我校九年级共有学生850人，估计参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？
【分析】（1）A等级人数÷A等级百分率＝总人数，求之可得；
（2）根据D等级百分率和总人数可求得D等级的人数，将总人数减去其余各等级人数可得C等级人数，补全条形图；
（3）等级C对应圆心角度数＝等级C占总人数比例×360°，据此计算可得；
（4）将样本中A、B等级所占比例×九年级学生总数可估计人数．
【解答】解：（1）九年级163班参加体育测试的学生共有15÷30%＝50（人）；
（2）D等级的人数为：50×10%＝5（人），C等级人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（人）；
补全统计图如下：
（3）等级C对应的圆心角的度数为：×360°＝72°；
（4）估计达到A级和B级的学生共有：×850＝595（人）．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65诺33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设最小的数为x，
由题意得x（x+8）＝33，
解得x1＝﹣11，x2＝3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x（x+8）＝65，
解得x1＝﹣13（舍去），x2＝5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 ．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠CAD+∠BAC＝90°，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的判定可得CE＝CA＝CD＝5，再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°．
又∵CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
又∵∠ABC＝∠D，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由（1）可得∠ABC+∠BAC＝90°＝∠D+∠DEA，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠DEA，
∴CE＝CA＝CD＝5，
∴DE＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12，
∵∠ACB＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠D，
∴△ABC∽△EDA，
∴＝，
即＝，
解得，AD＝．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴，x轴分别交于点A和点B，点E在直线AB上．将线段AO沿OE翻折，使点A落在线段AB上的点D处；再将线段OB沿OF翻折，使点B落在OD的延长线上的点B'处，两条折痕与线段AB分别交于点E、F．
（1）分别求出点A和点B的坐标；
（2）请直接写出线段B'F的长度为 1.6 ；
（3）若点P坐标为（﹣4，n），且△ABP的面积为8，则n＝ 7或11 ．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征即可求得；
（2）根据对折的性质得出OE⊥AB，∠EOF＝AOB＝45°，B′F＝BF，即可证得△EOF是等腰直角三角形，利用三角形面积公式求得OE，然后根据勾股定理求得AE，从而求得AF，进而根据B′F＝BF＝AB﹣AF即可求得结果；
（3）根据三角形面积求得AQ，从而求得Q的坐标，根据待定系数法即可求得BP的解析式，代入P的横坐标，即可求得n的值．
【解答】解：（1）直线中，令x＝0，则y＝6，
∴A（0，6），
令y＝0，则﹣x+6＝0，解得x＝8，
∴B（8，0）；
（2）∵OA＝6，OB＝8，
∴AB＝＝10，
∵点E在直线AB上．将线段AO沿OE翻折，使点A落在线段AB上的点D处，
∴OE⊥AB，AE＝DE，
∴AB•OE＝OA•OB，
∴OE＝＝＝4.8，
∴AE＝＝3.6，
∵∠AOB＝90°，∠EOD＝∠AOD，∠B′OF＝BOD，
∴∠EOF＝45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF＝OE＝4.8，
∴AF＝AE+EF＝3.6+4.8＝8.4，
∴B′F＝BF＝10﹣8.4＝1.6，
故答案为1.6．
（3）设直线PB与y轴的交点为Q，
∵△ABP的面积为8，
∴S△ABP＝S△APQ+S△ABQ＝8，
∵点P坐标为（﹣4，n），
∴AQ•|xP|+AQ•OB＝8，即AQ•4+AQ×8＝8，
∴AQ＝，
∴Q（0，）或（0，），
设直线BP为y＝kx+，把B（8，0）代入得，0＝8k+，解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+，
当x＝﹣4时，y＝7，
设直线BP为y＝kx+，把B（8，0）代入得，0＝8k+，解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+，
当x＝﹣4时，y＝11，
∴n＝7或11，
故答案为7或11．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣对称，翻折变换的性质，三角形的面积等，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）在图（a）中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝∠B＝60°．求证：BD•CD＝AB•CE．
（2）在图（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于点F，若CD＝2BD，求的值．
（3）在图（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于点E，若AD＝2，CE＝，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）利用三角形的内角和和平角的定义判断出∠BAD＝∠CDE，进而判断出△ABD∽△DCE，即可得出结论；
（2）设BD＝x，则CD＝2x，AB＝BC＝3x，由（1）知，△ABD∽△DCE，进而判断出AD＝DE，在Rt△DFE中，用含30度角的直角三角形的性质得出DF＝DE，即可求出答案；
（3）作∠BCG＝∠ABD，CG边交BE于G，判断出△ABD∽△BCG，得出，再借助BC＝AB，求出BG＝4，再判断出△CEG∽△BEC，得出，即可求出BE的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴BD•CD＝AB•CE；
（2）解：设BC＝x，
∵CD＝2BD，
∴CD＝2x，
∴BC＝BD+CD＝3x，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝3x，
由（1）知，△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴＝＝，
∴AD＝DE，
∵EF⊥AD，
∴∠DFE＝90°，
在Rt△DFE中，∠DEF＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴DF＝DE，
∴AF＝AD﹣DF＝DE﹣DE＝DE，
∴＝＝2；
（3）如图（c），
作∠BCG＝∠ABD，CG边交BE于G，
在△ABD中，∠ADB＝45°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB＝135°，
∵∠ABD+∠CBG＝180°﹣∠ABC＝135°，
∴∠BAD＝∠CBG，
∴△ABD∽△BCG，
∴，
在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵AD＝2，
∴，
∴BG＝4，
∵△ABD∽△BCG，
∴∠BGC＝ADB＝45°，
∴∠CGE＝135°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝135°＝∠CGE，
∵∠CEG＝∠BEC，
∴△CEG∽△BEC，
∴，
∵CE＝，EG＝BE﹣BG＝BE﹣4，
∴，
∴BE＝5．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，，
解得
∴y＝﹣x+3，
设D（a，﹣a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
如图1，
M（a，﹣a+3），
DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴＝，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∴DE＝DM
∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是，
（3）存在．假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
∴OF＝，tan∠CFO＝＝2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，
如图2，
①若∠DCE＝∠CFO，
∴tan∠DCE＝＝2，
∴BG＝10，
∵△GBH∽BCO，
∴＝＝，
∴GH＝8，BH＝6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y＝kx+b′，
∴，
解得
∴直线CG的解析式为y＝x+3，
∴，
解得x＝，或x＝0（舍）．
②若∠CDE＝∠CFO，
同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，
∴G（，2），
同理可得，直线CG的解析式为y＝﹣x+3，
∴，
解得x＝或x＝0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标．
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为（ ）
A．0.393×107米 B．3.93×106米
C．3.93×105米 D．39.3×104米
4．（2分）下列算式的计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．（a2）3 C．a3+a3 D．a6÷a
5．（2分）AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠BAC＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．175° B．35° C．55° D．70°
6．（2分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
7．（2分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，若OB＝2，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2分）一次函数y＝7x﹣6的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为2
10．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝3，则弧BC的长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝ ．
12．（3分）不等式组，的解集是 ．
13．（3分）计算：的结果为 ．
14．（3分）如图，点M为双曲线y＝上一点，MP⊥x轴于点B，且S△MOP＝，则k值为 ．
15．（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形ABCD面积的最大值是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为AD的中点，F，G分别是边AB，CD上的动点，且AF＝CG，连接CE，FG交于点O，若∠EOF＝45°，则＝ ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2tan60°+（）﹣1﹣+（π﹣4）0．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 ．
19．（8分）深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．
（1）张红选择A安全检查口通过的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）我校九年级163班所有学生参加体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）九年级163班参加体育测试的学生共有多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数；
（4）若规定达到A、B级为优秀，我校九年级共有学生850人，估计参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？
21．（8分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 ．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴，x轴分别交于点A和点B，点E在直线AB上．将线段AO沿OE翻折，使点A落在线段AB上的点D处；再将线段OB沿OF翻折，使点B落在OD的延长线上的点B'处，两条折痕与线段AB分别交于点E、F．
（1）分别求出点A和点B的坐标；
（2）请直接写出线段B'F的长度为 ；
（3）若点P坐标为（﹣4，n），且△ABP的面积为8，则n＝ ．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）在图（a）中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝∠B＝60°．求证：BD•CD＝AB•CE．
（2）在图（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于点F，若CD＝2BD，求的值．
（3）在图（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于点E，若AD＝2，CE＝，请直接写出BE的长度．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义解决此题．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣的相反数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看共有两层，底层靠左边是2个小正方形，上层有3个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（2分）2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为（ ）
A．0.393×107米 B．3.93×106米
C．3.93×105米 D．39.3×104米
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：393000米＝3.93×105米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（2分）下列算式的计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．（a2）3 C．a3+a3 D．a6÷a
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项符合题意；
C．a3+a3＝2a3，故此选项不合题意；
D．a6÷a＝a5，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2分）AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠BAC＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．175° B．35° C．55° D．70°
【分析】根据角平分线的性质得出∠FAC度数，再利用平行线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝70°，AF平分∠BAC，
∴∠FAC＝∠BAC＝35°，
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠FAC＝35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和平行线的性质．
6．（2分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
【分析】根据中位数、众数的意义即可求出答案．
【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7；
将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8，
故选：A．
【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提．
7．（2分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，若OB＝2，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵＝（）2＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴EO＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2分）一次函数y＝7x﹣6的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝7x﹣6，k＝7，b＝﹣6，
∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为2
【分析】根据抽查、普查的意义对选项A、B做出判断；通过求方差对D做出判断，利用必然事件的意义对学校C做出判断．
【解答】解：书稿中不能有错别字，因此应采取普查的方式，不能进行抽样调查，因此选项A不正确；
了解春节联欢晚会的收视率，可以选择抽查的方式，普查有时没有必要且不易做到，因此选项B不正确；
经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，是随机事件，因此选项C不正确；
通过计算这组数据的方差，结果是正确的；
故选：D．
【点评】本题考查必然事件、随机事件的意义，理解随机事件发生可能性的大小，普查和抽查的区别与联系，是正确判断的前提．
10．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝3，则弧BC的长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OB、OC，
∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3，
∴OB＝3＝3，
∴的长＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝ a（a﹣1）2 ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（3分）不等式组，的解集是 x＞﹣2 ．
【分析】先解出每一个不等式的解集，再按“大大取大；小小取小；比大小，比小大，中间找；比大大，比小小，无解了”确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞x﹣3得x＞﹣2；
解不等式x+3＞0得x＞﹣3，
则不等式组的解集为：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法及不等式组解集的确定方法，牢记不等式组的解集的确定方法口诀：“大大取大；小小取小；比大小，比小大，中间找；比大大，比小小，无解了”．
13．（3分）计算：的结果为 ．
【分析】根据分式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：
＝
＝﹣
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
14．（3分）如图，点M为双曲线y＝上一点，MP⊥x轴于点B，且S△MOP＝，则k值为 ﹣3 ．
【分析】由k＜0，S△MOP＝求得k的大小．
【解答】解：∵MP⊥x轴，
∴S△MOP＝＝，
∴|k|＝3，
∵函数图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．
15．（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形ABCD面积的最大值是 32m2 ．
【分析】设矩形的宽为xm，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【解答】解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，
根据题意得：S＝x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32，
∴x＝4m时，菜园面积最大，最大面积是32m2．
故答案为：32m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，难度一般，关键在于找出等量关系列出函数解析式，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为AD的中点，F，G分别是边AB，CD上的动点，且AF＝CG，连接CE，FG交于点O，若∠EOF＝45°，则＝ ．
【分析】延长CE交BA的延长线于M，过F作FH⊥CM于点H，过G作GN⊥CM于点N，由矩形的性质及相似三角形的判定与性质可得＝，再根据三角函数得sinM＝＝，cosM＝＝，设AF＝CG＝x，则MF＝AM+AF＝4+x，然后再由三角函数及线段和差得MC的长，最后再次运用相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于M，过F作FH⊥CM于点H，过G作GN⊥CM于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴△CDE∽△FHM，
∴＝，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE＝AD＝BC＝3，
∴AM＝CD＝AB＝4，
∴ME＝＝5，
∴MC＝10，
∴sinM＝＝，cosM＝＝，
设AF＝CG＝x，则MF＝AM+AF＝4+x，
∴FH＝MF•cosM＝（4+x），
∵AB∥CD，
∴∠M＝∠DCE，
∴NC＝x，NG＝x，
∵∠EOF＝45°，∠FHO＝∠GNO＝90°，
∴FH＝OH＝（4+x），ON＝NG＝x，
∴MC＝MH+HO+ON+NC
＝（4+x）+（4+x）+x+x
＝+x
＝10．
解得x＝．
∴CG＝AF＝，
∴FM＝AM+AF＝4+＝，
∵AB∥CD，
∴∠FMO＝∠GCO，∠OGC＝∠OFM，
∴△COG∽△FOM，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形性质、三角函数等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解决此题关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2tan60°+（）﹣1﹣+（π﹣4）0．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2+3﹣2+1
＝4．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的意义，以及二次根式的性质是解答本题的关键．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 ．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，根据BM＝BC，DN＝DC，可得BM＝DN，利用SAS即可证明；
（2）根据菱形的性质可证明△AND∽△ENC，根据相似的性质可求得CE的长度，进而可求ME．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵BM＝BC，DN＝DC，
∴BM＝DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠DAN＝∠CEN，
∵∠AND＝∠CNE，
∴△AND∽△ENC，
∴＝，
∵DN＝DC，
∴＝＝，
∴＝，
∴CE＝，
∵BM＝BC，
∴MC＝BC＝1，
∴ME＝MC+CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到△AND∽△ENC是关键．
19．（8分）深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．
（1）张红选择A安全检查口通过的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有A．B、C三个闸口，
∴张红选择A安全检查口通过的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种，
则她俩选择相同安全检查口通过的概率是
＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）我校九年级163班所有学生参加体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）九年级163班参加体育测试的学生共有多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数；
（4）若规定达到A、B级为优秀，我校九年级共有学生850人，估计参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？
【分析】（1）A等级人数÷A等级百分率＝总人数，求之可得；
（2）根据D等级百分率和总人数可求得D等级的人数，将总人数减去其余各等级人数可得C等级人数，补全条形图；
（3）等级C对应圆心角度数＝等级C占总人数比例×360°，据此计算可得；
（4）将样本中A、B等级所占比例×九年级学生总数可估计人数．
【解答】解：（1）九年级163班参加体育测试的学生共有15÷30%＝50（人）；
（2）D等级的人数为：50×10%＝5（人），C等级人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（人）；
补全统计图如下：
（3）等级C对应的圆心角的度数为：×360°＝72°；
（4）估计达到A级和B级的学生共有：×850＝595（人）．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65诺33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设最小的数为x，
由题意得x（x+8）＝33，
解得x1＝﹣11，x2＝3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x（x+8）＝65，
解得x1＝﹣13（舍去），x2＝5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 ．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠CAD+∠BAC＝90°，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的判定可得CE＝CA＝CD＝5，再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°．
又∵CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
又∵∠ABC＝∠D，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由（1）可得∠ABC+∠BAC＝90°＝∠D+∠DEA，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠DEA，
∴CE＝CA＝CD＝5，
∴DE＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12，
∵∠ACB＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠D，
∴△ABC∽△EDA，
∴＝，
即＝，
解得，AD＝．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴，x轴分别交于点A和点B，点E在直线AB上．将线段AO沿OE翻折，使点A落在线段AB上的点D处；再将线段OB沿OF翻折，使点B落在OD的延长线上的点B'处，两条折痕与线段AB分别交于点E、F．
（1）分别求出点A和点B的坐标；
（2）请直接写出线段B'F的长度为 1.6 ；
（3）若点P坐标为（﹣4，n），且△ABP的面积为8，则n＝ 7或11 ．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征即可求得；
（2）根据对折的性质得出OE⊥AB，∠EOF＝AOB＝45°，B′F＝BF，即可证得△EOF是等腰直角三角形，利用三角形面积公式求得OE，然后根据勾股定理求得AE，从而求得AF，进而根据B′F＝BF＝AB﹣AF即可求得结果；
（3）根据三角形面积求得AQ，从而求得Q的坐标，根据待定系数法即可求得BP的解析式，代入P的横坐标，即可求得n的值．
【解答】解：（1）直线中，令x＝0，则y＝6，
∴A（0，6），
令y＝0，则﹣x+6＝0，解得x＝8，
∴B（8，0）；
（2）∵OA＝6，OB＝8，
∴AB＝＝10，
∵点E在直线AB上．将线段AO沿OE翻折，使点A落在线段AB上的点D处，
∴OE⊥AB，AE＝DE，
∴AB•OE＝OA•OB，
∴OE＝＝＝4.8，
∴AE＝＝3.6，
∵∠AOB＝90°，∠EOD＝∠AOD，∠B′OF＝BOD，
∴∠EOF＝45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF＝OE＝4.8，
∴AF＝AE+EF＝3.6+4.8＝8.4，
∴B′F＝BF＝10﹣8.4＝1.6，
故答案为1.6．
（3）设直线PB与y轴的交点为Q，
∵△ABP的面积为8，
∴S△ABP＝S△APQ+S△ABQ＝8，
∵点P坐标为（﹣4，n），
∴AQ•|xP|+AQ•OB＝8，即AQ•4+AQ×8＝8，
∴AQ＝，
∴Q（0，）或（0，），
设直线BP为y＝kx+，把B（8，0）代入得，0＝8k+，解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+，
当x＝﹣4时，y＝7，
设直线BP为y＝kx+，把B（8，0）代入得，0＝8k+，解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+，
当x＝﹣4时，y＝11，
∴n＝7或11，
故答案为7或11．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣对称，翻折变换的性质，三角形的面积等，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）在图（a）中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝∠B＝60°．求证：BD•CD＝AB•CE．
（2）在图（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于点F，若CD＝2BD，求的值．
（3）在图（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于点E，若AD＝2，CE＝，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）利用三角形的内角和和平角的定义判断出∠BAD＝∠CDE，进而判断出△ABD∽△DCE，即可得出结论；
（2）设BD＝x，则CD＝2x，AB＝BC＝3x，由（1）知，△ABD∽△DCE，进而判断出AD＝DE，在Rt△DFE中，用含30度角的直角三角形的性质得出DF＝DE，即可求出答案；
（3）作∠BCG＝∠ABD，CG边交BE于G，判断出△ABD∽△BCG，得出，再借助BC＝AB，求出BG＝4，再判断出△CEG∽△BEC，得出，即可求出BE的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴BD•CD＝AB•CE；
（2）解：设BC＝x，
∵CD＝2BD，
∴CD＝2x，
∴BC＝BD+CD＝3x，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝3x，
由（1）知，△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴＝＝，
∴AD＝DE，
∵EF⊥AD，
∴∠DFE＝90°，
在Rt△DFE中，∠DEF＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴DF＝DE，
∴AF＝AD﹣DF＝DE﹣DE＝DE，
∴＝＝2；
（3）如图（c），
作∠BCG＝∠ABD，CG边交BE于G，
在△ABD中，∠ADB＝45°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB＝135°，
∵∠ABD+∠CBG＝180°﹣∠ABC＝135°，
∴∠BAD＝∠CBG，
∴△ABD∽△BCG，
∴，
在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵AD＝2，
∴，
∴BG＝4，
∵△ABD∽△BCG，
∴∠BGC＝ADB＝45°，
∴∠CGE＝135°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝135°＝∠CGE，
∵∠CEG＝∠BEC，
∴△CEG∽△BEC，
∴，
∵CE＝，EG＝BE﹣BG＝BE﹣4，
∴，
∴BE＝5．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，，
解得
∴y＝﹣x+3，
设D（a，﹣a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
如图1，
M（a，﹣a+3），
DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴＝，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∴DE＝DM
∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是，
（3）存在．假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
∴OF＝，tan∠CFO＝＝2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，
如图2，
①若∠DCE＝∠CFO，
∴tan∠DCE＝＝2，
∴BG＝10，
∵△GBH∽BCO，
∴＝＝，
∴GH＝8，BH＝6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y＝kx+b′，
∴，
解得
∴直线CG的解析式为y＝x+3，
∴，
解得x＝，或x＝0（舍）．
②若∠CDE＝∠CFO，
同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，
∴G（，2），
同理可得，直线CG的解析式为y＝﹣x+3，
∴，
解得x＝或x＝0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标．
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