2022年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A．1B．0C．D．﹣2
2．（3分）可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×103B．1×1011C．1×1014D．100×103
3．（3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．2a+a＝2a2B．a5•a2＝a10C．（a2）3＝a5D．a3÷a＝a2
6．（3分）一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
7．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2+1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+3）2+1
8．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．﹣3≤x＜4B．﹣3≤x＜2C．x≥3D．x＞4
9．（3分）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC＝（）
A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：2
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 （ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）分解因式：2a3﹣8a＝ ．
12．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）．
14．（4分）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2的解的取值范围是 ．
15．（4分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 度．
17．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3+4B．12C．6+3D．6
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（﹣2）2﹣+（﹣1）0+（）﹣1．
19．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
20．（6分）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车，进行了一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗1L的情况下，所行驶的路程（单位：km）进行统计分析，结果如图所示：
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据初步预测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上？
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.5倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
23．（8分）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6．
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，求△PAB周长的最小值．
25．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，请求出t的值．
2022年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A．1B．0C．D．﹣2
【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【解答】解：A．1＞﹣1，故本选项不符合题意；
B．0＞﹣1，故本选项不符合题意；
C．﹣﹣1，故本选项不符合题意；
D．﹣2＜﹣1，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（3分）可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×103B．1×1011C．1×1014D．100×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1000亿＝100000000000＝1×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率＝．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．2a+a＝2a2B．a5•a2＝a10C．（a2）3＝a5D．a3÷a＝a2
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、2a+a＝3a，故A不符合题意；
B、a5•a2＝a7，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、a3÷a＝a2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【分析】根据EF∥BC得出∠FDC＝∠F＝30°，进而得出∠α＝∠FDC+∠C即可．
【解答】解：如图，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠F＝30°，
∴∠α＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据EF∥BC得出∠FDC的度数和三角形外角性质分析．
7．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2+1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+3）2+1
【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是y＝2（x﹣1+2）2+1．即y＝2（x+1）2+1．
故选：B．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
8．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．﹣3≤x＜4B．﹣3≤x＜2C．x≥3D．x＞4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣3，
解不等式＞x﹣1，得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC＝（）
A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：2
【分析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．由FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE可得S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝，由此即可解决问题；
【解答】解：连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：：m＝3：2：1
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 （ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据菱形的性质得到∠DBC＝60°，根据直角三角形的性质得到BH＝BQ＝1+x，过H作HG⊥BC，得到HG＝BH＝+x，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，
∴∠DBC＝60°，
∵BQ＝2+x，QH⊥BD，
∴BH＝BQ＝1+x，
过H作HG⊥BC，
∴HG＝BH＝+x，
∴S＝PB•GH＝x2+x，（0＜x≤2），
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）分解因式：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】分式有意义，分母不等于零，即x﹣1≠0，由此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．
13．（4分）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 y＝x2（答案不唯一） （只要写出一个符合题意的答案即可）．
【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．
【解答】解：y＝x2中开口向上，对称轴为x＝0，
当x＞0时y随着x的增大而增大，
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可．
14．（4分）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2的解的取值范围是 ﹣1≤x＜5 ．
【分析】把a看作已知数求出方程的解得到x的值，由﹣3＜a≤3代入计算即可．
【解答】解：x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，
故答案为：﹣1≤x＜5．
【点评】此题考查了解一元一次等式、一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．（4分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】设BF与CE相交于点H，利用△BCH和△BGF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之间的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，设BF与CE相交于点H，
∵CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CH＝，
∴DH＝CD﹣CH＝2﹣＝，
∵∠A＝120°，
∴AB、GF之间的距离＝（2+3）×＝，
∴阴影部分的面积＝××＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，观察图形把阴影部分的面积分成等底的两个三角形求解是解题的关键．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 18 度．
【分析】连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA，∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC，可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，可得FM＝FD，进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM，
∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°，
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，
∴2x+4x+4x＝180．
∴x＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
17．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3+4B．12C．6+3D．6
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x的正半轴于C，连接CA，CB，此时∠ACB＝∠ADB＝30°满足条件．过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，求出OK，KC，可得结论．
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x的正半轴于C，连接CA，CB，此时∠ACB＝∠ADB＝30°满足条件．
过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，
∵A（0，1），B（0，﹣5），
∴AB＝6，
∵DA＝DB＝AB＝6，DJ⊥AB，
∴AJ＝JB＝3，
∴DJ＝OK＝＝＝3，
∴OJ＝DK＝2，
在Rt△DCK中，CK＝＝＝4，
∴OC＝OK+KC＝3+4，
∴点C的横坐标为3+4，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解直角三角形，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（﹣2）2﹣+（﹣1）0+（）﹣1．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3+1+3
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝＝＝5﹣2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20．（6分）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车，进行了一项油耗抽样实验：即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗1L的情况下，所行驶的路程（单位：km）进行统计分析，结果如图所示：
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据初步预测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上？
【分析】（1）根据C所占的百分比以及频数，即可得到进行该试验的车辆数；
（2）根据B的百分比，计算得到B的频数，进而得到D的频数，据此补全频数分布直方图；
（3）根据C，D，E所占的百分比之和乘上该市这种型号的汽车的总数，即可得到结果．
【解答】解：（1）进行该试验的车辆数为：9÷30%＝30（辆），
（2）B：20%×30＝6（辆），
D：30﹣2﹣6﹣9﹣4＝9（辆），
补全频数分布直方图如下：
（3）900×＝660（辆），
答：该市约有660辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图以及扇形统计图的运用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.5倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
【分析】（1）可设降价后每枝玫瑰的售价是x元，根据等量关系：降价后30元可购买玫瑰的数量＝原来购买玫瑰数量的1.5倍，列出方程求解即可；
（2）可设购进玫瑰y枝，根据不等量关系：购进康乃馨的钱数+购进玫瑰的钱数≤900元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，依题意有
＝×1.5，
解得：x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）设购进玫瑰y枝，依题意有
2（500﹣y）+1.5y≤900，
解得：y≥200．
答：至少购进玫瑰200枝．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；
（2）AE＝AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD＝4，DC＝2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE＝＝1，故AE＝AD﹣ED＝3．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1＝∠3．
又OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴CE＝CB；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，CB＝CE＝，
∴AB＝＝＝5．
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，即＝＝，
∴AD＝4，DC＝2．
在直角△DCE中，DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题时，注意辅助线的作法．
23．（8分）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6．
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．
【分析】（1）设点D坐标为（m，n），由△ODH的面积为6，即可判断mn＝12，得到k的值，由直线解析式求得A的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理求得点D的横坐标，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标；
（2）由同底等高三角形相等得出S△BCD＝S△OCD，即可得出S△EDC＝3S△BCD，从而得到CD•EF＝3×CD•OH，求得EF＝12，进而求得E的横坐标为﹣8，代入y＝﹣x﹣2即可求得坐标．
【解答】解：（1）设点D坐标为（m，n），由题意得OH•DH＝mn＝6，
∴mn＝12，
∵点D在y＝的图象上，
∴k＝mn＝12，
∵直线y＝﹣x﹣2的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∵CD⊥x轴，
∴CH∥y轴，
∴，
∴OH＝AO＝4，
∴点D的横坐标为4．
∵点D在反比例函数y＝的图象上
∴点D坐标为（4，3）；
（2）由（1）知CD∥y轴，
∴S△BCD＝S△OCD，
∵S△BDE＝2S△OCD，
∴S△EDC＝3S△BCD，
过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，
∵S△EDC＝CD•EF，S△BCD＝CD•OH，
∴CD•EF＝3×CD•OH，
∴EF＝3OH＝12．
∴EM＝8，
∴点E的横坐标为﹣8
∵点E在直线y＝﹣x﹣2上，
∴点E的坐标为（﹣8，2）．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数图形上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得点的坐标是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，求△PAB周长的最小值．
【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝AB，∠EAF＝∠ABG＝90°，证出，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE＝90°即可；
（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；
（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN＝AB＝4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA＝PB，PM＝MN＝2，连接EG，则EG∥AB，EG＝AB＝4，证明△AOF∽△GOE，得出＝，证出＝，得出AM＝AE＝，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠EAF＝∠ABG＝90°，
∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．
∴＝，＝，
∴，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF＝∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO＝90°，
∴∠AEF+∠EAO＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴EF⊥AG；
（2）解：成立；理由如下：
根据题意得：＝，
∵＝，
∴，
又∵∠EAF＝∠ABG，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF＝∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO＝90°，
∴∠AEF+∠EAO＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴EF⊥AG；
（3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：
则MN⊥AD，MN＝AB＝4，
∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，
作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，与MN交于点P，此时△PAB的周长最小，
∵PA＝PA′，
∴∠PAA′＝∠PA′A，
∵∠PAB+∠PAA′＝90°，∠PBA+∠PA′A＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴PB＝PA＝PA′，
∵PM∥AB，
∴A′M＝AM，
∴PM＝AB，
∵MN＝AB，
∴PM＝PN＝2，
连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG＝AB＝4，
∴△AOF∽△GOE，
∴＝，
∵MN∥AB，
∴＝，
∴AM＝AE＝×2＝，
由勾股定理得：PA＝＝，
∴△PAB周长的最小值＝2PA+AB＝+4．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．
25．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，请求出t的值．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由AQ∥EF且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ＝EF，分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况找出AQ，EF的长，由AQ＝EF可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）当y＝m时，﹣x2+x＝m，
解得：x1＝4﹣，x2＝4+，
∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），
∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．
∵矩形ABCD为正方形，
∴4+﹣（4﹣）＝m，
解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．
∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），
将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，
∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，
∴t＝﹣t2+t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，
∴8﹣t＝﹣t2+t，
解得：t3＝4（舍去），t4＝6；
③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，
∴8﹣t＝t2﹣t，
解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或2+2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．