高考专题4 第1讲 空间几何体（学生版）

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【要点提炼】
考点一 表面积与体积
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．
2．空间几何体的体积公式
V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)；
V锥＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；
V球＝eq \f(4,3)πR3(R为球的半径)．
【热点突破】
【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq \f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq \r(15)，则该圆锥的侧面积为________．
(2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________．
【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
(2)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为________．
【要点提炼】
考点二 多面体与球
解决多面体与球问题的两种思路
(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．
(2)利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．
【典例】2 (1)已知三棱锥P－ABC满足平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝4，∠APB＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
【拓展训练】2 (1)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD＝eq \r(5)，ED＝eq \r(3)，若鳖臑P－ADE的外接球的体积为9eq \r(2)π，则阳马P－ABCD的外接球的表面积为________．
专题训练
一、单项选择题
1.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么原△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.eq \f(\r(5)－1,4) B.eq \f(\r(5)－1,2) C.eq \f(\r(5)＋1,4) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )
A．4 500元 B．4 000元 C．2 880元 D．2 380元
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积( )
A．与x，y都有关
B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关
D．与y有关，与x无关
6．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(4π,3) C.eq \f(5π,3) D．2π
7．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π B．48π C．36π D．32π
8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2eq \r(3)，∠BAC＝eq \f(2π,3)，则球O的体积为( )
A.eq \f(32π,3) B．3π C.eq \f(4π,3) D．8π
9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )
A.eq \f(2 000π,9) B.eq \f(4 000π,27)
C．81π D．128π
10．已知在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),2)
二、多项选择题
11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值
12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2eq \r(2)，A1B1＝eq \r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，则下列叙述正确的是( )
A．该四棱台的高为eq \r(3)
B．AA1⊥CC1
C．该四棱台的表面积为26
D．该四棱台外接球的表面积为16π
三、填空题
13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
15．已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为________．
16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，eq \r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．