高考专题2 第3讲 三角恒等变换与解三角形（教师版）

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第3讲　 三角恒等变换与解三角形
【要点提炼】
考点一　三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化．
【热点突破】
【典例】1　(1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　 B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
【方法总结】
　(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
【拓展训练】1　(1)已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　)
A．α＋β＝ B．α－β＝
C．α＋β＝ D．α＋2β＝
【答案】　B
【解析】　tan α＝＝
＝
＝＝＝tan，
因为α∈，β∈，
所以α＝＋β，即α－β＝.
(2)(tan 10°－)·＝________.
【答案】　－2
【解析】　(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)·＝·＝·＝－＝－2.


【要点提炼】
考点二　正弦定理、余弦定理
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
【热点突破】
考向1　求解三角形中的角、边
【典例】2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4，求a的值．
解　(1)由正弦定理及＝c，
得＝sin C，
∵sin C≠0，∴sin A＝(1－cos A)，
∴sin A＋cos A＝2sin＝，
∴sin＝，
又0 ∴A＋＝，∴A＝.
(2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝4，∴bc＝16.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3bc，
又b＋c＝10，∴a2＝102－3×16＝52，∴a＝2.



考向2　求解三角形中的最值与范围问题
【典例】3　(2020·新高考测评联盟联考)在：①a＝csin A－acos C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，而且________．
(1)求角C；
(2)求△ABC周长的最大值．
解　(1)选①：因为a＝csin A－acos C，
所以sin A＝sin Csin A－sin Acos C，
因为sin A≠0，所以sin C－cos C＝1，
即sin＝，
因为0 所以C－＝，即C＝.
选②：因为(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C，
所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝，
因为0 (2)由(1)可知，C＝，
在△ABC中，由余弦定理得
a2＋b2－2abcos C＝3，即a2＋b2－ab＝3，
所以(a＋b)2－3＝3ab≤，
所以a＋b≤2，当且仅当a＝b时等号成立，
所以a＋b＋c≤3，即△ABC周长的最大值为3.
【方法总结】　(1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．
(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
【拓展训练】2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A．4π B．2π C．π D.
【答案】　D
【解析】　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1，
所以b2＋c2－1＝2bccos A，
又S＝bcsin A,4S＝b2＋c2－1，
所以4×bcsin A＝2bccos A，
即sin A＝cos A，所以A＝，
由正弦定理得，＝2R，得R＝，
所以△ABC外接圆的面积为.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(1,3) C．(0,1] D．(1,2]
【答案】　B
【解析】　A＝3B⇒＝＝＝＝＝2cos2B＋cos 2B＝2cos 2B＋1，即＝＝2cos 2B＋1，
又A＋B∈(0，π)，即4B∈(0，π)⇒2B∈⇒cos 2B∈(0,1)，∴∈(1,3)．
(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan C＝，a＝b＝，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________.
【答案】　　
【解析】　因为tan C＝，所以sin C＝，cos C＝，
又a＝b＝，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝13＋13－2×××＝16，所以c＝4.
由＝，得＝，
解得sin∠BAC＝.
因为BC边上的中点为D，所以CD＝，
所以在△ACD中，AD2＝b2＋2－2×b××cos C＝，所以AD＝.
专题训练
一、单项选择题
1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，
所以cos B＝＝＝.
2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋
sincos ＋cossin 
＝2sincos ＝sin＝1.
所以sin＝.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，＝1，B＝，则a的值为(　　)
A.－1 B．2＋2
C．2－2 D.＋
【答案】　D
【解析】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，＝1，
所以＝1，所以tan C＝1，C＝.
因为B＝，所以A＝π－B－C＝，
所以sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝.
由正弦定理可得＝，则a＝＋.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)
A．1＋ B．2＋
C．4＋ D．5＋
【答案】　D
【解析】　在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C，
则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，
∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，
由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，
即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，
∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
5．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)
A. B.
C.或 D.或
【答案】　A
【解析】　因为α，β都是锐角，且cos α＝<，
所以<α<，
又sin(α＋β)＝，而<<，
所以<α＋β<，
所以cos(α＋β)＝－＝－，
又sin α＝＝，
所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝.
6．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为(　　)
A．3 B. C．3 D.
【答案】　B
【解析】　因为A＝120°，a＝1，所以由正弦定理可得
＝＝＝＝，
所以b＝sin B，c＝sin C，
故2b＋3c＝sin B＋2sin C
＝sin＋2sin C
＝sin C＋2cos C＝sin(C＋φ)．
其中sin φ＝，cos φ＝，
所以2b＋3c的最大值为.
二、多项选择题
7．(2020·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　)
A．cos C＝ B．sin B＝
C．a＝3 D．S△ABC＝
【答案】　AD
【解析】　因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理＝，得＝，即＝，所以cos C＝，故A正确；因为cos C＝，所以sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，故B错误；因为cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝－，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，则cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(2)2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝，故D正确．
8．已知0<θ<，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有(　　)
A. B. C. D.
【答案】　AD
【解析】　∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，
∴m2＋n2＝1，∴＝，
∴tan＝＝
＝＝＝＝.
三、填空题
9．(2020·保定模拟)已知tan＝，则＝________.
【答案】　－
【解析】　因为tan＝，所以＝，
即＝，解得tan α＝－，
所以＝＝tan α－＝－.
10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且＝，则A＝________.
【答案】　
【解析】　由正弦定理＝＝，
得＝，
整理得b2－a2＝2acsin B－c2，
即b2＋c2－a2＝2acsin B＝2bcsin A，
由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，
∴2bccos A＝2bcsin A，即cos A＝sin A，
∴tan A＝1，∴A＝.
11．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.

【答案】　－
【解析】　在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝，∴BD＝，∴FB＝BD＝.
在△ACE中，∵AE＝AD＝，AC＝1，∠CAE＝30°，
∴EC＝＝1，
∴CF＝CE＝1.
又∵BC＝＝＝2，
∴在△FCB中，由余弦定理得
cos∠FCB＝＝＝－.
12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为________．
【答案】　
【解析】　由题意知，4a2＝b2＋2c2⇒b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accos B，
整理，得2accos B＝－3a2＋3c2⇒cos B＝，
因为2＝2＝2＝，
代入cos B＝，整理得
2＝－，
令t＝，则2＝－(9t2－22t＋9)
＝－2＋，
所以2≤，所以≤，故的最大值为.
四、解答题
13．(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解　(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．②
由①②得cos A＝－.
因为0 (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B
＝3＋2sin.
又0 所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
14．(2020·重庆模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；
条件②：cos B＝.
解　(1)在△ABC中，由余弦定理知，
b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2b2＝2bccos A(1－tan A)，
所以b＝c(cos A－sin A)，
又由正弦定理知，＝，
得sin B＝sin C(cos A－sin A)，
所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)，
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A－sin Csin A，
所以sin Acos C＝－sin Csin A，
因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C，
所以tan C＝－1，
又因为0 (2)选择条件②，cos B＝，
因为cos B＝，且0 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B
＝×＋×＝，
由正弦定理知＝，
所以a＝＝＝2，
在△ABD中，由余弦定理知
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B
＝(2)2＋()2－2×2××＝26，
所以AD＝.
(【答案】不唯一)