高考专题2 培优点8 向量共线定理的应用（学生版）

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向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
【典例】1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(A B,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
(2)在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
【典例】2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝eq \f(1,2)EC，AE与BD交于点O，则eq \(AO,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→))
C.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))
(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．
【方法总结】
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．
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1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，则(x，y)等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,2)))
2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(15,2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n均为正实数)，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________．