数学5.1 二次函数课文配套课件ppt

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用待定系数法求二次函数的表达式.
新知 用待定系数法求二次函数的表达式
1. 常见的二次函数表达式的适用条件(1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线上三点的坐标时，设此二次函数的表达式为y=ax2+bx+c；
(2)顶点式y=a(x－h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时，可设此二次函数的表达式为y=a(x－h)2+k；(3)交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设此二次函数的表达式为y=a(x－x1)(x－x2).
2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式，如y=ax2+bx+c或y=a(x－h)2+k 或y=a(x－x1)(x－x2)，其中a≠0；(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程(组)；(3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值；(4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式.
技巧提醒：特殊位置抛物线的表达式的设法技巧：①顶点在原点， 可设为y=ax2；②对称轴是y轴或顶点在y轴上， 可设为y=ax2+k；③顶点在x轴上， 可设为y=a(x＋h)2；④抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.
已知二次函数的图像经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)，试确定此二次函数的表达式.
解题秘方：已知二次函数图像上三点的坐标，即可用待定系数法求出二次函数的表达式.
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.∵二次函数的图像经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)，∴∴ y=－x2－2x+3.
解法提醒：运用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求函数表达式时，先将坐标代入函数表达式，列出方程组，再解方程组，解这类方程组的基本方法是加减消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，一般先消去c，得到关于字母a、b的二元一次方程组，再解方程组即可.
特别提醒：①已知顶点坐标、对称轴、最大值或最小值，求二次函数表达式时，一般用顶点式y＝a(x+h)2+k(a≠0)较方便；②运用顶点式求二次函数表达式时一般将顶点坐标作为已知量直接设出函数表达式，再将另外一个已知点的坐标代入列方程求解．
已知抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，且它与y轴的交点坐标为(0，5)，求其所对应的函数表达式．
错解一：因为顶点坐标为(－2，－3)，所以可设其所对应的函数表达式为y＝a(x－2)2－3，把点(0，5)的坐标代入得a=2． 所以y=2(x－2)2－3．
错解二：因为顶点坐标为(－2，－3)，所以可设其所对应的函数表达式为y=a(x－2)2＋3，把点(0，5)的坐标代入得a= . 所以y= (x－2)2+3.
错解分析：错解一、错解二都因为不能正确设出顶点式而出错，事实上, 由顶点为(－2，－3)可设顶点式是y＝ a(x＋ 2)2－3．
解题秘方：紧扣抛物线顶点式y=a(x+h)2+k(a ≠ 0)，顶点坐标为(－h，k)，设出表达式求解.
正确解法：设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x＋ 2)2－3，因为抛物线过点(0，5)，所以5＝a(0 ＋ 2)2 －3, 所以a＝ 2. 所以y＝2(x＋2)2－ 3．
[三模·广州] 如果抛物线经过点A(2，0)和B(－ 1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝ 2，则这条抛物线的表达式是( )A. y＝ x2－x－2 B . y＝－x2－x－2 或y＝x2+x+2C . y＝－x2+x+2 D . y＝x2－x－2 或y ＝－x2+x+2
解题秘方：紧扣抛物线与x轴的交点坐标，可设出交点式y＝ a(x－x1)·(x－x2)，再将点C的坐标代入求解．
解：设所求抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠ 0)．∵抛物线经过点A(2，0)和B(－ 1，0)，∴ y＝ a(x－2)(x+1)．又∵OC＝ 2，∴ C点坐标为(0，2)或(0，－ 2)．把C(0，2)的坐标代入y＝ a(x－2)(x+1)，得a×(－ 2)×1 ＝ 2．
解得a＝－ 1，此时抛物线的表达式为y＝－(x－ 2)(x+1)，即y ＝－ x2+x+2；把C(0，－2)的坐标代入y ＝ a(x－2)(x+1)，得a×(－ 2)×1 ＝－ 2，解得a＝ 1，此时抛物线的表达式为y＝(x－2)(x+1)，即y＝x2 －x －2．∴抛物线的表达式为y ＝－ x2+x+2 或y＝x2－x－ 2．
另解：(一般式)设所求抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a ≠ 0)．∵OC＝2，∴C点坐标为(0，2)或(0，－2)．当抛物线经过A(2，0)、B(－ 1，0)和C(0，2)时，∴ y=－x2+x+2.
当抛物线经过A(2，0)、B(－1，0)和C(0，－2)时，∴ y=x2－x－2 .∴抛物线的表达式为y＝－x2+x+2或y＝x2－x－2．