2022届高考数学精创预测卷 全国甲卷 理科（含答案）

2022届高考数学精创预测卷

全国甲卷 理科

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.若复数z满足，则为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.关于统计数据的分析，有以下几个结论：

①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；

②绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距；

③一组数据的方差一定是正数；

④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在的汽车大约是60辆.

则这四个结论中错误的个数是(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

4.一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（精确到0.1，已知，）(   )

A.5.2年 B.6.6年 C.7.1年 D.8.3年

5.已知F是双曲线的右焦点，点，连接AF与渐近线交于点M，，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(   )

A.  B.

C.  D.

7.数列的前n项和为，且，，则“”是“数列为等差数列”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

8.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(   )

A.海里 B.海里 C.海里 D.40海里

9.已知，则等于(   )

A. B. C. D.

10.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，若每个村的小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村的小学的概率为(   )

A. B. C. D.

11.已知正方体的表面积为24，则四棱锥的体积为(   )

A. B. C. D.

12.已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则(   )

A. B.

C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数，则函数在点处的切线方程为_____________.

14.已知向量，若，则向量与的夹角为_______.

15.已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则____________.

16.若函数的部分图像如图所示，则函数在上的单调递增区间为_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. （12分）2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都在内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间的频率依次构成等差数列.

若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.

(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；

(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？

附：，其中.

18. （12分）已知数列，，满足，，，为数列的前n项和，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.

19. （12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，为BC的中点，.

(1)证明：平面ABCD；

(2)若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角的余弦值.

20. （12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.

(1)求抛物线C的方程；

(2)点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.

21. （12分）已知函数（为自然对数的底数）.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：D

解析：由，得，解得，，又，，故选D.

2.答案：B

解析：，

复数，，故选B.

3.答案：B

解析：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，正确.因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小.

对于②，错误.因为频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率.

对于③，错误.因为根据方差的计算公式得出方差是非负数.

对于④，根据频率分布直方图得，时速在的汽车大约是（辆），所以正确.

综上，错误的结论是②③，共2个.故选B.

4.答案：B

解析：设这种放射性元素的半衰期是x年，则，化简得，即（年）.故选B.

5.答案：A

解析：由已知得，，，，，，（舍负），故选A.

6.答案：B

解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为矩形(长为4、宽为2)，高为4的四棱锥，

其中一个侧面与底面垂直，所以该几何体的表面积，故选B.

7.答案：A

解析：因为，，所以，即，所以，，所以无论a为何值，数列都为等差数列.所以“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A.

8.答案：A

解析：在中，，，所以.由正弦定理可得，解得.在中，，所以.在中，由余弦定理可得，解得（海里）.所以A，B两处岛屿间的距离为海里.

9.答案：D

解析：由得，

所以

，故选D.

10.答案：C

解析：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，每个村的小学至少分配1名大学生，基本事件总个数，小明恰好分配到甲村的小学包含的基本事件个数，所以小明恰好分配到甲村的小学的概率.故选C.

11.答案：C

解析：设正方体的棱长为a，因其表面积为24，所以，所以.
连接交于点O，则，所以在正方体中，平面，即平面，所以是四棱锥的高，且.
又，所以.故选C.

12.答案：B

解析：由是偶函数，得，即.
由是奇函数，得，即，
所以，则的周期.
由是奇函数，得.
因为在上单调递增，所以，
所以，
即.
故选B.

13.答案：

解析：，，函数在点处的切线斜率，所求的切线方程为，即.

14.答案：

解析：由向量知.又，则，即向量与的夹角为.

15.答案：

解析：设，则

由②得，代入①式得

.

，

，又，

.

16.答案：

解析：由函数的部分图像，可得，，求得.再根据五点作图法可得，，，，.又，，.令，，解得，，故函数的增区间为，.再根据，可得增区间为.

17.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.

又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，则，

解得，

理科学生得分的平均值为(分).

(2)理科学生优秀的人数为，

补全2×2列联表如表所示，

，

有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.

18.解析：(1)由题可知，，
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以.
由得.
(2)由(1)得，
所以.
所以

.

19.解析：(1)证明：易知，
所以，

故，即，
又，，
所以平面PAE，又平面PAE，
所以，又，
所以平面ABCD.
（2）由平面ABCD，得，又，
所以平面PAD，
所以为PC与平面PAD所成的角，则，
在中，，，所以，又，

所以.
以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面PDE的法向量为，
则
取，则，所以，
易知平面PAE的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
 

20.解析：(1)由点在抛物线上可得，，解得.

由抛物线的定义可得，

整理得，解得或(舍去).

故抛物线C的方程为.

(2)由在抛物线C上可得，解得，

所以，直线OE的方程为.

易知，均不为0.

由题意知直线l的斜率存在且大于0，

设直线l的方程为，

联立，得消去y，得.

则，得，

所以，.

由直线OE的方程为，得.

易知直线OB的方程为，故.

数形结合可知，要证，

即证，

即证，即证，

即证，

则，此等式显然成立，所以.

21.解析：（1）函数的定义域为，，

（下面分及讨论导函数的正负）

当时，恒成立，在上单调递增.

当时，令，，

当时，在上恒成立，.

所以恒成立，在上单调递增.

当时，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

，

（等号不恒成立），在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增.

（2）依题意，得，

则即

两式相除得，，设，

则，，，

，，

.

设，则.

设，则，

在上单调递增，此时.

，则在上单调递增.

又，即，而，

，即的最大值为3.

22.解析：(1)直线l的参数方程，消去参数t，得直线l的普通方程为，

由曲线C的极坐标方程，得，

所以曲线C的直角坐标方程为.

(2)直线l的参数方程可写为(t为参数)，代入，

得，设A，B两点的参数为，则.

所以.

23.答案：(1)的解集为

(2)

解析：(1)由题设，，

当时，，可得，

当时，，无解，

当时，，可得.

综上，的解集为.

(2)，

要使的解集不是空集，只需即可，

.