2022届高考数学精创预测卷 全国乙卷 文科（含答案）

2022届高考数学精创预测卷

全国乙卷 文科

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，集合，则(   )

A. B. C. D.

2.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

3.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(   )

A. B. C. D.

4.函数的最小值和最小正周期分别为(   )
A. B. C. D.

5.已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为(   )

A. B.3 C. D.5

6.已知为锐角，且，，则(   )

A. B. C. D.

7.已知任意正方形都有外接圆和内切圆，若向正方形的外接圆中随机掷一粒黄豆，则黄豆恰好落到正方形的内切圆内的概率是(   )

A. B. C. D.

8.函数在区间上的最小值为(   )

A.-2 B.0 C. D.

9.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为(   )

A.   B.

C.   D.

10.《九章算术》是我国古代的一部数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），四边形为矩形，.若和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为(   )

A. B. C. D.

11.已知点是椭圆上的一个动点，，分别为椭圆的左，右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上的一点（不与点P重合），且，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

12.若是函数的极值点，则的极小值为(   )

A.-1 B. C. D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，若，则____________.

14.已知双曲线上一点P，其焦点为，，，则的面积为_______________.

15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知三角形的面积是，且，则的面积是__________.

16.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体所有棱长之和（单位：cm）为_________.
 

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. （12分）随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示(把2015年到2019年分别用编号1到5来表示).

(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；

(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.

附：，.

18. （12分）已知等比数列的前n项和为，且.

(1)求与；

(2)记，求数列的前n项和.

19. （12分）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，底面ABCD，，，且.

（1）在线段AB上是否存在点M，使得平面BCF；

（2）求三棱锥的体积.

20. （12分）已知抛物线的焦点为F，点P是直线上的动点，的最小值为.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB过抛物线的焦点，求直线AB的方程.

21. （12分）已知函数.

(1)求函数的单调区间及极值；

(2)当时，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求C的直角坐标方程和l的极坐标方程；

(2)设点，直线l与C交于A，B两点.求.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

(1)若，求的解集；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：由题意得，则，故选A.

2.答案：B

解析：，其对应的点为，因为复数对应的点在第二象限，所以解得.故选B.

3.答案：B

解析：因为命题“，”是真命题，所以，恒成立，所以，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是.故选B.

4.答案：D

解析：当，取得最小值，且.又其最小正周期的最小值和最小正周期分别为.故选D.

5.答案：B

解析：作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，

根据图象可知当目标函数过点B时取得最大值.

联立，解得，

即点，所以，故选B.

6.答案：A

解析：因为为锐角，所以.

由得，

则.又，

故，故选A.

7.答案：B

解析：设正方形的边长为2，则其内切圆半径，外接圆半径，由几何概型的概率计算公式知，所求概率.故选B.

8.答案：D

解析：由题意，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间上的最小值为.

9.答案：A

解析：若，则等价于，，在上单调递减，有，由上，若，则等价于，由偶函数在上单调递增，则，即得，综上，的解集为.故选：A.

10.答案：D

解析：如图，在平面ABFE中，过F作交AB于G，连接CG，则为异面直线AE与CF所成的角或其补角.设，则.因为，所以四边形AEFG为平行四边形，所以，，，所以，所以，所以，故选D.

11.答案：B

解析：如图，延长，，交于点N，则为等腰三角形，M为的中点，.由图可知，当P在短轴端点时，取得最小值，此时，当P在长轴端点时，取得最大值，此时，但P不能在坐标轴上，故取不到端点值，所以的取值范围为.

12.答案：A

解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.

13.答案：

解析：因为，所以，因为，所以，则.

14.答案：16

解析：设P为双曲线右支上的一点，，.由双曲线方程可得，，，则由双曲线的定义可得.因为，所以，则，解得，所以.

15.答案：

解析：因为，所以，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.

16.答案：

解析：本题考查由三视图还原几何体.由三视图知该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图中三棱锥所示，取F为AC的中点，O为BC的中点，连接SO，OF，SF，则平面ABC.由三视图可知则所以该几何体所有棱长之和为.
 

17.解析：(1)由已知可得，

，

，

，

所以回归方程为.

(2)由(1)知.

又2022年对应的是编号8，

所以2022年我国高新技术专利申请数(万件)，

即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.

18.解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
(2)由(1)可得，

则，
，
两式相减得，
所以

.

19.解析：（1）存在，理由如下：

如图，分别取AB，AF靠近点A的三等分点M，G，连接GE，GM，AE，ME，

则，所以.

又平面BCF，平面BCF，

所以平面BCF.

因为，，，

所以，，

所以四边形ADEG是平行四边形，

所以，

因为，所以.

又平面BCF，平面BCF，

所以平面BCF，

且，所以平面平面BCF，

平面GME，

所以平面BCF.

（2）由题意可知为等边三角形，因为底面ABCD，所以平面平面ADEF，

则点C到平面ADEF的距离，

，

.

20.解析：(1)由题意得，的最小值为.

所以，

解得，

所以抛物线C的方程为.

(2)设，

由(1)知，所以，

则切线PA的方程为，

即；

同理PB的方程为.

将分别代入PA和PB方程可得

对比可知直线AB的方程为，

又直线AB过抛物线的焦点，

所以，解得.

又点P在直线上，

所以，

又，所以，

所以直线AB的方程为.

21.解析：(1)，

当时，，

函数在R上单调递增，

此时，函数既没有极大值也没有极小值；

当时，令，则，

当时，，

函数在上单调递增；

当时，，

函数在上单调递减，

此时函数只有极小值，没有极大值.

(2)证明：当时，，

.

令，

则，

当时，，

，

函数在上单调递增，

，

，

.

22.解析：(1)将代入，

得曲线C的直角坐标方程为.

将(t为参数)消去参数t，

得直线l的普通方程为.

将代入，

得直线l的极坐标方程.

(2)设点A，B对应的参数分别为.

因为，所以.

将(t为参数)代入，

得，

所以.

，

，

所以.

23.解析：(1)由题知，即.

当时，.

当时，，解得，

；

当时，，恒成立，

；

当时，，解得，

，

的解集为.

(2)由，即.

令，

，当且仅当时等号成立，

，，即，

由，得或，

由，得，

实数a的取值范围为.