数学华师大版17.5实践与探索教学设计及反思

导入新课

师：请同学们结合函数的图象回答下列问题：

由于持续高温和连日无雨，某水库的储水量随着时间的增加而减少， 干旱持续的天数t（天）与储水量V （万立方米 ）的关系如图所示：

（1）若干旱持续10天，储水量约为多少？干旱30天呢？

（2）干旱期间平均每天储水量减少约为多少？

（3）若储水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，则干旱多少天后，将发出干旱警报？

观察图象完成问题．

 通过对问题的探究引导学生观察图象，培养学生获得信息的能力．

讲授新课

活动一：

问题：学校有一批复印资料，原来是由甲复印社来承接，按照每100页40元来计费．现乙复印社表示说：若学校先按月付给一定数额的承包费，那么可以按照每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．

师：请同学们结合函数的图象问题下列问题：

（1）乙复印社的每月承包费是多少？

（2）当每月复印多少时，两复印社实际收费相同？

（3）如果每月复印页数在1200页左右，应选择哪个复印社？

师：请同学们分组讨论下列问题：

（1）“收费相同”，在图象上怎样反映出来？

（2）如何在图象上看出复印费的多少？（函数值的大小）？

生：在小组内展开交流，各组推选出代表发表本组的观点．

归纳：作一条x轴的垂线，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低．

活动二：

师：利用幻灯片演示：

二元一次方程 x+y=3 可改写成一次函数y=3-x．以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图象就是 一次函数 y=3-x 的图象．

两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而这两个关系式可以看成关于x、y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解．

师：由此你能想像出用图象法解方程组的一般步骤吗？

生：动手操作，并交流解答过程和结果．

图中的两条直线：y＝2x－5和y＝－x＋1，它们的交点坐标（2，－1）就是方程组的解．

例　利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解．

活动三：

观察函数图象，请根据函数图象回答下列问题：

（1）当x取何值时，2x-5=-x+1?

（2）当x取何值时，2x-5>-x+1?

（3）当x取何值时，2x-5<-x+1?

师：利用幻灯片展示．

生：观察函数的图象，回答问题．

画出函数的图象，根据图象，指出：

（1）x取什么值时，函数值y等于零？

（2）x取什么值时，函数值y始终大于零？

师：请同学们想一想，一元一次方程的解，不等式的解集与函数的图象有什么关系？说说你的想法并和同学讨论交流．

例  函数y＝2x－2和y＝－x－5的图象如图所示，利用图象解不等式：

（1）2x－2＞－x －5 ；

（2）2x－2 ＜－x －5 ．

师：从刚才的例子中我们应该总结一下，我们用到了哪些解决问题的方法？

生：（1）图象法；（2）数形结合法．

师：在观察图形时主要看图形中的哪几个关键地方？

生：（1）两坐标轴的含义； （2）两直线的交点； （3）与坐标轴的交点；（4）图象的高低； （5）直线的倾斜程度．

师：利用函数的图象我们刚才解决了哪几个问题？

生：（1）求方程组的交点坐标；（2）求不等式的解集．

归纳：从“数”的角度来看，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值是0时，对应的x的值就是一元一次方程 kx＋b＝0的解；当一次函数y＝kx＋b的值大于0时，对应部分x的取值的集合，就是不等式 kx＋b＞0的解集；当一次函数y＝kx＋b的值小于0时，对应部分x的取值的集合，就是不等式 kx＋b＜0的解集．

从“形”的角度看，直线 y＝kx＋b（k≠0）与x轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0的解；直线 y＝kx＋b位于x轴上方部分对应的x的值的集合就是不等式 kx＋b＞0的解集；直线 y＝kx＋b位于x轴下方部分对应的x的值的集合就是不等式 kx＋b＜0的解集．

活动四：

小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据：

师：（1）根据表中提供的信息，你能猜想出y与x之间的函数关系式吗?

（2）问43码的鞋相当于多少厘米的鞋?

师：把实践或调查中得到的一些变量的值，通过描点得出函数的近似图象，再根据画出的图象的特征，猜想相应的函数名称，然后利用待定系数法求出函数关系式．

生：动手操作、观察、发现．

师：这个函数是什么函数？

生：一次函数．

师：请同学们根据发现解决问题．

生：完成解答过程．

为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t（℃）变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：

你能否据此求出V和t的函数关系?

师：请同学们在平面直角坐标系中将这些数值所对应的点在坐标系中描出．你们有什么发现？

生：这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系．

生：完成解答．

师：请同学们讨论，如何解决这类问题？

生：讨论．

归纳：我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式．但是现实­生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．

常用的方法是：把实践或调查中得到的一些变量的值，通过描点得出函数的近似图象，再根据画出的图象的特征，猜想相应的函数名称，然后利用待定系数法求出函数关系式．

观察函数图象完成探究问题．

进行讨论交流．

操作，画图，完成例题．

观察函数图象回答问题．

在平面直角坐标系中描点，画图，并猜想，解决问题．

通过实际问题的图象获取信息．

通过对问题的探究，理解函数图象上的特殊点的意义．

理解函数图象交点的意义，能够利用一次函数的图象解二元一次方程组．

解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系，能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．

强化数学建模思想，提高学生应用已有知识、灵活处理问题的能力．

课堂练习

1、画出函数y=2x+6的图象，利用图象：

（1）求方程2x+6=0的解；

（2）求不等式2x+6>0的解；

（3）若−2≤y≤2求x的取值范围．

2、画出函数y＝－x－2的图象，根据图象，指出：（1）x取什么值时，函数值 y等于零？

（2）x取什么值时，函数值 y始终大于零？

拓展提高

3、如图，已知直线l1:y1=2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2:y2=−x−2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．

（1）求△APB的面积；

（2）利用图象求当x取何值时，y1<y2．

中考链接

1、【2019•辽宁】如图，直线y=kx+b(k≠0) 经过点A(−2，4) ，则不等式kx+b>4的解集为（　  ）
    A．x>−2　 B．x<−2    C．x>4　　D．x<4

2、【2019•辽宁】下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x−2y=2的解是（　　）

A．  B．         C．     D．

完成课堂练习．

通过课堂练习的完成使学生掌握所学的知识，并能运用所学的知识解决问题．

课堂小结

1、在观察图形时主要看图形中的哪几个关键地方？

①两坐标轴的含义；②两直线的交点；③与坐标轴的交点；④图象的高低；⑤直线的倾斜程度．

2、利用函数的图象我们刚才解决了哪几个问题？

（1）求方程组的交点坐标；（2）求不等式的解集．

3、“数”用“形”表示，由“形”想到数，数与形合，是我们数学学习中一种很重要的思想方法，这就是数形结合法．

对本节课所学知识进行归纳．

培养学生归纳的能力，加深对知识的理解．

板书

解: 在直角坐标系中分别作出一次函数y=x+5和 ，如下图所示．

因为两条直线的交点坐标是（ - 4，1），所以方程组的解为．

解：（1）设鞋长是x厘米，鞋子的码数是y，那么y与x的函数关系式可能是y=kx+b（k≠0）根据题意，得

，解得．

所以y与x的函数关系式可能是：y=2x-10．

（2）当y=43时，2x-10=43，解得x=26.5．