2021-2022学年湖北省黄冈市部分学校九年级（下）入学数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省黄冈市部分学校九年级（下）入学数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列事件中，是必然事件的是

A. 实心铁球投入水中会沉入水底
B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C. 打开电视，正在播放大国工匠
D. 抛掷一枚硬币，正面向上

2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知点在反比例函数上，轴，垂足为点，且的面积为，则的值为

A.
B.
C.
D.

4. 二次函数的图象的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，将边长为的正方形铁丝框，变形为以为圆心，为半径的扇形忽略铁丝的粗细，则所得的扇形的面积为

A.  B.  C.  D.

8. 平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 将一元二次方程化为二次项系数为“”的一般形式是______．
10. 从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、圆的五张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为______．
11. 双曲线与直线的一个交点横坐标为，则______．
12. 已知和关于原点对称，则______．
13. 已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如表所示：

那么表中的值为______．

14. 如图，在矩形中，是边上的点，经过，，三点的与相切于点若，，则的半径是______．
    
     

15. 如图，圆锥的底面直径，母线，的中点处有一食物，一只小蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为______．
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，与轴相交于、两点，设点、的横坐标分别为、，且若的最小值是，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
    分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
    观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围．

19. 关于的方程有两个实数根，．
    求的取值范围；
    请问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 年教育部出台了关于中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五个方面的管理，简称“五项管理”，这是推进立德树人，促进学生全面发展的重大举措．某班为培养学生的阅读习惯，利用课外时间开展以“走近名著”为主题的读书活动，有名学生喜欢四大名著，其中人记为，喜欢西游记，人记为，喜欢红楼梦，人记为喜欢水浒传，人记为喜欢三国演义．
    如果从这名学生中随机抽取人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好喜欢西游记的概率．
    如果从这名学生中随机抽取人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好人喜欢西游记、人喜欢红楼梦的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，．
    求证：为的切线；
    若当点为的中点时，的半径为，求矩形的面积．

22. 某小区发现一名新型冠状病毒无症状感染者，政府决定对该小区所有居民进行核酸检测．从上午：起第分钟等候检测的居民人数为人，且与成二次函数关系如图所示，如果没有开始检测，那么在第分钟时，等候检测的人数会达到最大值人．
    求分钟内，与之间的函数表达式．
    若：起检测人员开始工作，共设两个检测岗，已知每岗每分钟可让检测完毕的个居民离开，问检测开始后，第几分钟等候检测的居民人数最多？最多是多少人？

23. 如图，在矩形中，，，四边形是正方形，与重合，将图中的正方形绕着点逆时针旋转．
    旋转至如图位置，使点落在的延长线上，交于点已知旋转开始时，即图位置，求正方形从图位置旋转至图位置时，旋转角的度数．
    旋转至如图位置，交于点延长交于点，延长交于点试判断、、之间满足的数量关系，并给予证明．

24. 如图，已知关于的二次函数的图象与轴相交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，且，顶点为．
    求出二次函数的关系式；
    点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为若，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
    探索线段上是否存在点，使得为直角三角形？如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：实心铁球投入水中会沉入水底，这是必然事件，故A符合题意；
B.车辆随机到达一个路口，遇到红灯，这是随机事件，故B不符合题意；
C.打开电视，正在播放大国工匠，这是随机事件，故C不符合题意；
D.投掷一枚硬币，正面在上，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

3.【答案】

【解析】

解：点在反比例函数上，轴，且的面积为，
，
或，
，
．
故选：．
根据反比例函数的几何意义，可得，再根据，求出的值．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数的几何意义是解决问题的前提．
 

4.【答案】

【解析】

解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：是半圆的直径，
，
，，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，求出，即可得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

6.【答案】

【解析】

解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：正方形的边长为，
，
即的长是，
扇形的面积是，
故选：．
根据正方形的性质得出，求出的长是，再根据扇形的面积公式求出即可．
本题考查了扇形面积计算和正方形的性质，能知道扇形的面积为扇形的半径，为扇形所对的弧长是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
对称轴为直线，
如图，在抛物线上的两点和，关于直线对称，则点在反直线上，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据题意设在抛物线上的两点和，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得，则，代入解析式，即可求得．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
 

9.【答案】

【解析】

解：将一元二次方程化为二次项系数为“”的一般形式是：．
故答案是：．
通过去括号，移项，合并同类项，然后两边同时除以二次项系数，把方程化成二次项系数为的一元二次方程的一般形式．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，然后同时除以二次项的系数，得到二次项系数是的一元二次方程．
 

10.【答案】

【解析】

解：腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、圆的五张形状、大小相同的卡片中，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形、矩形、圆，
现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．
故答案为：．
等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、圆的五张形状、大小相同的卡片中，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形、矩形、圆，再根据概率公式求解即可．
此题考查了概率公式的应用．注意：概率所求情况数与总情况数之比．
 

11.【答案】

【解析】

解：把代入得，
交点坐标为，
将代入得，
，
故答案为：．
先将代入得，再将交点坐标代入反比例函数解析式求解．
本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式．
 

12.【答案】

【解析】

解：和关于原点对称，
，；
解得；
．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．这样就可以得到关于，的方程，就可以求出，的值．
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．根据对称点坐标之间的关系可以得到方程或方程组问题．
 

13.【答案】

【解析】

解：抛物线经过点，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
抛物线经过，
，
故答案为：．
由表格可得抛物线对称轴，由抛物线对称性求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的对称性，掌握二次函数与方程的关系．
 

14.【答案】

【解析】

解：设与交于点，
连接、、，
则，，
与相切于点，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，
故答案为：．
连接、、，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是切线的性质、勾股定理的应用、矩形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：圆锥的侧面展开图为扇形，点的对应点为，点的对应点为，扇形的圆心角为度，
根据题意得，解得，
则，
而，
为等边三角形，
为的中点，
，
，
蚂蚁走过的最短路线长为．
故答案为．
圆锥的侧面展开图为扇形，点的对应点为，点的对应点为，扇形的圆心角为度，利用弧长公式得到，解得，所以，则为等边三角形，然后利用含度的直角三角形三边的关系计算出即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了最短路径问题．
 

16.【答案】

【解析】

解：点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，
当点的坐标为时，取得最小值，此时的值为，
离对称轴的距离是，
当点的坐标为时，此时的最大值，
故答案为：．
根据题意，可知当点在点的位置时，取得最小值，当点在点时，取得最大值，然后即可得到的最大值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确点在点时取得最大值．
 

17.【答案】

解：，
，
，；
，
，
则或，
解得，．
 

【解析】

利用直接开平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】

解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数为，
在反比例函数图象上，
，
，
把、代入得，
解得，
一次函数的解析式为．

，，
观察图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围或．
 

【解析】

把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出，即可得到反比例函数的解析式，把代入即可求得，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
根据、的横坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
 

19.【答案】

解：关于的方程有两个实数根，
，即，
解得：，
的取值范围为．
假设存在实数，使得成立．
，是关于的方程的两个实数根，
，，
又，即，
整理得：，
解得：，．
又，
，
假设成立，即存在实数，使得成立，此时的值为．
 

【解析】

根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
假设存在，利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，结合的结论可求出值，进而可得出假设成立，即存在实数，使得成立，此时的值为．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
 

20.【答案】

解：如果从这名学生中随机抽取人担任读书活动宣传员，则抽到的学生恰好喜欢西游记的概率为；
把人喜欢西游记记为、，人喜欢红楼梦记为、，人喜欢水浒传记为，人喜欢三国演义记为画树状图如下：

共有种等可能的结果，抽到的学生恰好人喜欢西游记、人喜欢红楼梦的结果由种，
抽到的学生恰好人喜欢西游记、人喜欢红楼梦的概率为．
 

【解析】

直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽到的学生恰好人喜欢西游记、人喜欢红楼梦的结果由种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

证明：连接，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
为的半径
是的切线；
解：在中，点为的中点，
，
，，
，
在中，，
，，
，，
矩形的面积为．
 

【解析】

根据矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半、直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质可得，，利用直角三角形的边角关系求出、利用矩形的面积计算方法进行计算即可．
本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】

解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设分钟内，与的函数解析式为，
将代入得：
，
解得，

，
分钟内，与的函数解析式为；
两个检测岗，每岗每分钟可让检测完毕的个居民离开，
每分钟共可检测人，
第分钟等候检测的居民人数为：


，
当时，有最大值，最大值为．
检测开始后，第分钟等候检测的居民人数最多，为人．
 

【解析】

由题意可知，抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的顶点式为，用待定系数法求解即可．
由题意可得每分钟共可检测人，表示出第分钟等候检测的居民人数，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】

解：由图知，，
如图，连接，

则，
，
，
旋转角为：；
，理由如下：
过点作，交于，

四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
 

【解析】

连接，则，得，从而得出，即可求出旋转角的度数；
过点作，交于，利用证明≌，得，再证四边形是平行四边形，得，从而证明结论．
本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

24.【答案】

解：，
，
，
解得分
二次函数的解析式为；

，

设直线的解析式为，
则有
解得：，
直线的解析式为
轴，，
点的坐标为
；

若是直角，则点在轴上，由函数图象可知点在轴的正半轴上，
，
在中，当时，
当时，
，
，
，
点纵坐标为：，代入，
，此时．
线段上存在点使为直角三角形．
当时，∽，
此时，
即，
，
解得：，
，
，

综上所述：点坐标为：，
 

【解析】

可根据、的长得出、两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
求出点的坐标，据此可根据三角形的面积计算方法求出与的函数关系式．
先根据抛物线的解析式求出的坐标，进而可得出直线的解析式，以及点纵坐标，即可得出符合条件的点的坐标．
本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．