2023届高考一轮复习（老高考）第二章 微专题14　平衡中的临界极值问题【解析版】

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1．如图所示，两质量均为M＝10 kg的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动摩擦因数均为 μ＝0.5，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量m＝1 kg，现用一竖直向上的力F拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为θ＝53°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．力F的大小为80 N
B．力F的大小为90 N
C．轻绳对甲物体的拉力大小为60 N
D．轻绳对甲物体的拉力大小为80 N
答案 B
解析 对甲、乙两物体分别受力分析，由平衡可知μ(Mg－FTsin 53°)＝FTcs 53°，解得绳子的拉力FT＝50 N，则对滑轮受力分析可知F＝2FTsin 53°＋mg＝90 N，故选B.
2．如图两个体重相同的人静止坐在秋千上，两秋千绳子能承受的最大张力是一样的．往两人身上同时慢慢加相同重量的物体，直到绳子断开，则下面的叙述正确的是( )
A．甲中绳子先断
B．甲、乙中绳子同时断
C．乙中绳子先断
D．不确定
答案 C
解析 人的重力和两根绳子拉力的合力等值反向，合力一定，两分力夹角越大，分力越大，所以夹角越大，绳子拉力越大．则乙中绳子容易断，A、B、D错误，C正确．
3．(多选)如图所示，一个重为5 N的大砝码用细线悬挂在O点，在力F作用下处于静止状态，现不断调整力F的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是( )
A．调整力F的方向的过程中，力F最小值为2.5 N
B．力F在竖直方向时，力F最小
C．力F在竖直方向时，另一侧细线上的张力最小
D．当力F处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F大小相等
答案 ACD
解析 对砝码受力分析如图所示
根据平行四边形定则，可知当F的方向与另一侧细线垂直时，力F最小，最小值为Fmin＝Gsin 30°＝2.5 N，故A正确，B错误；当力F在竖直方向时，另一侧细线上的张力FT＝0最小，故C正确；当力F处于水平方向时，力F与细线拉力FT的合力竖直向上，大小等于mg，由几何关系得F＝mg tan 30°＝eq \f(\r(3),3)mg.当力F处于斜向右上与水平方向夹角为60°时，此时F、细线拉力FT与竖直方向的夹角相等，则两力大小相等，合力竖直向上，大小等于mg，由几何关系得F＝eq \f(\f(mg,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3),3)mg，故D正确．
4.如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角并固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O放在两板间，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，重力加速度为g.在使BP板由水平位置逆时针缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A．平板BP受到的最小压力为0.8mg
B．平板BP受到的最小压力为0
C．平板AP受到的最小压力为0.6mg
D．平板AP受到的最大压力为1.25mg
答案 A
解析 圆柱体受重力，平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，将F1与F2合成为F，如图：圆柱体一直处于平衡状态，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1与F2的合力F与重力等值、反向、共线；从图中可以看出，BP板由水平位置逆时针缓慢转动过程中，F1越来越大，F2先减小后增大；由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值F2min＝eq \f(4,5)mg，根据牛顿第三定律，平板BP受到的最小压力为eq \f(4,5)mg，故A正确，B错误；当平板BP沿水平方向时，平板AP对圆柱体的弹力F1＝0，即平板AP受到的最小压力为0，故C错误．由图可知，当BP转到竖直方向时，AP对圆柱体的弹力F1最大F1max＝eq \f(mg,cs 53°)＝eq \f(5,3)mg，根据牛顿第三定律知，平板AP受到的最大压力为eq \f(5,3)mg，故D错误．
5．(2022·湖南长郡中学高三月考)固定斜面上的物体A用跨过滑轮的细线与小砂桶相连，连接A的细线与斜面平行，不计细线与滑轮间的摩擦力，若要使物体A在斜面上保持静止，砂桶中砂的质量有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为m1和m2(m2＞0)，重力加速度为g，由此可求出( )
A．物体A的质量
B．斜面的倾角
C．物体A与斜面间的动摩擦因数
D．物体A与斜面间的最大静摩擦力
答案 D
解析 设物体A的质量为M，砂桶的质量为m0，物体与斜面间的最大静摩擦力为Ffm，斜面倾角为θ，由平衡条件可得物体A将要上滑时，有m0g＋m1g＝Mgsin θ＋Ffm.物体A将要下滑时，有m0g＋m2g＝Mgsin θ－Ffm，可得Ffm＝eq \f(m1g－m2g,2)，即能求解物体A与斜面间的最大静摩擦力，不能求出其他的物理量，则A、B、C错误，D正确．
6．三角形具有稳定性，生活中随处可见利用三角形支架固定的物体．浴室里洗手盆下的支架、空调外挂机的支架、手机支架等如图甲所示．现有一个悬挂物体的支架，如图乙所示，倾斜支撑杆a端用铰链固定在墙上，且Oa杆不可伸长，拉杆bO左端可上下移动和旋转并且可伸缩以便调节拉杆的长度，轻绳一端固定在O点，另一端悬挂重物．已知初始时bO杆水平，aO杆与竖直方向成60°角，悬挂物质量为m，重力加速度为g.
(1)初始状态下，aO、bO杆的作用力大小分别为多少？
(2)保持O点不动，调节拉杆的长度同时左端向上移动到某点c后固定，可使拉杆上的作用力最小，此时cO与竖直墙面的夹角为多少？此时aO、cO的作用力大小分别为多少？
答案 (1)2mg eq \r(3)mg (2)30° eq \f(1,2)mg eq \f(\r(3),2)mg
解析 (1)对O点受力分析如图a所示，可得Facs 60°＝mg，Fasin 60°＝Fb，联立可得Fa＝2mg，Fb＝eq \r(3)mg
(2)重力大小方向不变，aO方向不变，分析可知，当cO与aO垂直时，cO上的拉力最小，如图b所示，由几何关系可得此时cO与竖直墙面的夹角为30°，受力分析如图所示，
可得Fa′＝eq \f(1,2)mg，Fc＝eq \f(\r(3),2)mg.
7．筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一．筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”．如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜
tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.为使小球静止，求每根筷子对小球的压力FN的取值范围．
答案 eq \f(mg,2sin θ＋μcs θ)≤FN≤eq \f(mg,2sin θ－μcs θ)
解析 筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示．
有2FNsin θ＋2Ffcs θ＝mg，Ff＝μFN，联立解得FN＝eq \f(mg,2sin θ＋μcs θ)，筷子对小球的压力最大时，小球恰好不上滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示．
有2FN′sin θ＝mg＋2Ff′cs θ，Ff′＝μFN′，联立解得FN′＝eq \f(mg,2sin θ－μcs θ)，综上可得，筷子对小球的压力的取值范围为eq \f(mg,2sin θ＋μcs θ)≤FN≤eq \f(mg,2sin θ－μcs θ).
8.如图，倾角为α＝37°的粗糙斜劈固定在水平面上，质量为5 kg的物体a放在斜面上且与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.一根平行于斜面的不可伸长的轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过两个光滑小滑轮固定在c处，滑轮2下吊有一物体b且β＝74°，物体a受到斜劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.求：保证系统静止时，b的质量范围．
答案 1.6 kg≤mb≤8 kg
解析 a刚要下滑时b的质量最小，a受到沿斜面向上的静摩擦力作用，magsin α＝μmagcs α＋FT.研究b的受力情况2FTcseq \f(β,2)＝mb1g，联立解得mb1＝1.6 kg，a刚好上滑时，a受到沿斜面向下的静摩擦力作用，magsin α＋μmagcs α＝FT′，研究b的受力情况2FT′cseq \f(β,2)＝mb2g，联立解得mb2＝8 kg.综上可知，保证系统静止时，b的质量范围为1.6 kg≤mb≤8 kg.