2020届上海市浦东新区高三三模数学练习题

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1. 已知集合，若，则实数的取值范围是________
2. 若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________.
3. 椭圆()与双曲线有公共焦点，则______.
4. 函数（）的反函数是________
5. 函数，如果方程有四个不同的实数解，，，，则______.
6. 已知（），且，则________
7. 若△ABC的内角满足，则的最小值是_____．
8. 对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数,都有，则的值是______________
9. 在平面直角坐标系中，点集所对应平面区域的面积为________
10. 设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为________
11. 已知函数（），，若在区间内没有零点，则的取值范围是________
12. 在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为________
二.选择题
13. 已知x，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )
A. 41πB. 42πC. 43πD. 44π
15. 在平面直角坐标系中，定义（）为点到点的变换，我们把它称为点变换，已知，，，是经过点变换得到一组无穷点列，设，则满足不等式最小正整数的值为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
16. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
（1）方程（），表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2；
（3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
（4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数点）；
A. （1）（2）B. （1）（2）（3）
C. （1）（2）（4）D. （1）（3）（4）
三.解答题
17. 直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，侧棱上一点，设．
(1) 若，求的值；
(2) 若，求直线与平面所成的角．
18. 方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，图2中所示多边形，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记整个方舱医院的外围隔离线（图2实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为，与、的交点为、，与、的交点为、，（）.
（1）若，且两根横轴之间的距离米，求外围隔离线总长度；
（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度不超过240米，当整个方舱医院（多边形的面积）最大时，给出此设计方案中的大小与的长度.
19. 已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.
（1）当运动到时，求的值；
（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.
20. 已知数列满足：，，，.
（1）求、、、的值；
（2）设，，试求；
（3）比较、、、的大小关系.
21. 已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，，对于函数，若存在，，使得，则称函数是“函数”.
（1）判断函数，是否是“函数”；
（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值；
（3）若函数是“函数”，求的取值范围.