2022年九年级中考复习胡不归和阿氏圆专题

这是一份2022年九年级中考复习胡不归和阿氏圆专题，共26页。试卷主要包含了【新知探究】新定义，如图，已知抛物线C，已知抛物线C，如图，直线AB与抛物线l等内容，欢迎下载使用。

2022年胡不归和阿氏圆
一．填空题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 　 　．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　．

3．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 　 　．

4．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 　 　．

5．如图，菱形ABCD中，AB＝9，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为　 　．

二．解答题（共8小题）
6．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线C1的表达式及点D坐标；
（2）将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C2，抛物线C2顶点为E，求抛物线C2的表达式及点E坐标；
（3）是否在抛物线C2上存在一点P，在x轴上存在一点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

7．如图，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为P，它的对称轴与x轴的交点记为Q．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线C沿x轴向右平移d（d＞0）个单位，得到抛物线C′，抛物线C′与C交于点M，如果以点P，Q，M为顶点的三角形是直角三角形，求抛物线C′的表达式．

8．已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）请直接写出四边形ABMN的面积；
（3）将抛物线C平移到抛物线C'，点A的对应点为点A'、点B的对应点为点B′且在x轴上，如果四边形ABB'A'的面积为9，求抛物线C′的表达式．

9．已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，﹣2）和B（0，﹣7）两点，将这条抛物线的顶点记为M．
（1）求抛物线C的表达式和顶点M的坐标；
（2）将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线C′，如果点P是x轴上一点，那么在抛物线C或C′上是否存在点Q，使得以点O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形（OM为一边）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，直线AB与抛物线l：y＝﹣x2+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？

11．【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．
【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）
【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．

12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AB＝3，D为△ABC内部一动点，满足∠ADB＝120°，E为边BC上动点，F为边AC上一动点，求DE+的最小值．

13．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为　 　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）


2022年胡不归和阿氏圆
参考答案与试题解析
一．填空题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 　　．

【分析】在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQ＝PB，则PB+PC＝PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求．
【解答】解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，

∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，
∴，
∵AP＝2，AQ＝1，
∴，
∵∠PAQ＝∠BAP，
∴△APQ∽△ABP，
∴PQ＝PB，
∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，
在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，
∴QB＝＝＝．，
∴PB+PC的最小值．，
故答案为：．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　　．

【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．
【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴＝，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴＝，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ＝AP，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，
在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，
∴QB＝，
∴PA+PB的最小值，
故答案为：．

3．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 　　．

【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证明△APC∽△BPA，由相似三角形的性质可得BP＝2AP，CP＝AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，再找出距离BC最远的A点的位置即可求解．
【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，

∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，
∴△APC∽△BPA，
，
∴BP＝2AP，CP＝AP，
∵BP﹣CP＝BC＝4，
∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，
∴BP＝，CP＝，即点P为定点，
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，
S△ABC＝BC•A1P＝×4×＝．
故答案为：．
4．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 　　．

【分析】过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，故PE＝BP，故AP+BP＝AP+PE≥AF，求出AF即可．
【解答】解：过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴PE＝BP，
∴AP+BP＝AP+PE≥AF，
∵△ABC的面积为，
∴AC2＝，
∴AC＝2，
∴BC•AF＝，
∴AF＝，
∴AP+BP的最小值为．
故答案为：．

5．如图，菱形ABCD中，AB＝9，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为　3　．

【分析】在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过点A作AH⊥GF于H．证明∠BGF＝120°，推出点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，求出AH即可．
【解答】解：在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过点A作AH⊥GF于H．

∵∠B＝60°，BE＝BG，
∴△BEG是等边三角形，
∴EB＝EG，∠BEG＝∠BGE＝60°，
∵PE＝PF，∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形，
∴∠PEF＝60°，EF＝EP，
∵∠BEG＝∠PEF，
∴∠BEP＝∠GEF，
∴△BEP≌△GEF（SAS），
∴∠EGF＝∠B＝60°，
∴∠BGF＝120°，
∴点F在射线GF上运动，
根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，
∵AB＝9，BE＝2AE，
∴BE＝6，AE＝3，
∵∠BEG＝∠EGF＝60°，
∴GT∥AB，
∵BG∥AT，
∴四边形ABGT是平行四边形，
∴AT＝BG＝BE＝6，∠ATH＝∠B＝60°，
∴AH＝AT•sin60°＝3，
∴AF的最小值为3，
故答案为：3．
二．解答题（共8小题）
6．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线C1的表达式及点D坐标；
（2）将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C2，抛物线C2顶点为E，求抛物线C2的表达式及点E坐标；
（3）是否在抛物线C2上存在一点P，在x轴上存在一点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

【分析】（1）由题意可以假设抛物线C1的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得到a＝﹣1可得结论．
（2）求出抛物线C2的顶点E，再根据抛物线C1与抛物线C2的a的值互为相反数即可解决问题．
（3）分两种情形：①DE为平行四边形的边时，点P的纵坐标为8，构建方程求出点P的横坐标即可．②当DE为对角线时，Q′与A重合，P′与K重合，此时P′（5，0）．
【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线C1的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得到a＝﹣1，
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
顶点D（﹣1，4）．

（2）∵点D关于点B的对称点E（3，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5．

（3）存在．如图，由题意，抛物线C2与x轴的另一个交点K（5，0）．
①当DE为平行四边形的边时，可知点P的纵坐标为8，
当y＝8时，8＝x2﹣6x+5，
解得x＝3±2，
∴点P的横坐标为3±2．
②当DE为对角线时，Q′与A重合，P′与K重合，
此时P′（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3+2，8）或（3﹣2，8）或（5，0）．

7．如图，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为P，它的对称轴与x轴的交点记为Q．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线C沿x轴向右平移d（d＞0）个单位，得到抛物线C′，抛物线C′与C交于点M，如果以点P，Q，M为顶点的三角形是直角三角形，求抛物线C′的表达式．

【分析】（1）把A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c解方程即可得到结论；
（2）把二次函数的一般式配方即可得到结论；
（3）根据题意得到抛物线C′的解析式为：y＝﹣（x﹣1﹣d）2+4，①当∠PQM＝90°时，则点M在x轴上，得到点M的纵坐标为0，于是得到M（3，0），把M（3，0）代入y＝﹣（x﹣1﹣d）2+4即可得到结论；②当∠PMQ＝90°，取PQ的中点K，连接M2K，设M（m，﹣m2+2m+3），由P（1，4），Q（1，0），推出PK＝KQ＝KM2＝2，K（1，2），可得（m﹣1）2+（﹣m2+2m+3﹣2）2＝4，求出m的值即可解决问题；
【解答】解：（1）把A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，，
∴，
∴抛物线C的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点P的坐标为（1，4）；
（3）∵将抛物线C沿x轴向右平移d（d＞0）个单位，
∴抛物线C′的解析式为：y＝﹣（x﹣1﹣d）2+4，
∵抛物线C′与C交于点M，
∴设M（m，﹣m2+2m+3），
∵对称轴与x轴的交点记为Q，
∴Q（1，0），
∵以点P，Q，M为顶点的三角形是直角三角形，
∴只能是∠PQM或∠PMQ是直角，
①当∠PQM＝90°时，则点M在x轴上，
∴点M的纵坐标为0，
∴﹣m2+2m+3＝0，
解得：m＝3，m＝﹣1（不合题意，舍去），
∴M（3，0），
把M（3，0）代入y＝﹣（x﹣1﹣d）2+4得，d＝4，
∴抛物线C′的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4，
②当∠PMQ＝90°，取PQ的中点K，连接M2K，设M（m，﹣m2+2m+3），
∵P（1，4），Q（1，0），
∴PK＝KQ＝KM2＝2，K（1，2），
∴（m﹣1）2+（﹣m2+2m+3﹣2）2＝4，
∴（m﹣1）2+（﹣m2+2m﹣1）2+4（﹣m2+2m﹣1）＝0，
∴（m﹣1）2[1+（m﹣1）2﹣4]＝0，
∴m＝1（舍弃）或m＝1+或1﹣（舍弃）
∴m＝1+，
∴M（1+，1），代入y＝﹣（x﹣1﹣d）2+4，得到d＝2或0（舍弃），
∴此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣2）2+4．
综上所述，当以点P，Q，M为顶点的三角形是直角三角形时，抛物线C′的表达式为y＝﹣（x﹣5）2+4或y＝﹣（x﹣1﹣2）2+4．

8．已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）请直接写出四边形ABMN的面积；
（3）将抛物线C平移到抛物线C'，点A的对应点为点A'、点B的对应点为点B′且在x轴上，如果四边形ABB'A'的面积为9，求抛物线C′的表达式．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）利用梯形的面积和三角形面积公式求得即可；
（3）由题意可知，抛物线向下平移的3个单位，且△ABB′的面积为，根据△ABB′的面积求得左右平移的距离，即可求得平移后的抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线C的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴M（﹣1，4），N（﹣1，0），
∴四边形ABMN的面积为：（4+3）×1+＝5．
（3）由题意可知，抛物线向下平移的3个单位，且△ABB′的面积为，
∴AB′×OB＝，AB′×3＝，
∴AB′＝3，
∴C′的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1或y＝﹣（x+3）2+1．

9．已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，﹣2）和B（0，﹣7）两点，将这条抛物线的顶点记为M．
（1）求抛物线C的表达式和顶点M的坐标；
（2）将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线C′，如果点P是x轴上一点，那么在抛物线C或C′上是否存在点Q，使得以点O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形（OM为一边）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线C的解析式中，求解即可得出结论；
（2）先确定出抛物线C'的解析式，再确定出点Q的纵坐标，分别代入抛物线C和C'中，求解即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（1，﹣2），B（0，﹣7）代入抛物线C：y＝﹣x2+bx+c中，得
，
∴，
∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，
∴顶点M的坐标为（3，2）；

（2）如图，∵抛物线C'是抛物线C平移所得，
∴抛物线C'的解析式为y＝﹣（x﹣3+2）2+2﹣1＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x，
由（1）知，M（3，2），
∵以点O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形（OM为一边），且点P在x轴上，
∴点Q的纵坐标为﹣2，
当点Q在抛物线C上时，则﹣x2+6x﹣7＝﹣2，解得，x＝1或x＝5，
∴Q（1，﹣2）或（5，﹣2），
当点Q在抛物线C'上时，则﹣x2+2x＝﹣2，
解得，x＝1+或x＝1﹣，
∴Q（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
即点Q的坐标为（1，﹣2）或（5，﹣2）或（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2）．

10．如图，直线AB与抛物线l：y＝﹣x2+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？

【分析】（1）将A（0，5），B（5，0）两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，求出b、c的值，得出抛物线l的函数表达式；利用配方法化为顶点式，得出顶点C的坐标；设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，5），B（5，0）两点的坐标代入，利用待定系数法求出直线AB的解析式，将x＝2代入，求出y，得到点D的坐标；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出C′E＝CD＝6，设E（a，0），则C′（a，±6）．分①C′（a，6），②C′（a，﹣6）两种情况列出关于a的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线l：y＝﹣x2+bx+c过A（0，5），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线l的函数表达式为y＝﹣x2+4x+5；
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点C的坐标为（2，9）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝﹣2+5＝3，
∴点D的坐标为（2，3）；

（2）由题意，可知C′E∥CD，
∴以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形时，C′E＝CD＝9﹣3＝6，
∵E点纵坐标为0，
∴C′点纵坐标为±6．
设E（a，0），则C′（a，±6）．
①如果C′（a，6），那么DE＝CD＝6，
即（a﹣2）2+32＝36，
解得a＝2±3，
∴C′（2±3，6），
即将抛物线l先向右或向左平移3个单位，再向下平移3个单位，可使四边形CC′ED为菱形；
②如果C′（a，﹣6），那么CE＝CD＝6，
即（a﹣2）2+92＝36，
解得a无实数根．
综上所述，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l先向右或向左平移3个单位，再向下平移3个单位．
11．【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．
【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）
【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．

【分析】（1）如图①，DE⊥CM，则∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CDsin30°，即可求解；
（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；
（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；
（4）EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，即可求解．
【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，
在Rt△DCE中，DE＝CDsin30°＝CD；

（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；
（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，
过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；
（4）由题意得：t＝＝EF+CF，
过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，

设∠ABC＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则HF＝CF，
EF+CF＝EF+FH，
故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，
点B（4，0），点A（﹣1，0），
将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
点E是OB中点，其坐标为：（2，0），
当x＝2时，对于y＝﹣x+3，y＝，
点F坐标为（2，），
t＝＝EF+CF，
当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，
即：最小时间为3秒．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AB＝3，D为△ABC内部一动点，满足∠ADB＝120°，E为边BC上动点，F为边AC上一动点，求DE+的最小值．

【分析】题目中出现了EF的长度，需要我们利用45°直角三角形转化，把求DE+的最小值转化为求一条折线的最小值．
【解答】解：作△ABD的外接圆，圆心为O，
则由∠ADB＝120°，可知点D为圆O上的动点．
当DE+EF取最小值时，EF⊥AC．

作等腰直角△EFG，使EF＝FG，再作G关于BC对称的点H．
则等腰直角△EFG中，EG＝EF．
又∵G、H关于BC对称，
∴EH＝EG．
∴DE+EF＝DE+EH．
过点O作CH的垂线OM，
∵OD+DE+EH≥OM，
∴当D、E、H在OM上时，DE+EF取最小值OM﹣OB．
∵∠ADB＝120°，
∴∠BOA＝120°．
∵BO＝OA，AB＝3，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，OA＝OB＝．
∴∠OAC＝120°，
又∠ACM＝60°，
∴OA∥CM．
△OAC中，AC边的高线长为OAsin60°＝，OA边的高线长为OM．
∴AC×＝OA×OM，
又AC＝ABtan60°＝，OA＝，
∴OM＝．
∴DE+EF的最小值为OM﹣OB＝﹣．
13．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为　5　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

【分析】（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，易证△ABO是等边三角形，所以AB＝OA＝OB＝5；
（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，连接OA，由垂径定理可知：AM＝AB＝12，再由勾股定理可知：OM＝5，所以PM＝OM+OP＝18，
（3）设连接AP，OP，分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以AM＝AP＝AN，设AP＝r，
易求得：MN＝r，所以PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，即当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值．
【解答】解：（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，
∴OA＝OB＝OC，
∵∠A＝120°，AB＝AC＝5，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝5，
（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，
连接OA，
由垂径定理可知：AM＝AB＝12，
∵OA＝13，
∴由勾股定理可知：OM＝5，
∴PM＝OM+OP＝18，
（3）设连接AP，OP
分别以AB、AC所在直线为对称轴，
作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，
连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，
∴AM＝AP＝AN，
∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝∠MAB+∠NAC＝60°，
∴∠MAN＝120°
∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，
设AP＝r，
易求得：MN＝r，
∵PE＝ME，PF＝FN，
∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，
∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值，
∵AP+OP≥OA，
∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，
设AB的中点为Q，
∴AQ＝AC＝3，
∵∠BAC＝60°，
∴AQ＝QC＝AC＝BQ＝3，
∴∠ABC＝∠QCB＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∴由勾股定理可知：BC＝3，
∵∠BOC＝60°，OB＝OC＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝90°
∴由勾股定理可知：OA＝3，
∵OP＝OB＝3，
∴AP＝r＝OA﹣OP＝3﹣3，
∴PE+EF+PF＝MN＝r＝3﹣9
∴PE+EF+PF的最小值为（3﹣9）km．