2022年江苏省无锡市江阴市祝塘中学中考数学一模试卷

这是一份2022年江苏省无锡市江阴市祝塘中学中考数学一模试卷

2022年江苏省无锡市江阴市祝塘中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的）1．﹣的倒数是（　　）A．﹣ B． C．3 D．﹣32．若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）A．x＞0 B．x＞2 C．x≠0 D．x≠23．一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量是（　　）A．极差 B．方差 C．中位数 D．众数4．若关于x的方程x2+px+q＝0有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）A．p2﹣4q＞0 B．p2﹣4q≥0 C．p2+4q＞0 D．p2+4q≥05．下列计算中，正确的是（　　）A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a3+a3＝a6 D．2a•3a＝6a6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．7．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC8．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）A．50° B．55° C．60° D．65°9．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　）A．5 B． C．5或 D．610．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（　　）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）11．（1）化简＝　 　；（2）因式分解：a3﹣4a＝　 　．12．四月杨絮漫天飞舞，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 　 　．13．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为　 　 度．14．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为　 　．15．写出一个函数，当自变量x取值范围为x＜0时，函数值y随着x的增大而减小的函数是　 　．16．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 　 　．17．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为　 　．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．若BF的延长线经过AD的中点M，求的值为 　 　．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19．（8分）计算或化简：（1）﹣（3﹣π）0﹣4cos45°；（2）+．20．（8分）（1）解方程：x2+3x﹣1＝0；（2）解不等式组：．21．（10分）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）求证：BE＝DE．22．（10分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数﹣1，2，﹣3，4．（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为　 　．（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．23．（10分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小组．要求每人必须参加．并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）．请你根据给出的信息解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生人数为 　 　；（2）扇形统计图中摄影所占的圆心角为 　 　°，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；（3）若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，AC＜BC．（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，若DE分Rt△ABC面积为1：2两部分，请探究AC与BC的数量关系．25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）证明：EF2＝4OD•OP；（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．26．（10分）为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xcm，面积为ym2如图所示）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．27．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∠DAB＝60°，AB绕A逆时针旋转，点B的对应点为E，连接BE，CE，设旋转角度为α（0°＜α＜180°）．（1）如图①当α＝30°时，AE与CD相交于点F，此时，DF的长为　 　；（2）在AB旋转过程中，求线段CE的最小值；（3）当△CBE是以BE为直角边的直角三角形时，求CE的长．28．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F （0，y）是y轴上一动点，当y为何值时， FC+BF的值最小．并求出这个最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的）1．解：的倒数是﹣3．故选：D．2．解：由题意，得x﹣2≠0，解得x≠2，故选：D．3．解：原数据3，4，4，4，5的平均数为×（3+4+4+4+5）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（3﹣4）2+（4﹣4）2×3+（5﹣4）2]＝0.4；新数据的3，4，4，5的平均数为×（3+4+5+4）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（3﹣4）2+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2]＝0.5；故选：B．4．解：∵关于x的方程x2+px+q＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝p2﹣4q＞0，故选：A．5．解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、（a2）3＝a6，正确；C、a3+a3＝2a3，故此选项错误；D、2a•3a＝6a2，故此选项错误；故选：B．6．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．7．解：A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选：C．8．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．解法二：连接OC，BC．∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC＝25°，∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，故选：A．9．解：当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1，∵DB平分∠ABC，∴∠PBD＝∠CBD，∵PD∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∴∠PBD＝∠PDB，∴PB＝PD，同理，DQ＝CQ，∵∠APQ＝∠ABC，∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝，∴设AP＝4x，AQ＝3x，∴PQ＝5x，∵PB＝PD＝8﹣4x，DQ＝CQ＝6﹣3x，∴8﹣4x+6﹣3x＝5x，∴x＝，∴PQ＝5x＝；当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB，∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，∴BC＝10，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，∴DE＝DF＝DG，∵S△ABC＝DE（AB+AC+BC）＝AB•AC，∴DE＝＝2，四边形AEDF是正方形，∴DF∥AP，∴∠EPD＝∠FDQ，同理∠EDP＝∠FQD，∴△PED∽△DFQ∽△CAB，∴＝＝＝，∴PE＝，FQ＝，∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝，∴PQ＝PD+DQ＝+＝，综上所述，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为，故选：B．10．解：解方程组得，∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），设x＝3a﹣1，y＝4a+2，∴y＝x+，即点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标轴的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），∴AB＝＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，∵∠MBP＝∠ABO，∴Rt△MBP∽Rt△ABO，∴MP：OA＝BM：AB，即MP：＝：，∴MP＝，∴PQ＝﹣1＝，即线段PQ的最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）11．解：（1）＝4，故答案为：4；（2）a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2），故答案为：a（a+2）（a﹣2）．12．解：0.0000105＝1.05×10﹣5．故答案为：1.05×10﹣5．13．解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．故答案为：240．14．解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣2．故答案为：π﹣2．15．解：函数关系式为：y＝等；故答案为：y＝．16．解：∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，∵BC2+BD2＝CD2，∴32+x2＝（5﹣x）2，∴x＝1.6，∴BD＝1.6，∴tan∠CDB＝＝＝，∴tan2α＝，故答案为：．17．解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴，若＝m，由OB＝m•OD，OA＝m•OC，又∵，，∴＝，又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，∴，解得：m＝或m＝（舍去），设点A、B的坐标分别为（0，a），（b，0），则•a•（﹣b）＝8，即ab＝﹣16，∵，∴点C的坐标为（0，﹣ a），又∵点E是线段BC的中点，∴点E的坐标为（），又∵点E在反比例函数上，∴＝﹣＝，故答案为6．18．解：延长BM、ED交于点G，∵AE∥CD，DE∥AB，∴∠ABC＝∠DEC，∠AEB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠DEC＝∠AEB＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，AB＝AE，DE＝DC，∴＝，设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝x，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），∵AB∥DG，∴∠ABG＝∠G∵AD的中点M，∴AM＝DM，在△AMB和△DMG中，∴△AMB≌△DMG（AAS），∴DG＝AB＝ax，∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），∵AB∥DG（即AB∥EG），∴△ABF∽△EGF，∴＝，即，∴x2﹣2x﹣1＝0，解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴＝x＝1+，故答案为：1+．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19．解：（1）原式＝2﹣1﹣4×＝2﹣1﹣2＝﹣1；（2）原式＝﹣＝＝＝a+1．20．解：（1）这里a＝1，b＝3，c＝﹣1，∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（2）由①得：x＞2，由②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x＜2．21．解：（1）在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC＝∠DAC即AC平分∠BAD；（2）由（1）∠BAE＝∠DAE在△BAE与△DAE中，得∴△BAE≌△DAE（SAS）∴BE＝DE22．解：（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率＝＝．23．解：（1）30÷20%＝150（人），即参加这次问卷调查的学生有150人，故答案为：150；（2）360°×＝129.6°，故答案为：129.6；选择航模的人数为150﹣30﹣54﹣24＝42（人），补图如下：（3）1200×＝192（名），即估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有192名．24．解：（1）如图，直线DE即为所求．（2）∵若DE分Rt△ABC面积为1：2两部分，∴BE＝2EC，设EC＝a，则BE＝2a，∴BC＝3a，∴BE＝ET，∴AC＝ET﹣EC＝a，∴BC＝3AC．25．（1）证明∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）证明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴OA2＝OP•OD．又OA＝EF，∴EF2＝OP•OD，即EF2＝4OP•OD．（3）解：在Rt△ADF中，设AD＝2a，则DF＝3a．OD＝BC＝4，OE＝AO＝OF＝3a﹣4．∵OD2+AD2＝AO2，即42+4a2＝（3a﹣4）2，解得a＝，∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝．26．解：（1）∵AB＝x，∴BC＝36﹣2x，∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，∵0＜36﹣2x≤18，∴9≤x＜18．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）；（2）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∴x＝9时，y有最大值162（m2），设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，∴a+7b＝1500，∴b的最大值为214，此时a＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．27．解：（1）当∠α＝30°时，∵∠DAB＝60°，∴∠DAF＝30°，在四边形ABCD中，DC∥AB，即∠FAB＝∠DFA＝30°，∴∠DAF＝∠DFA＝30°，∴DA＝DF＝4，故答案为：4．（2）如图1中，连接AC，过点A作AH⊥CH于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AD∥BC，∴∠DAB＝∠ABH＝60°，∵∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝4，AH＝AB•sin60°＝4，∴CH＝BC+BH＝8，在Rt△ACH中，AC＝＝＝4，∵AE＝AB＝8，CE≥AC﹣AE，∴CE≥4﹣8，∴CE的最小值为4﹣8．（3）由题意，只有∠CEB＝90°．如图2中，取BC的中点J，连接AJ交BE于K，连接EJ，过点J作JT⊥AB交AB的延长线于T．在Rt△BJT中，BJ＝2，∠T＝90°，∠JBT＝60°，∴BT＝JB•cos60°＝1，TJ＝BT＝，∴AT＝AB+BT＝9，∴AJ＝＝＝2，∵∠CEB＝90°，CJ＝JB，∴JE＝JB＝JC，∵AE＝AB，∴AJ垂直平分线段BE，∴EK＝KB，∵CJ＝JB，∴EC＝2KJ，∵∠KAB＝∠TAJ，∠AKB＝∠T＝90°，∴△AKB∽△ATJ，∴＝，∴AK＝，∴KJ＝AJ﹣AK＝，∴EC＝2EJ＝．如图3中，当∠EBC＝90°，可得EC＝＝4综上所述，满足条件的EC的值为或4．28．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∴AO＝1，BO＝3，∴∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|yE|＝，AB＝4，则yE＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：＝＝，∴＝；∴点E（﹣，﹣），＝；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CFsin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（m2/棵）0.410.4