中考数学典例精做题集专题16 勾股定理及逆定理的应用 中考数学典例精做题集（教师版）

这是一份中考数学典例精做题集专题16 勾股定理及逆定理的应用 中考数学典例精做题集（教师版），共27页。试卷主要包含了勾股定理，勾股定理的逆定理等内容，欢迎下载使用。
※知识精要1.勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： ,那么这个三角形是直角三角形※要点突破1.根据实际情况构造出直角三角形，用未知数表示出三边长度，根据勾股定理列出方程.2.建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．※典例精讲例1．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h. 【答案】70cm. h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.例2．如图，一根旗杆原有8米，一次“台风”过后，旗杆被台风吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被台风吹断处离地面多高？【答案】3米※课堂精练一、单选题1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）A． 1，1，                  B． 4，5，6    C． 6，8，11                   D． 5，12，15【答案】A【解析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两短边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：A．12+12=（）2，能构成直角三角形，故符合题意；B．52+42≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C．62+82≠112，不能构成直角三角形，故不符合题意；D．122+52≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选A．2．一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（    ）A． 9米    B． 15米    C． 5米    D． 8米【答案】D 3．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）A．                 B．     C．                   D． 【答案】C【解析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC=，故选：C．4．如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条长13m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？【答案】12m 5．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（      ）A． 16米    B． 15米    C． 24米    D． 21米【答案】A【解析】由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=米．所以大树的高度是10+6=16米．故选：A．6．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则=(   )A． 5    B． 4    C． 6    D． 、10【答案】C 7．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(    )A． 4米    B． 8米    C． 9米    D． 7米【答案】D  【解析】由勾股定理得：楼梯的水平宽度==4，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4=7米。故选D.8．如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=3米.在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（     ）A． m    B． 2 m    C． 3 m    D． 5 m【答案】B9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在对角线BD上，折痕为DE，且A点落在对角线F处．若AD=3，CD=4，则AE的长为（   ） A．     B． 1    C． 2    D． 【答案】A10．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有10个不同的点P1，P2，……，P10， 记（i ＝ 1，2，……，10），那么 M1+M2+……+M10的值为（   ）A． 4     B． 14     C． 40    D． 不能确定【答案】C【解析】作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD•BPi+BPi2，PiB•PiC=PiB•（BC﹣PiB）=2BD•BPi﹣BPi2，从而求得Mi=AD2+BD2，即可求解．解：作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．    根据勾股定理，得：    APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD•BPi+BPi2，又PiB•PiC=PiB•（BC﹣PiB）=2BD•BPi﹣BPi2，∴Mi=AD2+BD2=AB2=4，∴M1+M2+…+M10=4×10=40．    故选C．    11．等腰三角形的腰长5cm，底长8cm，则底边上的高为______cm．【答案】3 12．若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是_____．【答案】5【解析】根据勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．解：∵三角形三边分别为6，8，10，62+82=102，∴该三角形为直角三角形，∵最长边即斜边为10，∴斜边上的中线长为：5，故答案为：5．13．一种盛饮料的圆柱形杯子(如图)，测得它的内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管放进杯子里，杯口外面至少要露出4.6 cm，则吸管的长度至少为____cm.【答案】17.6 14．如图，矩形ABCD中，，，CB在数轴上，点C表示的数是，若以点C为圆心，对角线CA的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P，则点P表示的数是______．【答案】【解析】由勾股定理可得：AC=, 因为，PC=AC, 所以，PO=,所以，点P表示的数是.故答案为：15．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为_____．【答案】2 16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_____cm．【答案】7【解析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得BC==4，由翻折的性质，得CE=AE，△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7，故答案为：7．17．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_____．【答案】18．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为_____．【答案】2519．有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2 017次后形成的图形中所有正方形的面积和是____ ．      图1               图2【答案】2018【解析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2017次后形成图形中所有正方形的面积之和．解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；由图2可知，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3；推而广之，“生长”了2017次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2018×1=2018．故答案为：201820．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是_____．【答案】7621．如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．【答案】旗杆的高度为8米【解析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理可得：，解得，．答：旗杆的高度为8米．22．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池深多少尺？”【答案】12尺 23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB＝，BC＝，DC＝12，AD=13，求四边形ABCD的面积．【答案】36.【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即为四边形ABCD的面积．解:连接AC，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=，∴AC= 5，∵DC=12，AD=13，∴AC2+DC2=52+122=25+144=169， AD2=132=169，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是∠ACD=90°的直角三角形，四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=36．答：四边形ABCD的面积为36. 24．我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图所示),则这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱.树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺) 【答案】这根藤条有29尺.25．一道古算题：有执长竿入城门者，横执之多六尺，竖执之多三尺，有老父至，教他斜竿对两角，不多不少刚抵足，借问竿长多少数？大意如下：某人拿着长竹竿进城门，横着拿竿多六尺，竖着拿竿多三尺，有一个经验丰富的老者，教他斜着拿竹竿进城门，竹竿刚好就是城门斜对角线的长度，正好可以进城，问竹竿长多少尺？（城门为矩形）【答案】竹竿的长为15尺26．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭.近日A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处（如图），以每小时12km的速度向北偏东60°方向移动.距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响?为什么?（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么A城遭受沙尘暴的影响时间有多长?  【答案】（1）A城将受这次沙尘暴的影响；（2）A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15时.【解析】（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；（2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间.解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA=30°，∴AC=AB=×240=120（km），∵AC=120＜150，∴A城将受这次沙尘暴的影响；（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，由题意得CE=＝＝90（km），∴EF=2CE=2×90=180（km），∴A城受沙尘暴影响的时间为：180÷12=15（时），答：A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15时． 27．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．【答案】（1）详见解析；（2）．∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，（2）解：∵AC⊥BD，∴OE=AD，∴OE=CD；∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=．∴在Rt△ACE中，AE=．28．如图所示铁路上A．.B两站（视为两个点）相距25km，C．D为两村庄（视为两个点），CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=15km，DB=10km.现要在A．B之间建一个土特产收购站E，当AE=xkm时,（1）求CE+DE的长。（用含x的式子表示）（2）E在什么位置时CE+DE的长最短。（3）根据上面的解答，求+的最小值。【答案】（1）+  （2）当E为CD与AB交点时CE+DE的长最短。（3）最小值为25.∴BE=25-x．由勾股定理可得：CE=，DE=．∴CE+DE=．（2）连接CD，如图1所示．当点E为AB与CD的交点时，CE+DE最短．∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，∴∠CAE=∠DBE=90°，又∵∠CEA=∠DEB，∴△CAE∽△DBE，∴，即，解得：x=15．∴当点E离点A15km时，CE+DE的长最短．解得，x=．此时．29．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC=AD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=2，OA=4，求线段BC的长．【答案】（1）见解析；（2） ∵OB=OC，AC=AD∴∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，∵OA⊥l，∴∠ADC+∠ABD=90°，而∠ABD=∠OBC，∴∠OCB+∠ACD=90°，∴∠ACO=90°∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：如图1，作直径BE，连接CE， 30．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为______________（直接写出答案）．【答案】（1）见解析；（2） BE＝AD＋CN. （3）.∴∠MCN＝45°.∴∠ACN＝∠ACD＋∠MCN＝90°.∵在Rt△ACN中, 点E是AN中点,∴AE＝CE＝AN.     ∵AE＝CE,  AB＝CB,∴点B，E在AC的垂直平分线上.∴BE垂直平分AC.∴BE⊥AC.     ∴∠ABE＝∠CBE.∵AB＝BC,∴BE⊥AC.     （2）BE＝AD＋CN（或2BE＝AD＋CN）.     证明：∵AB＝BC, ∠ABE＝∠CBE,∴AF＝FC.∵点E是AN中点,∴AE＝EN.∵四边形ABCD是正方形,∴BC＝AD.∴BF＝AD.∵BE＝BF＋FE,∴BE＝AD＋CN.     （3）.    31．如图，四边形ABCD是长方形．（1） P为长方形内一点（如图），求证: ;（2）探索若点P在AD边上(如图b）时，结论是否仍然成立．若成立请证明，不成立请说明理由。（3）探索若点P在长方形ABCD外(如图c）时，结论是否仍然成立．若成立请证明，不成立请说明理由。【答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立 . 则AE=BF,DE=CF。在RtΔAPE中，根据勾股定理得,在RtΔDPE中，根据勾股定理得,在RtΔBPF中，根据勾股定理得,在RtΔCPF中，根据勾股定理得,∴   ∴ (5分）