中考数学典例精做题集专题11 二次函数 中考数学典例精做题集（教师版）

※知识精要

1．形如 （其中为常数 ）的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的性质：

①抛物线的顶点坐标 ,对称轴 。

②当时，抛物线向上开口；在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，当时，y有最小值，最小值是 。

当时，抛物线向下开口；在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，当时，y有最大值，最大值是 。

③ 越大抛物线的开口越小， 越小抛物线的开口越大。

3.二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；

※要点突破

1. 一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

2.二次函数综合运用.解题关键点：画出图形，数形结合分析问题，把问题转化为相应函数问题解决.

※典例精讲

例．已知二次函数y = 2x2 -4x -6.

（1）用配方法将y = 2x2 -4x -6化成y = a (x - h) 2 + k的形式；并写出对称轴和顶点坐标。

（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？

（4）当x取何值是，，y<0，

（5）当时，求y的取值范围；

（6）求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积.

【答案】（1）  x=1，（1，-8）;（2）图略;（3）x<1; （4）x=1或-3，x<-1或x>3，-1<x<3;（5） ;（6）12

(2)如图所示:

※课堂精练

一、单选题

1．抛物线的顶点坐标（        ）

A． (-3，4)           B． (-3，-4)   

C． (3，-4)           D． (3，4)

【答案】D

【解析】

因为是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（-3， 4），

故选D．

2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象　　

A． 先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位

B． 先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位

C． 先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位

D． 先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位

【答案】A

3．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（    ）

A．              B．    

C．               D．

【答案】A

【解析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．

解：设此函数解析式为：y=ax2（a≠0），

那么（2，-2）应在此函数解析式上．

则-2=4a

即得a=-，

那么y=-x2．

故选A．

4．已知二次函数的部分图象如图所示，若连接该函数与坐标轴的交点所得到的三角形面积为20，则该函数的最大值为　　

A．           B．           C． 5        D．

【答案】D

5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是　　

A． ，    B． ，   

C． ，    D． ，

【答案】A

6．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

小聪观察上表，得出下面结论：抛物线与x轴的一个交点为； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是；在对称轴左侧，y随x增大而增大其中正确有　　

A．         B．        C．        D．

【答案】D

【解析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当时，，即抛物线与x轴的交点为和；因此可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质即可进行判断．

解：根据图表，当，，根据抛物线的对称形，当时，，即抛物线与x轴的交点为和；

抛物线的对称轴是直线，

根据表中数据得到抛物线的开口向下，

当时，函数有最大值，而不是，或1对应的函数值6，

并且在直线的左侧，y随x增大而增大，

所以正确，错，

故选D．

【点睛】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．

7．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：

；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．

其中正确的有　　

A． 5个    B． 4个    C． 3个    D． 2个

【答案】B

方程有两个不相等的实数根，故正确；

抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，

抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确；

抛物线的对称轴是，

有最大值是，

点在该抛物线上，

，故正确，

本题正确的结论有：，4个，

故选B．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．

8．（题文）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　　；；；；的实数其中正确结论的有　　

A．     B．     C．     D．

【答案】B

，故不正确；

当时，，

，故正确；

由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确；

，

，

，

，

，故不正确；

当时，y的值最大此时，，

而当时，，

所以，

故，即，故正确，

故正确，

故选B．

9．已知二次函数为常数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为　　

A． 1或    B． 或5    C． 1或    D． 1或3

【答案】C

10．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ）

A．     B．    

C．     D．

【答案】B

11．已知函数y1=x2与函数y2=x+3的图象如图所示，若y1<y2，则自变量x的取值范围是(　　)

A． -<x<2            B． x>2或x<-   

C． -2<x<             D． x<-2或x>

【答案】C

12．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（  ）

A． 4    B． ﹣4    C． ﹣6    D． 6

【答案】C

【解析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值，由2017÷5=403…2，可知点P（2018，m）在此“波浪线”上C404段上，求出C404的解析式，然后把P（2018，m）代入即可．

解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5，则A1（5，0），

∴OA1=5，

∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，

∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，

∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），

当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，

即m=﹣6．

故选：C．

13．把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是_____．

【答案】y=（x﹣2）2﹣1

14．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______

【答案】

【解析】

抛物线，

顶点坐标为，

顶点在第一象限，

且，

的取值范围为，

故答案为：．

15．若，， 为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______．

【答案】

【解析】

，

，

，

，

．

故答案为：．

16．已知抛物线与关于原点对称，我们称与互为“和谐抛物线”请写出抛物线的“和谐抛物线”______．

【答案】

【解析】

抛物线的“和谐抛物线”是，
化简，得，
故答案为：．

17．将抛物线向上平移一个单位，向右平移两个单位，直线恰好经过平移后的抛物线的顶点，则b的值是______．

【答案】

18．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________

【答案】0或4

【解析】根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可.

解：令y=5，可得x2－2x－3=5，

解得x=-2或x=4

所以m-2=-2，m=4

即m=0或4.

故答案为：0或4.

19．某数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列了如下表格：

根据表格中的信息回答问题：当x=3时，y=____.

【答案】-4

20．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是___．

【答案】

【解析】在同一坐标系xOy中,画出函数二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象,如图所示,

设它们交于点A、B,令-x2+1=-x,即x2-x-1=0,解得:x=或,

∴A（,）,B（,）,观察图象可知:

当x≤时,min{-x2+1,-x}=-x2+1,函数值随x的增大而增大,其最大值为,

当＜x≤时,min{-x2+1,-x}=-x,函数值随x的增大而减小,没有最大值;

当x＞时,min{-x2+1,-x}=-x2+1,函数值随x的增大而减小,最大值为

综上所示,min{-x2+1,-x}的最大值是,故答案为:

21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．

【答案】y=x2﹣x﹣2．

22．已知二次函数（为常数）.

（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；

（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？

【答案】（1）证明见解析；（2）时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

【解析】（1）首先求出与x轴交点的横坐标，,即可得出答案;

(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.

解：

（1）证明：当时，.

解得，.

当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.

所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.

（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.

当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

23．某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:

（1）求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

（2）求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?

（3）该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为多少?

【答案】（1）y与x之间的函数关系式y=-2x+60(10≤x≤18)；（2）当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是192元；（3）该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为16元.

（2）W=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600,

对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,

∵10≤x≤18,∴当x=18时,W最大,最大为192.

即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是192元

（3）由168=-2x2+80x-600,

解得x1=16,x2=24(不合题意,舍去)

答:该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为16元.

24．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，

其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．

（1）求抛物线的表达式及点B坐标；

（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．

①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；

②线段EF长的最大值是     ．

【答案】（1）y＝－x2＋x＋2，B（4，0）；（2）①－m2＋2m；② 2

当y＝0时，x1＝－1，x2＝4，故B(4，0)

（2）①设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，将B(4，0)、 C(0，2)代入

得：y＝－x＋2，

EF＝FG－GE＝－m2＋m＋2－(－m＋2)

＝－m2＋2m

② 2            

26．如图，已知抛物线过点，，，顶点为D．

求抛物线的解析式；

设点，当的值最小时，求m的值；

若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求的面积的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

解得

抛物线的解析式为

配方，得，顶点D的坐标为

作B点关于直线的对称点，如图1

，

则，由得，

可求出直线的函数关系式为，

当在直线上时，的值最小，

则．

，

当时，的面积的最大值是；

27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P、Q分别是AB、BC上的动点，当点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设P、Q同时运动的时间为t秒（0<t<2).

（1）求抛物线的表达式；

（2）设△PBQ的面积为S ，当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？

【答案】（1）y=x2−x−3；（2）当t=1时，S△PBQ最大=.；（3）当t的值是秒或秒或秒时,△CPQ为等腰三角形.

∴PB=6−3t.

由题意得,点C的坐标为(0,−3).

在Rt△BOC中,BC=.

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H.

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC

∴,即

∴HQ=t.

∴S△PBQ=PB⋅HQ= (6−3t)⋅ t=−t2+

t=− (t−1)2+.

∴当t=1时，S△PBQ最大=.  （）

答：运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是；