中考数学典例精做题集专题13 抛物线与压轴题（2） 中考数学典例精做题集（教师版）

这是一份中考数学典例精做题集专题13 抛物线与压轴题（2） 中考数学典例精做题集（教师版），共25页。试卷主要包含了抛物线与等腰三角形，抛物线与直角三角形，抛物线与图形的面积等内容，欢迎下载使用。
二、抛物线与等腰三角形4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，对称轴为的抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D、点P是该抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，分别交线段BD、BC于点F、G，设点P的横坐标为．求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；求证：；；当为等腰三角形时，求t的值．【答案】 ，D坐标为；证明见解析；证明见解析；t的值为或．分三种情况讨论：Ⅰ若则；Ⅱ若则；Ⅲ若则；分别解方程可得.解：直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，．抛物线的对称轴为，点A坐标为设所求抛物线的函数关系式为，把点代入，得，解得．所求抛物线的函数关系式为：，即．该抛物线的顶点D的坐标为．，．易得直线DB所对应的函数关系式为．设点P的坐标为，则，，，．，即．过点D作轴，垂足为点H，如图． 分三种情况讨论：Ⅰ若则，    整理得，解得，舍去．Ⅱ若则，整理得，解得，．，这种情况不存在． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？ 【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）当t=1时，△PNE是等腰三角形．【解析】（1）由C（0，﹣2）知OC=2，根据tan∠BCO==2得OB=4，据此得出点B坐标，再由OB=4OA可得点A坐标；（2）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得a、b的值，从而得出答案；（3）由题意知AN=2t、BM=t，根据tan∠BME=tan∠BCO=2知=，求得OE=OB﹣BE=4﹣t，从而得出PE=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，再分点N在点E左侧和右侧两种情况，表示出NE的长，利用NE=PE列方程求解可得答案．（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）设点M、点N的运动时间为t（s），则AN=2t、BM=t，∵PE⊥x轴，∴PE∥OC，∴∠BME=∠BCO，则tan∠BME=tan∠BCO，即=2，∴=，即 =，则BE=t，∴OE=OB﹣BE=4﹣t，∴PE=﹣[（4﹣t）2﹣（4﹣t）﹣2]=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，∵△PNE是等腰三角形，∴PE=NE，即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，整理，得：t2﹣11t+10=0，解得：t=1或t=10＞（舍）； 6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（1，﹣4）或（，﹣2﹣1）．②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，n2﹣2n﹣3=2-4，P（3-，2-4）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．三、抛物线与直角三角形7．如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C．求抛物线的解析式；是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；连接AC，直接写出为直角三角形时点P的坐标．【答案】（1）；（2）当时，线段PC最大且为；（3）为直角三角形时，点P的坐标为或(3)当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．解：在直线上，，，，在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为；设动点P的坐标为，则C点的坐标为，，，，，当时，线段PC最大且为；设直线AM的解析式为：，则：，解得，直线AM的解析式为：  ，又抛物线的解析式为： ，联立式，解得：或与点A重合，舍去，，即点C、M点重合，当时，，；若点C为直角顶点，则．，抛物线的对称轴为直线，如图2，作点关于对称轴的对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，，，点、均在线段AB上，综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为或8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过B、C两点，与y轴的另一个交点为点A，P为线段BC上一个动点不与点B、点C重合．求抛物线的解析式；设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、PD，当为直角三角形时，求点P的坐标；过点C作轴，交抛物线于点E，如图2，求的最小值．【答案】抛物线的解析式为；点P的坐标为或；的最小值为10．解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为抛物线经过B、C两点，，解得：，抛物线的解析式为．抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，点D的坐标为．设点P的坐标为过点P作轴于Q，则点．当时，如图3，，，，∽，，即，综上所述，点P的坐标为或连接AE，交BC于点F，在的内部作，BH与AE交于点H，过点P作，垂足为R，连接PE，如图5所示．，，．点C与点E、点A与点B均关于直线对称，，，，，当且仅当点P与点F重合时，等号成立．，，对称轴为直线，，且点A的坐标为，，，即的最小值为5，的最小值为10．9．已知，抛物线经过点和．求抛物线的解析式；在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）当的值最小时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为、、或.解：将、代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为．连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图1所示．当时，有，解得：，，点B的坐标为．抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线．设直线BC的解析式为，将、代入中，得：，解得：，直线BC的解析式为．当时，，当的值最小时，点P的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点M的坐标为、、或10．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）如图2，四、抛物线与图形的面积11．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．求直线OA和二次函数的解析式；当点P在直线OA的上方时，当PC的长最大时，求点P的坐标；当时，求点P的坐标．   【答案】，；；．解：，轴，P在上，C在上，，，，，，①，当时，PC的长最大，；②当时，即，当时，则有，解得，舍去，．12．如图，已知抛物线过点，，，顶点为D．求抛物线的解析式；设点，当的值最小时，求m的值；若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.配方，得，顶点D的坐标为作B点关于直线的对称点，如图1，则，由得，可求出直线的函数关系式为，当在直线上时，的值最小，则． 13．如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，1)的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知C点坐标为(6，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)连结AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积．    【答案】(1)y＝－x2＋2x－3；(2) 直线BD与⊙C相离．证明见解析；(3) P点的位置是(3， )，△PAC的最大面积是.（3）根据抛物线解析式设点P的坐标为（x，-x2+2x-3），过点P作PQ∥y轴交直线AC于Q，求出直线AC的解析式并表示出点Q的坐标，然后求出PQ的长，再根据三角形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题确定出点P的横坐标，再求出纵坐标，即可得解．解：(1)y＝－x2＋2x－3.　(2)补全图形如图1，判断：直线BD与⊙C相离．证明：令－ (x－4)2＋1＝0，则x1＝2，x2＝6.  ∴B点坐标(2，0)．又∵抛物线交y轴于点A，∴A点坐标为(0，－3)，∴AB＝＝.设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF＝2，作CE⊥BD于点E，则∠BEC＝∠AOB＝90°.∵∠ABD＝90°，∴∠CBE＝90°－∠ABO，又∵∠BAO＝90°－∠ABO，∴∠BAO＝∠CBE，∴△AOB∽△BEC，∴＝，∴＝，∴CE＝＞2，∴直线BD与⊙C相离. (3)如图2，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q， 14．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.①若点P的横坐标为，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ）；②△PQD面积的最大值为8详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为-时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（-，），点Q的坐标为（，-）．
设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直线PQ的表达式为y=-x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．