中考数学典例精做题集专题13 抛物线与压轴题（1）中考数学典例精做题集（教师版）

※知识精要

二次函数的综合应用，涉及待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识。

※要点突破

1.熟练掌握待定系数法求函数的解析式

2. 是认真分析，弄清解题的思路和方法.

3. 会运用分类讨论的思想解决数学问题.

※典例精讲

例1．如图，已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数。（1）求k的值；           

（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值．       

【答案】(1) k=1或2；(2) 当t=﹣时，MN有最大值，最大值为

解方程组得或，则A（﹣2，0），B（1，3），

设M（t，t+2）（﹣2＜t＜1），则N（t，t2+2t），           

所以MN=t+2﹣（t2+2t）=﹣t2﹣t+2=﹣（t+）2+，           

当t=﹣时，MN有最大值，最大值为．   

例2．如图，已知二次函数c为常数的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

求该二次函数的解析式及点M的坐标．

过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与相似，请直接写出所有点N的坐标直接写出结果，不必写解答过程．

【答案】二次函数解析式为，点M的坐标为； 存在平行四边形，； ，，，．

二次函数解析式为，

配方得，

点M的坐标为；

由知，当时，

，

解之，或

 、

令P点横坐标为m，

当PQ与BC边相交时，

，

此时不存在平行四边形．

当PQ与AB 边相交时，

、

，

令

，

化简，得，

解得，

当时，，

点坐标为，

此时，存在平行四边形，；

由此可知，若点N在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点

若有∽，则有，

，，

，

，

，

若点N在y轴右侧，作轴，

，

，

把代入，解得，

；

同理可得，若点N在y轴左侧，

把代入，解得

；

※课堂精练

一、抛物线与相似三角形

1．如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．

求抛物线的解析式；

点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；

条件同，若与相似，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或

设点P的坐标为，

，，

，

；

当∽时，，即，

整理得：，

解得：或舍去，

，，

点P的坐标为；

当∽，则，即，

整理得，

解得：或舍去，

，，

点P的坐标为，

综上所述点P的坐标为或

2．抛物线过点和，点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP，在AP右侧作，且，点B经过矩形AOED的边DE所在的直线，设点P横坐标为t．

求抛物线解析式；

当点D落在抛物线上时，求点P的坐标；

若以A、B、D为顶点的三角形与相似，请直接写出此时t的值．

【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）当、时，以A、B、D为顶点的三角形与相似．

解：由题意得，

解得．

故抛物线的解析式为：；

，

，

易证，∽，

，

，

，，

，

，，

．

假设在抛物线上，有，

解得 或，

，

，

即当时，点D落在抛物线上．

化简得，此时t无解．

若∽，

∽，

∽，

，即，化简得：，

解得：．

，

．

当时，如图2，

3．如图1，经过原点O的抛物线与x轴交于另一点，在第一象限内与直线交于点．

求这条抛物线的表达式；

在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

如图2，若点M在这条抛物线上，且，在的条件下，是否存在点P，使得∽？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）或

解：在直线上，

，

，

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

抛物线解析式为；

如图1，过C作轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作于点F，

点C是抛物线上第四象限的点，

可设，则，，

，，，

，

的面积为2，

，解得，

；

≌，

，

，

可设直线BN解析式为，

把B点坐标代入可得，解得，

直线BN的解析式为，

联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，

，

，

，，

，，

；

当点P在第三象限时，如图4，过M作轴于点G，过P作轴于点H，

同理可求得，，

；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或