2022年中考数学压轴题突破专题01 新定义材料阅读类创新题

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2022年中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练（江苏专用）
专题1新定义材料阅读类创新题
本专题共精选2021、和2020和2019年中考真题14道，中考模拟题24道，6个题组，每个题组4道解答题，可作为课后作业或每日一练使用.
【真题再现】
1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
（活动）
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

（思考）
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ　　（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

（应用）
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为　　．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围　　．
2．（2021·江苏南京·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．


（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．


3．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
4．（2021·全国·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．


5．（2020年南通中考第27题）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设AEBE=u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
6．（2020年常州中考第27题）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　D　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　10　；
②若直线n的函数表达式为y=3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是45，求直线l的函数表达式．

7．（2020年南京中考第27题）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

8．（2020年镇江中考第27题）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　5　，AC长等于　8　；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22−1、22+1，Q是AB的中点，则点　N　是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）的实际意义；
②写出a、m的数量关系：　m＝4a　．

9．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5−12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　（105−10）　cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

10．（2020年扬州中考第27题）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝　﹣1　，x+y＝　5　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　﹣11　．
11．（2019年南京第27题）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　3　．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　（1，2）　．
（2）函数y=4x（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
12（2019年南通第28题）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点　P2　是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．
13．（2019年常州第26题）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　1+3+5+7+…+2n﹣1．　；
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　6　；当n＝5，m＝　3　时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝　n+2（m﹣1）　（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

14．（2019年镇江第26题）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．（π取3.1）
【专项突破】
【题组一】
1.（2021•海安市模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P（0，4），Q（a，0）．
（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（23，23）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为　B，C　．
（2）如图2，a=43，
①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．

2．（2020•建邺区二模）概念认识
如果MN的两个端点M、N分别在∠AOB的两边上（不与点O重合），并且MN除端点外的所有点都在∠AOB的内部，则称MN是∠AOB的“连角弧”．
初步思考
（1）如图，∠AOB＝90°，MN是以O为圆心，半径为1的一个“连角弧”．
①图中MN的长是　π2　．
②以M、N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是　32π　．
（2）∠AOB＝60°，M是OA上一点，OM＝2，N是OB上一动点．若MN是半圆，也是∠AOB的“连角弧”，求ON的长的取值范围．
深入研究
（3）已知∠AOB，M、N分别在射线OA、OB上，ON＝4，MN是∠AOB的“连角弧”，且MN所在圆的半径为1，直接写出∠AOB的取值范围．

3．（2019•建邺区一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，且AE＝AD．证明：四边形ABCE是“等对角四边形”．
（2）如图②，在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，AB＝17，BC＝18，求CD的长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
（3）如图③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四边形ABCD是“等对角四边形”，且∠B＝∠D，则BD的最大值是　4+43　．（直接写出结果）
4．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）（阅读）定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．

（理解）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
如图②，在△ABC中，已知AC＝BC且∠C＝45°，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数．
（应用）
在△ABC中，∠C＝24°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【题组二】
5．（2019•溧水区一模）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：
当点A位于　CB的延长线上　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　a+b　（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

6．（2019•淮阴区一模）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．
【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．
【从特殊入手】
我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．
【问题解决】
已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
求证：　AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2　．
证明：
7．（2020•秦淮区二模）数学概念
如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”．
概念理解
（1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）；
性质探究
（2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA；
知识运用
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F．
①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”；
②若BE=52，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为　3　，　27216　．

8．（2020•海门市一模）点A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy中的任意两点，给出如下定义：A，B两点之间的“加密距”T（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．例如：A（1，﹣2），B（4，﹣1）两点之间的“加密距”T（A，B）＝|1﹣4|+2|（﹣2）﹣（﹣1）|＝3+2＝5．
（1）若矩形ABCD的顶点A （0，5），B （2，5），D （0，2），则T（D，B）＝　8　，T（O，C）＝　6　；
（2）求所有符合条件T（O，F）＝4的动点F（x，y）组成图形的面积；
（3）若点P（﹣3，3），动点Q（m，3），当半径为1的⊙Q上存在点M使T（P，M）＝8时，求m的取值范围（直接写出结果）．
【题组三】
9．（2019•邗江区一模）【操作体验】
如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA，OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；
所以图中P1，P2即为所求的点．
（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°；
【方法迁移】
（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°，（不写做法，保留作图痕迹）．
【深入探究】
（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为　2≤m＜1+2　．
（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为　34−2　．
10．（2019•如皋市一模）定义：把函数y=m|x|（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y=m|x|（m＜0）的图象叫做负值双曲线．
（1）请写出正值双曲线的两条性质；
（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y=m|x|（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．
①求直线l的解析式和m的值；
②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2020•南京一模）【概念认识】
在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．

【数学理解】
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，BEAE=13．求AB的长度；
【问题解决】
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD=12AB，且CD⊥AB，垂足为F．
①在图③中，利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹，不写作法）；
②若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围．
12．（2020•溧阳市模拟）阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系xOy．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴对应的实数为a，点B在y轴对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P在平面斜坐标系xOy中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy中，已知θ＝60°，点P的斜坐标是（3，6），点C的斜坐标是（0，6）．
（1）连接OP，求线段OP的长；
（2）将线段OP绕点O顺时针旋转60°到OQ（点Q与点P对应），求点Q的斜坐标；
（3）若点D是直线OP上一动点，在斜坐标系xOy确定的平面内以点D为圆心，DC长为半径作⊙D，当⊙D与x轴相切时，求点D的斜坐标．

【题组四】
13．（2020·江苏·南通田家炳中学一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．
（1）已知点A（4，0）；
①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；
②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为　 　；
（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标的取值范围．
14．（2019•海门市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（2，4），连结AB．若对于平面内一点P，线段AB上只要存在点Q，使得PQ≤13AB，则称点P是线段AB的“卫星点”．
（1）在点C（4，2），D（2，−16），E（43，2）中，线段AB的“卫星点”是点　E　；
（2）若点P1，P2是线段AB的“卫星点”（点P1在点P2的左侧），且P1P2＝1，P1P2∥x轴，点F坐标为（0，2）．
①若将△P1P2F的面积记为S，当S最大时，求点P1的坐标；
②直线FP1的解析式y＝mx+2（m≠0），直线FP2的解析式y＝nx+2（n≠0），求mn的取值范围．

15．（2020•天宁区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1），对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．已知点E（3，0）．
（1）直接写出d（点E）的值；
（2）过点E作直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
（3）设T是直线y＝﹣x+3上一点，以为T圆心，2长为半径作⊙T，若d（⊙T）满足d（⊙T）＞3210+2，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．

16．（2021·江苏·常州市第二十四中学一模）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
【题组五】
17．（2020•连云区二模）爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例研究】
（1）如图1，当tan∠PAB＝1，c＝42时，a＝　45　，b＝　45　；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相交于点G，AD＝53，AB＝3，求AF的长．

18．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）问题提出：
（1）如图①，在中，，，，若平分交于点，那么点到的距离为______．

问题探究：
（2）如图②，四边形内接于，为直径，点是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积．
问题解决：
（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，如图③所示是其中一块圆形场地，设计人员准备在内接四边形区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形满足，，且（其中），为让游客有更好的观体验，四边形花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．
19．（2020•江都区三模）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P　是　边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB•tan∠PBA的最小值．

20．（2020•江都区三模）阅读理解题．
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．
如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形”．
问题：
（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中是“美妙四边形”的有　2　个；
（2）四边形ABCD是“美妙四边形”，AB＝3+3，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．（画出图形并写出解答过程）

【题组六】
21．（2021·江苏吴江·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
22．（2021·江苏吴中·二模）定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．
23．（2021·江苏射阳·三模）（阅读理解）设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形中，若，则称为边的“和谐点”．
（解题运用）已知，点在矩形内部，且，．

（1）设是边的“和谐点”，则_____边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接，，求的值．
（2）若是边的“和谐点”，连接，，当时，求的值；
（3）如图2，若是边的“和谐点”，连接；，，求的最大值．
24．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图．


（1）已知点，
①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_____________，__________；
②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；
（2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围__________．

2022年中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练（江苏专用）
专题1新定义材料阅读类创新题
本专题共精选2021、和2020和2019年中考真题14道，中考模拟题24道，6个题组，每个题组4道解答题，可作为课后作业或每日一练使用.
【真题再现】
1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
（活动）
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

（思考）
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ　　（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

（应用）
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为　　．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围　　．
【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】（1）①；②；（2）＜t＜
【分析】
[活动]如图1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线；
[思考]如图2，证明△OQN≌△OPM（AAS），根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线；
[应用]
（1）①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3﹣1和3﹣2，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算P和Q的坐标，利用两点的距离公式可得PQ的长，并比较大小可得结论；
②当GH⊥AB时，GH最小，设BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可；
（2）如图5，由已知得：CD＝tAF，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，列不等式可得t的取值．
【详解】
解：【活动】如图1，直线O1O2是该L图形的面积平分线；

【思考】
如图2，∵∠A＝∠B＝90°，

∴AF∥BC，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵点O是MN的中点，
∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴△OQN≌△OPM（AAS），
∴S△OQN＝S△OPM，
∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，
∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，
即SABPON＝SCDEFQOM，
∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，
即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】
（1）①如图3﹣1，以直线OC为x轴，OA为y轴，以B为原点，建立平面直角坐标系，同理确定L图形ABCDEF的面积平分线：直线O1O2，

∵AB＝4，BC＝6，AF＝CD＝1，
∴B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1，0），
∴线段BF的中点O1的坐标为（，2），线段DK的中点O2的坐标为（，），
设直线O1O2的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线O1O2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，
∴Q（，0），
当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，
∴P（，1），
∴PQ＝＝；
如图3﹣2，同理确定平面直角坐标系，画出L图形ABCDEF的面积平分线：直线O3O4，

∵G（0，1），F（1，4），C（6，0），
∴线段GF的中点O3的坐标为（，），线段CG的中点O4的坐标为（3，），
设直线O3O4的解析式为：y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线O3O4的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，
∴Q（，0），
当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，
∴P（，1），
∴PQ＝＝；
∵＜；
∴PQ长的最大值为；
②如图4，当GH⊥AB时GH最短，过点E作EM⊥AB于M，

设BG＝x，则MG＝1﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，
解得x＝，即BG＝；
故答案为：；
（2）∵＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，

即（4﹣tAF）•AF＜6t•AF，
∴，
∵0＜AF＜6，
∴0＜﹣6＜6，
∴．
故答案为：＜t＜．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
2．（2021·江苏南京·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．


（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．


【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．
【分析】
（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；
②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．
【详解】
解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；
设∠AOC=n°，
∵圆锥的母线长为， 的长为，
∴，
∴；
连接OA、CA，
∵，
∴是等边三角形，
∵B为母线的中点，
∴，
∴．

（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l
② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，
由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，
作BE⊥OG，垂足为E，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，
因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．

【点睛】
本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．
3．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；

（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；

当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（2021·全国·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．


【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【分析】
由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，
∴，
∴，
或，
∴，
当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，
若，解得：，
即点，
若，解得：，
即点，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
5．（2020年南通中考第27题）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设AEBE=u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值．
（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形．
（3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题．．
【解析】（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．

∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，AE=AB2−BE2=52−32=4，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴EBCF=ABCD，
∴3CF=54，
∴CF=125，
∴sin∠CAD=CFAC=1255=1225．

（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．

理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形．

（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝22，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴BEAB=AEAD，
∴AEBE=ADAB，
∴u=AD4，
设D（x，t），
由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2，
在Rt△ADH中，AD=AH2+DH2=(x+1)2+t2=2t，
∴u=AD4=t2（0＜t＜4），
即u=t2（0＜t＜4）．
6．（2020年常州中考第27题）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　D　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　10　；
②若直线n的函数表达式为y=3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是45，求直线l的函数表达式．

【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．
②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．
（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．
【解析】（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10，
故答案为：D，10．

②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．

设直线y=3x+4交x轴于F（−433，0），交y轴于E（0，4），
∴OE＝4，OF=433，
∴tan∠FEO=OFOE=33，
∴∠FEO＝30°，
∴OH=12OE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，
∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．

（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．

当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN＝22，EN•NH＝45，
∴NH=10，
∵N（﹣1，0），M（1，4），
∴MN=22+42=25，
∴HM=MN2−NH2=20−10=10，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵MN的中点K（0，2），
∴KN＝HK＝KM=5，
∴H（﹣2，3），
把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有k+b=4−2k+b=3，
解得k=13b=113，
∴直线l的解析式为y=13x+113，
当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y=13x+113或y＝﹣3x+7．
7．（2020年南京中考第27题）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【分析】（1）由轴对称的性质可得CA＝CA'，可得AC+BC＝A'C+BC＝A'B，AC'+C'B＝A'C'+BC'，由三角形的三边关系可得A'B＜A'C'+C'B，可得结论；
（2）①由（1）的结论可求；
②由（1）的结论可求解．
【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，
∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，
∴CA＝CA'，
∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，
同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如图③，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB；（其中点D是正方形的顶点）；
如图④，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DE+EB，（其中CD，BE都与圆相切）
8．（2020年镇江中考第27题）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　5　，AC长等于　8　；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22−1、22+1，Q是AB的中点，则点　N　是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）的实际意义；
②写出a、m的数量关系：　m＝4a　．

【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组m+4b=12am+2b=8a，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
【解析】（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB=22+1﹣（22−1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ=22+1﹣1=22，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；

（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．

+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
9．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5−12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　（105−10）　cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

【分析】（1）由黄金分割点的概定义可得出答案；
（2）延长EA，CG交于点M，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，则EM＝EC，根据勾股定理求出CE的长，由锐角三角函数的定义可出tan∠BCG=5−12，即BGBC=5−12，则可得出答案；
（3）证明△ABE≌△BCF（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AE，证明△AEF∽△BPF，得出AEBP=AFBF，则可得出答案．
【解析】（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB=5−12×20＝（105−10）cm．
故答案为：（105−10）．
（2）延长EA，CG交于点M，

∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC=DE2+DC2=102+202=105，
∴EM＝105，
∴DM＝105+10，
∴tan∠DMC=DCDM=20105+10=25+1=5−12．
∴tan∠BCG=5−12，
即BGBC=5−12，
∵AB＝BC，
∴BGAB=5−12，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴AEBP=AFBF，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴AFBF=BFAB，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴AFBF=BFAB=AEBC，
∴AEBP=AEBC，
∴BP＝BC．
10．（2020年扬州中考第27题）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝　﹣1　，x+y＝　5　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　﹣11　．
【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得m+n+p的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．
【解析】（1）2x+y=7①x+2y=8②．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由13（①+②）可得：x+y＝5．
故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意，得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
11．（2019年南京第27题）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　3　．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　（1，2）　．
（2）函数y=4x（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）由条件知x＞0，根据题意得x+4x=3，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．
【解析】（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x+y＝3，
∴x+y=3y=−2x+4，
解得：x=1y=2，
∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）；
（2）假设函数y=4x(x＞0)的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
根据题意，得|x−0|+|4x−0|=3，
∵x＞0，
∴4x＞0，|x−0|+|4x−0|=x+4x，
∴x+4x=3，
∴x2+4＝3x，
∴x2﹣3x+4＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）设D（x，y），
根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，
∵x2−5x+7=(x−52)2+34＞0，
又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
点睛：考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质等．
12（2019年南通第28题）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点　P2　是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．
【分析】（1）若x，y满足x2+2y＝t，y2+2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得出结论；
（2）由新定义得出m2+2n＝t，n2+2m＝t，得出m2+2n﹣n2﹣2m＝0，m2+2n+n2+2m＝2t，分解因式得出（m﹣n）（m+n﹣2）＝0，得出m+n＝2，mn＝4﹣t，由完全平方公式得出（m+n）2﹣4mn＞0，得出mn＜1，即可得出结果；
（3）证出△AOB是等腰直角三角形，求出∠POQ＝120°或60°，得出P、Q两点关于y＝x对称，再分两种情况讨论，求出t的值即可．
【解析】（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣2y＝t，y2﹣2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5，
∴点P1不是线点；
∵P2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2；
（2）∵点P（m，n）为“线点”，
则m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，
∴m2﹣2n﹣n2+2m＝0，m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m﹣n）（m+n+2）＝0，
∵m≠n，
∴m+n+2＝0，
∴m+n＝﹣2，
∵m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）＝2t，
即：（﹣2）2﹣2mn+2×2＝2t，
∴mn＝4﹣t，
∵m≠n，
∴（m﹣n）2＞0，
∴m2﹣2mn+n2＞0，
∴（m+n）2﹣4mn＞0，
∴（﹣2）2﹣4mn＞0，
∴mn＜1，
∵mn＝4﹣t，
∴t＞3；
（3）设PQ直线的解析式为：y＝kx+b，
则n=mk+bm=nk+b，
解得：k＝﹣1，
∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵|∠AOB﹣∠POQ|＝30°，
∴∠POQ＝120°或60°，
∵P（m，n），Q（n，m），
∴P、Q两点关于y＝x对称，
①若∠POQ＝120°时，如图1所示：
作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．

∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON=12∠POQ＝60°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POC＝∠QOD＝15°，
在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠CTP＝30°，
∴PT＝2PC＝2n，TC=3n，
∴﹣m=3n+2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得：m＝﹣1−3，n=3−1，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1−3）（﹣1+3）＝4﹣t，
解得：t＝6，
②若∠POQ＝60°时，如图2所示，
作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．

∵P、Q两点关于y＝x对称，
∴∠PON＝∠QON=12∠POQ＝30°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POD＝∠QOC＝15°，
在OD上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠DTP＝30°，
∴PT＝2PD＝﹣2n，TD=−3n，
∴﹣m=−3n﹣2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得m＝﹣1−33，n＝﹣1+33，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1−33）（﹣1+33）＝4﹣t，
解得：t=103，
综上所述，t的值为：6或103．
点睛：本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点”、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．
13．（2019年常州第26题）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　1+3+5+7+…+2n﹣1．　；
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　6　；当n＝5，m＝　3　时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝　n+2（m﹣1）　（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．
【解析】（1）有三个Rt△其面积分别为12ab，12ab和12c2．
直角梯形的面积为12（a+b）（a+b）．
由图形可知：12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．
由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，

如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②算法Ⅰ．y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n边形内部共有 （3y﹣n）÷2条线段；算法Ⅱ．n边形内部有1个点时，其内部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有n+3（m﹣1）条线段，由 （3y﹣n）÷2＝n+3（m﹣1）化简得：y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
点睛：本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
14．（2019年镇江第26题）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．（π取3.1）
【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC＝67°，证出∠HBD＝∠DHC＝67°，由平行线的性质得出∠BEO＝∠HBD＝67°，由直角三角形的性质得出∠BOE＝23°，得出∠POB＝90°﹣23°＝67°；
（2）同（1）可证∠POA＝31°，求出∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝36°，由弧长公式即可得出结果．
【解析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：
则∠DHC＝67°，
∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°，
∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，
∵PQ⊥ON，
∴∠POE＝90°，
∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；
（2）同（1）可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，
∴AB=36×π×6400180=3968（km）．

点睛：本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
【专项突破】
【题组一】
1.（2021•海安市模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P（0，4），Q（a，0）．
（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（23，23）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为　B，C　．
（2）如图2，a=43，
①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．

【分析】（1）根据“Math点”的定义，结合图象判断即可．
（2）①首先证明∠PQO＝30°，当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（23，2），当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（43，8），推出DE′＝43，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，求出点D到直线E′K的最小值，即可解决问题．
②如图3中，分别以O为圆心，2和47为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求出直线MN与大圆或小圆相切时b的值，即可判断．
【解析】（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．
故答案为：B，C．


（2）如图2中，∵P（0，4），Q（43，0），
∴OP＝4，OQ＝43，
∴tan∠PQO=33，
∴∠PQO＝30°，
①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（23，2），

∵D（0，8），
∴DE=(23)2+62=43，
当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（43，8），
∴DE′＝43，
观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，
∵E′Q⊥OQ，
∴∠E′QO＝90°，
∴∠E′QK＝60°，
∴∠E′KQ＝90°，
∴∠EE′Q＝30°，
∵DE′∥OQ，
∴∠DE′K＝60°，
∵DE′＝DK，
∴△DE′K是等边三角形，
∵点D到E′K的距离的最小值为43•sin60°＝6，
∴6≤DE≤43．

②如图3中，分别以O为圆心，2和47为半径画圆，

当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，
当直线MN与小圆相切时，b＝±4，
当直线MN与大圆相切时，b＝±87，
观察图象可知，满足条件的b的值为：4≤b＜87或−87＜b≤−4．
2．（2020•建邺区二模）概念认识
如果MN的两个端点M、N分别在∠AOB的两边上（不与点O重合），并且MN除端点外的所有点都在∠AOB的内部，则称MN是∠AOB的“连角弧”．
初步思考
（1）如图，∠AOB＝90°，MN是以O为圆心，半径为1的一个“连角弧”．
①图中MN的长是　π2　．
②以M、N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是　32π　．
（2）∠AOB＝60°，M是OA上一点，OM＝2，N是OB上一动点．若MN是半圆，也是∠AOB的“连角弧”，求ON的长的取值范围．
深入研究
（3）已知∠AOB，M、N分别在射线OA、OB上，ON＝4，MN是∠AOB的“连角弧”，且MN所在圆的半径为1，直接写出∠AOB的取值范围．

【分析】（1）①利用弧长公式计算即可．如图1﹣1中，作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得劣弧MN．
②作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得优弧MN即为最长的弧．
（2）求出两种特殊情形ON的长即可判断．
（3）如图3中，当MN为直径，且NM⊥AB时，∠AOB的值最大，求出∠AOB的最大值即可．
【解析】（1）①MN的长=90⋅π⋅1180=π2．
如图1﹣1中，MN即为所求．

②作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得优弧MN即为最长的弧

优弧MN的长=270⋅π⋅1180=32π，
故答案为：①π2；②32π．


（2）如图2中，

∵OM＝2，∠AOB＝60°，
∴M（1，3），
当MN1⊥OB时，可得ON1＝1，此时t＝1，
当MN2⊥OM时，可得ON2＝4，此时t＝4，
观察图象可知满足条件的t的值为1≤t≤4．

（3）如图3中，当MN为直径，且NM⊥AB时，∠AOB的值最大，

在Rt△OMN中，∵sin∠AOB=MNON=24=12，
∴∠AOB＝30°，
观察图形可知满足条件的∠AOB的值为0°＜∠AOB≤30°．
3．（2019•建邺区一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，且AE＝AD．证明：四边形ABCE是“等对角四边形”．
（2）如图②，在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，AB＝17，BC＝18，求CD的长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
（3）如图③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四边形ABCD是“等对角四边形”，且∠B＝∠D，则BD的最大值是　4+43　．（直接写出结果）
【分析】（1）证明∠B＝∠E，即可证明四边形ABCE是“等对角四边形”；
（2））过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，先证明四边形EBFD为矩形，于是BE＝DF，BF＝DE，在Rt△CDF中，tan∠FCD=DFCF=tan53°=43，可设DF＝4x，CF＝3x，则CD＝5x
则BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A=DEAE=43，于是3DE＝4AE，列出方程3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），求得x＝2，即CD＝5x＝10；
（3））由∠ABC＝60°，可知点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的ABnC上运动，当BD经过圆心O时，BD最长，即为B1D的长，求出即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADE，
∵AE＝AD，
∠E＝∠ADE，
∴∠B＝∠E，
∴四边形ABCE是“等对角四边形”；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
又∠B＝90°，
∴四边形EBFD为矩形，
∴BE＝DF，BF＝DE，
在Rt△CDF中，
tan∠FCD=DFCF=tan53°=43，
设DF＝4x，CF＝3x，则CD＝5x
∴BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，
在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A=DEAE=43，
∴3DE＝4AE，
3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），
∴x＝2，
CD＝5x＝10
（3）∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，
∴∠CDA＝60°，∠ABC＝60°，
∴点B在以AC为边的等边三角形的外接圆的ABnC上运动，
∴当BD经过圆心O时，BD最长，即为B1D的长，
如图③，连接DO，与弧交于点B1，连接OC，作OE∥AC，与DC的延长线交于点E
∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，
∴AC＝43，
易知∠OCA＝30°，∠COE＝∠OCA＝30°，
∴OC＝OB＝4，CE＝2，OE=23，
∴DE＝CE+DC＝2+4＝6
∴OD=OE2+DE2=(23)2+62=43，
∴DB1＝OD+OB1＝43+4，
则BD的最大值是43+4．
故答案为43+4．

4．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）（阅读）定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．

（理解）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
如图②，在△ABC中，已知AC＝BC且∠C＝45°，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数．
（应用）
在△ABC中，∠C＝24°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【答案】【理解】作图见解析；【应用】．
【分析】
理解：根据∠A＝27°，∠C＝72°，先作 则即为所求，再根据三角形的外角的性质与内角和定理求解 在图上标注即可；由AC＝BC且∠C＝45°，可得画 过作 交于 从而可得答案；
应用：分三种情况分别画图，当时，当时，当时，再利用三角形的外角的性质与内角和定理列方程，再解方程可得答案.
【详解】
解：【理解】：如图①，

AC＝BC且∠C＝45°，

画图如图②所示，

【应用】
如图，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，当时，画图如下：
则都是等腰三角形，且


设 则 则

即
当时，如图，

则
设 则


即
当时，设 则


方程无解，
综上∠B的度数为：．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，“正确的理解题意，画出符合题意的图形”是解题的关键.
【题组二】
5．（2019•溧水区一模）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：
当点A位于　CB的延长线上　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　a+b　（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；

（3）如图1，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴OA＝2，OB＝6，
∴AB＝4，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN=2AP＝22，
∴最大值为22+4；
如图2，

过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE=2，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4−2=2−2，
∴P（2−2，2）．
如图3中，

根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2−2，−2）时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点P坐标（2−2，2）或（2−2，−2），AM的最大值为22+4．
6．（2019•淮阴区一模）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．
【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．
【从特殊入手】
我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．
【问题解决】
已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
求证：　AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2　．
证明：
【分析】【从特殊入手】：根据正方形的性质、勾股定理计算；
【问题解决】：根据题意写出已知、求证，连接CO并延长交定圆O于E，连接DE，根据圆周角定理证明∠ACB＝∠DCE，得到AB＝DE，根据勾股定理计算．
【解析】【从特殊入手】
如图，AC、BD是互相垂直的直径，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB2＝2R2，CD2＝2R2，
∴AB2+CD2＝4R2，
同理，AD2+BC2＝4R2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2；
【问题解决】
已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
求证：AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2，
证明：连接CO并延长交定圆O于E，连接DE，
∵AC⊥BD，
∴∠DBC+∠ACB＝90°，
∵CE是定圆O的直径，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴AB=DE，
∴AB＝DE，
在Rt△EDC中，DE2+CD2＝4R2，
∴AB2+CD2＝4R2，
同理，AD2+BC2＝4R2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2，
故答案为：AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2．


7．（2020•秦淮区二模）数学概念
如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”．
概念理解
（1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）；
性质探究
（2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA；
知识运用
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F．
①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”；
②若BE=52，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为　3　，　27216　．

【分析】（1）如图1，先作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，再作AE的垂直平分线交直线BC于点D，则点D即为所求；
（2）如图2，连接AD，证明∠DAC＝∠B，由公共角∠ADC＝∠ADC，可得结论；
（3）①如图3，连接AF，先证明AF平分∠BAC，根据AD＝DF和阿氏点的定义可得结论；
②如图4，由等腰三角形的判定得BC的长，根据相似三角形，列比例式计算AD和CE的长，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程可解答．
【解答】（1）解：如图1，点D即为所求．

（2）证明：如图2，连接AD，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠B＝∠DEA﹣∠BAE，
∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE，
∴∠B＝∠DAC，
又∵∠ADC＝∠ADC，
∴△DAB∽△DCA；
（3）①证明：如图3，连接AF，

在⊙D中，∵DA＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
在⊙O中，∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵∠BAF＝∠DFA﹣∠DBA，
∠CAF＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAF＝∠CAF，即AF是△ABE的角平分线，
又∵DA＝DF，
∴点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”；
②如图4，∵∠EAD＝∠DBA，∠ADE＝∠ADB，

∴△AED∽△BAD，
∴EDAD=ADBD，
∴AD2＝ED•BD＝2×（52+2）＝9，
∵AD＞0，
∴AD＝3，即⊙D的半径为3，
∵CD＝AD，
∴CD＝3，
∵AE＝AD＝3，
∴∠AED＝∠ADE＝∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE=52，
同理得：△CED∽△BCD，
∴CEBC=CDBD，即CE52=392，
∴CE=53，
∴AC＝AE+CE=53+3=143，
连接OD，OC，OD交AC于点M，
∵AD＝CD，
∴OD⊥AC，
∴CM=12AC=73，
∴DM=32−(73)2=423，
Rt△OCM中，OC2＝OM2+CM2，
设OC＝r，
则r2＝（r−423）2+（73）2，
解得：r=27216，
即⊙O的半径为27216，
故答案为：3，27216．
8．（2020•海门市一模）点A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy中的任意两点，给出如下定义：A，B两点之间的“加密距”T（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．例如：A（1，﹣2），B（4，﹣1）两点之间的“加密距”T（A，B）＝|1﹣4|+2|（﹣2）﹣（﹣1）|＝3+2＝5．
（1）若矩形ABCD的顶点A （0，5），B （2，5），D （0，2），则T（D，B）＝　8　，T（O，C）＝　6　；
（2）求所有符合条件T（O，F）＝4的动点F（x，y）组成图形的面积；
（3）若点P（﹣3，3），动点Q（m，3），当半径为1的⊙Q上存在点M使T（P，M）＝8时，求m的取值范围（直接写出结果）．
【分析】（1）根据矩形的性质求出C点坐标，根据“加密距”的定义进行解答便可；
（2）根据定义由T（O，F）＝4，列出x、y的绝对值方程，再根据绝对值的性质，分两种情况：当x≥0，y≥0时；当x≥0，y＜0时；当x＜0，y≥0时；当x＜0，y＜0时，得出四个函数解析式，再作出图形，根据图形的特征选择面积公式求出面积便可；
（3）作菱形ABCD，顶点坐标分别为：A（﹣11，3），B（﹣3，﹣1），C（5，3），D（﹣3，7），由⊙Q在直线y＝3上运动所处的临界位置，结合图象可得结论．
【解析】（1）T（D，B）＝|0﹣2|+2|5﹣2|＝2+6＝8，
∵矩形ABCD的顶点A （0，5），B （2，5），D （0，2），
∴C（2，2）
T（O，C）＝|0﹣2|+2|0﹣2|＝6，
（2）∵T（0，F）＝4，
∴|x|+2|y|＝4，
当x≥0，y≥0时，x+2y＝4，得y=−12x+2；
当x≥0，y＜0时，x﹣2y＝4，得y=12x﹣2；
当x＜0，y≥0时，﹣x+2y＝4，得y=12x+2；
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣2y＝4，得y=−12x﹣2；
如图，动点F所组成的图形为菱形，

其面积为：12×8×4=16；
（3）设M（x，y），
∵T（P，M）＝8，P（﹣3，3），
∴|x+3|+2|y﹣3|＝8，
当x≥﹣3，y≥3时，x+3+2y﹣6＝8，得y=−12x+112；
当x≥﹣3，y＜3时，x+3﹣2y+6＝8，得y=12x+12；
当x＜﹣3，y≥3时，﹣x﹣3+2y﹣6＝8，得y=12x+172；
当x＜﹣3，y＜3时，﹣x﹣3﹣2y+6＝8，得y=−12x−52；
∴点M应在如下菱形ABCD上，则T（P，M）＝8，菱形ABCD，顶点坐标分别为：A（﹣11，3），B（﹣3，﹣1），C（5，3），D（﹣3，7），

∵⊙Q的半径为1，圆心Q的坐标为（m，3），
∴当点Q位于（6，3）或（﹣12，3）时，刚好存在唯一一个点M，使得T（P，M）＝8；
当⊙Q在P点右边时，与CB，CD相切时，连接圆心Q和切点M，则QM⊥CD，QM＝1，
∵∠CMQ＝∠CPD＝90°，∠MCQ＝∠PCD，
∴△CMQ∽△CPD，
∴QMDP=CQCD，即14=CQ82+42
∴CQ=5，
∴Q（5−5，3），
∴当⊙Q在点P右边时，5−5≤m≤6，符合要求；
同理可得，当⊙Q在点P左边时，﹣12≤m≤﹣11+5，符合要求．
故m的取值范围为，﹣12≤m≤﹣11+5或5−5≤m≤6．
【题组三】
9．（2019•邗江区一模）【操作体验】
如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA，OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；
所以图中P1，P2即为所求的点．
（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°；
【方法迁移】
（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°，（不写做法，保留作图痕迹）．
【深入探究】
（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为　2≤m＜1+2　．
（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为　34−2　．
【分析】（1）先根据等边三角形得：∠AOB＝60°，则根据圆周角定理可得：∠AP1B＝30°；
（2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圆，可得圆心角∠BOC＝90°，则BC所对的圆周角都是45°；
（3）先确定⊙O，根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH内部时符合条件；
（4）先确定⊙O，根据圆周角定理正确画出∠BPC＝135°，利用勾股定理求OF的长，知道A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，求AE的长，即是AP的长，可得PQ的最小值．
【解析】（1）∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
由图②得：∠AP1B=12∠AOB＝30°；
（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，
②作BC的中垂线，连接EC，交于O，
③以O为圆心，OE为半径作圆，
则EF上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；
（3）如图④，同理作⊙O，
∵BE＝BC＝2，
∴CE＝22，
∴⊙O的半径为2，即OE＝OG=2，
∵OG⊥EF，
∴EH＝1，
∴OH＝1，
∴GH=2−1，
∴BE≤AB＜MB，
∴2≤m＜2+2−1，即2≤m＜2+1，
故答案为：2≤m＜2+1；
（4）如图⑤，构建⊙O，使∠COB＝90°，在优弧BC上取一点H，则∠CHB＝45°
∴∠CPB＝135°，
由旋转得：△APQ是等腰直角三角形，
∴PQ=2AP，
∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，
当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，
在Rt△AFO中，AF＝1，OF＝3+1＝4，
∴AO=12+42=17，
∴AE=17−2=AP，
∴PQ=2AP=2（17−2）=34−2．
故答案为：34−2．



10．（2019•如皋市一模）定义：把函数y=m|x|（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y=m|x|（m＜0）的图象叫做负值双曲线．
（1）请写出正值双曲线的两条性质；
（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y=m|x|（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．
①求直线l的解析式和m的值；
②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据反比例函数的性质解答即可；
（2）①运用待定系数法求出直线l的解析式；
②若存在，设点P的坐标为（p，p+1），则点M（2p+1，p+1），点N（−2p+1，p+1），再根据三角形的面积公式可得△AMN的面积，然后分3种情况讨论：若点P在线段AB上；若点P与点B重合；若点P在线段AB的延长线上．
【解析】（1）①当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；②无论x取何值，y＞0；③图象与坐标轴没有交点；④图象分布在第一、二象限，等等；

（2）①设直线l的解析式为y＝kx+b．
∵直线l过点A（﹣1，0）和点B（﹣2，﹣1），
∴0=−k+b−1=−2k+b解得k=1b=1，
∴直线l的解析式为y＝x+1．
∵双曲线y=m|x|（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1），
∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，
即：m的值为﹣2；


②若存在，设点P的坐标为（p，p+1），则点M（2p+1，p+1），点N（−2p+1，p+1）．
∴S△AMN=12|−2p+1−2p+1|×|p+1|＝2，
若点P在线段AB上，
则S△APM=12（p−2p+1）×[﹣（p+1）]=12（﹣P2﹣P+2）．
∵S△AMN＝4S△APM，
∴2＝4×12（﹣P2﹣P+2），即P2+P﹣1＝0．
解得p1=−1−52，p2=−1+52（舍去），
若点P与点B重合，△APM不存在；
若点P在线段AB的延长线上，则S△APM=12（2p+1−p）×[﹣（p+1）]=12（P2+P﹣2）．
∵S△AMN＝4S△APM，
∴2＝4×12（P2+P﹣2），即P2+P﹣3＝0．
解得p3=−1−132，p4=−1+132（舍去）．
故存在点P（−1−52，1−52）和（−1−132，1−132），使得S△AMN＝4S△APM．
11．（2020•南京一模）【概念认识】
在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．

【数学理解】
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，BEAE=13．求AB的长度；
【问题解决】
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD=12AB，且CD⊥AB，垂足为F．
①在图③中，利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹，不写作法）；
②若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围．
【分析】（1）连接BC，由圆心角相等可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠ABC=12∠AOC＝45°，∠BCD=12∠BOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论；
（2）分两种情况讨论，过点O作OH⊥AB，作OG⊥CD，可证矩形OHEG为正方形，利用勾股定理可求解；
（3）①如图所示；
②先求出点F在⊙O上时，m的值，即可求解．
【解答】证明：（1）如图②，连接BC，

∵OC⊥OA、OD⊥OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠ABC=12∠AOC＝45°，∠BCD=12∠BOD＝45°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB、CD是⊙O的等垂弦；
（2）如图，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，

∵AB、CD是⊙O的等垂弦，
∴AB＝CD，AB⊥CD，
∴四边形OHEG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH=12AB，DG=12CD，
∴AH＝DG，
又∵OA＝OD，
∴△AHO≌△DGO（HL），
∴OH＝OG，
∴矩形OHEG为正方形，
∴OH＝HE．
∵BEAE=13，且AH＝BH，
∴AH＝2BE＝2OH，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2．
即（2OH）2+OH2＝AO2＝25，
解得OH=5，
∴AB＝4HE＝45；
若点E在⊙O外，如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，

同理，AH=5，则AB＝2AH＝25；
（3）①如图③，作直径AE，作AE的垂直平分线交AB的延长线于F，过点F作EF⊥AF交⊙O于E，作EF的四等份线交⊙O于C，D，则弦CD即为所求；

②如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，

同理可证四边形OHBG是矩形，
∴BH=mr2，OH＝BG=mr4，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2=m2r24+m2r216，
∴m=455，
∴当m=455时，点F在⊙O上；
当0＜m＜455时，点F在⊙O外；
当455＜m≤2时，点F在⊙O内．
12．（2020•溧阳市模拟）阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系xOy．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴对应的实数为a，点B在y轴对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P在平面斜坐标系xOy中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy中，已知θ＝60°，点P的斜坐标是（3，6），点C的斜坐标是（0，6）．
（1）连接OP，求线段OP的长；
（2）将线段OP绕点O顺时针旋转60°到OQ（点Q与点P对应），求点Q的斜坐标；
（3）若点D是直线OP上一动点，在斜坐标系xOy确定的平面内以点D为圆心，DC长为半径作⊙D，当⊙D与x轴相切时，求点D的斜坐标．

【分析】（1）如图1中，过点P作PH⊥x轴于H．求出OH．PH利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图1﹣1中，在x轴上取一点E，使得OE＝OB，连接EQ，作QJ∥OB交x轴于J．利用全等三角形的性质证明EQ＝PB＝3，再证明△EQJ是等边三角形即可解决问题．
（3）如图2中，设D（m，2m），过点D作DE∥OC交x轴于E，DF∥x轴交y轴于F，DJ⊥OC于J，DH⊥x轴于H．构建方程求出m即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，过点P作PH⊥x轴于H．

∵P（3，6），
∴OA＝3，PA＝OB＝6，
∵PA∥OB，
∴∠PAH＝∠BOA＝60°，
∵PH⊥AH，
∴∠PHA＝90°，
∴AH＝AP•coS60°＝3，PH＝PA•in60°＝33，
∴OH＝OA+AH＝6，
∴OP=PH2+OH2=62+(33)2=37．

（2）如图1﹣1中，在x轴上取一点E，使得OE＝OB，连接EQ，作QJ∥OB交x轴于J．

∵∠BOE＝∠POQ，
∴∠BOP＝∠EOQ，
∵OB＝OE，OP＝OQ，
∴△OBP≌△OEQ（SAS），
∴∠OEQ＝∠OBP，PB＝EQ＝3，
∵PB∥OA，
∴∠OBP＝180°﹣∠BOA＝120°，
∴∠OEQ＝120°，
∴∠QEJ＝60°，
∵QJ∥OB，
∴∠QJE＝∠BOA＝60°，
∴△EQJ是等边三角形，
∴EJ＝QJ＝3，
∴OJ＝OE+EJ＝6+3＝9，
∴Q（9，﹣3）．

（3）如图2中，设D（m，2m），过点D作DE∥OC交x轴于E，DF∥x轴交y轴于F，DJ⊥OC于J，DH⊥x轴于H．

∵DE∥OF，DF∥OE，
∴四边形DEOF是平行四边形，
∴OE＝DF＝m，DE＝OF＝2m，∠DFJ＝∠OCE＝60°，∠DEH＝∠COH＝60°，
∴DH＝DE•sin60°＝33m，
∴CD＝DH＝33m，
FJ＝DF•cos60°=32m，DJ＝DF•sin60°=332m，
∴CJ=DC2−DJ2=(33m)2−(332m)2=92m，
∵OC＝6，
∴2m+32m+92m＝6，
∴m=34，
∴D（34，32）．
【题组四】
13．（2020·江苏·南通田家炳中学一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．
（1）已知点A（4，0）；
①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；
②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为　 　；
（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标的取值范围．
【答案】（1）①；②（1，0），（3，0）或（7，0）；（2）点N的横坐标的取值范围为.
【分析】
（1）①如图（见解析），设满足条件的三角形为等腰，过点R作于点H，由等腰三角形的性质得，再根据“生成三角形”的定义可得，最后利用勾股定理即可得；
②依题意，按点分别为直角顶点三种情况讨论，根据“生成三角形”的定义和直线的解析式分别建立等式，求解即可；
（2）根据点分别为直角顶点三种情况讨论，根据“生成三角形”的定义、结合圆的切线性质列出等式，求解即可.
【详解】
（1）①如图，设满足条件的三角形为等腰，则
过点R作于点H

∵以线段OA为底的等腰恰好是点O，A的“生成三角形”

在中，利用勾股定理得：
故该三角形的腰长为；

②依题意，分以下三种情况讨论：
当A为直角顶点时，则
因点A的坐标为
令代入得，即
设点B的坐标为
则，解得或
故点B的坐标为或
当B为直角顶点时，则
设点B的坐标为，则
令代入得，即
则有
两边平方化简得，解得或
故点B的坐标为或
当C为直角顶点时，如图，过点C作于点D
设点D的坐标为，则
令代入得
由“生成三角形”的定义得
则


又

，即
令，则
化简得，此方程的根的判别式，方程没有实数根
则点C不能为的直角顶点
综上，点B的坐标为，或；

（2）当N为直角顶点时
由点M的坐标可知，点M在直线上
由直线可知，
则当点D在MT所在直线时，是点M，N的“生成三角形”
如图，点N和是符合条件的两个临界位置
由图可知，点D的坐标为，
在中，
设点N的坐标为
由两点之间距离公式得
解得，再代入直线得
当点N在处时，图中也是符合条件的“生成三角形”
此时，恰好与圆T相切，半径
则是等腰直角三角形，且

则点的坐标为，设点的坐标为
由两点之间距离公式得
解得，再代入直线得
故当点N为直角顶点时，点N的横坐标的取值范围为

当点M为直角顶点时，
如图，和均平行于x轴，且与圆T分别相切于点F，
由平行线的性质和直线可知，
则和都是等腰直角三角形
因此，和都是符合条件的“生成三角形”， 此时，点N和是符合条件的两个临界位置
设点N的坐标为
点F的坐标为
点N的纵坐标为2，即
将代入得
同理可得
故当点M为直角顶点时，点N的横坐标的取值范围为

当点D为直角顶点时，同（1）②中，当C为直角顶点时的思路一样，可证此时不存在符合条件的
综上，点N的横坐标的取值范围为.
【点睛】
本题是新定义结合圆的综合题，读懂定义并准确作图是解题的关键，本题难度较大.
14．（2019•海门市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（2，4），连结AB．若对于平面内一点P，线段AB上只要存在点Q，使得PQ≤13AB，则称点P是线段AB的“卫星点”．
（1）在点C（4，2），D（2，−16），E（43，2）中，线段AB的“卫星点”是点　E　；
（2）若点P1，P2是线段AB的“卫星点”（点P1在点P2的左侧），且P1P2＝1，P1P2∥x轴，点F坐标为（0，2）．
①若将△P1P2F的面积记为S，当S最大时，求点P1的坐标；
②直线FP1的解析式y＝mx+2（m≠0），直线FP2的解析式y＝nx+2（n≠0），求mn的取值范围．

【分析】（1）根据“卫星点”概念和两点间距离解答即可；
（2）①根据等边三角形的判定和性质以及两点间的距离解答即可；
②根据直线解析式的求法和不等式的解法解答即可．
【解析】（1）∵点A（2，1），B（2，4），
∴AB＝3，
∴13AB=1，
∴E（43，2）是线段AB的“卫星点”；
故答案为：E；
（2）①P1P2＝1，P1P2∥x轴，
∴当点P1，P2在半圆GE（以B为圆心，1为半径）上时，S有最大值，
连接BP1，BP2，
BP1＝BP2＝P1P2＝1，
△BP1P2为等边三角形，
B（2，4），
∴P1（1.5，4+32），
∴当S最大时，点P1的坐标为（1.5，4+32）；
②P1P2＝1，P1P2∥x轴
设点P（a，b），点P2（a+1，b）
分别代入两条直线解析式，可得：ma+2=bn(a+1)+2=b，
∴ma+2＝n（a+1）+2，
∴mn=a+1a=1+1a，
由于点P1，P2均在图示的区域内，
∴1≤a≤2，
12≤1a≤1，
∴32≤mn≤2．

15．（2020•天宁区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1），对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．已知点E（3，0）．
（1）直接写出d（点E）的值；
（2）过点E作直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
（3）设T是直线y＝﹣x+3上一点，以为T圆心，2长为半径作⊙T，若d（⊙T）满足d（⊙T）＞3210+2，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．

【分析】（1）观察图象可知，d（点E）＝BE或EC，求出BE或EC即可．
（2）当d（线段EF）取最小值，d（线段EF）的最小值＝d（点E）=17，推出d（点F）≤17，求出d（点F）=17时，点F的坐标即可判断．
（3）如图2中，设直线y＝﹣x+3交x轴于E，交y轴于F．由题意d（点E）＝d（点F）=17＜3210，推出点T在第二象限或第四象限，设T（m，﹣m+3），利用勾股定理求出两个特殊位置m的值即可判断．
【解析】（1）∵E（3，0），B（﹣1，1），
观察图象可知，d（点E）＝BE或EC，
∴d（点E）=12+42=17．

（2）如图1中，

∵当d（线段EF）取最小值，
∴d（线段EF）的最小值＝d（点E）=17，
∴d（点F）≤17，
当d（点F）=17时，F（0，3），或F′（0，﹣3），
将F代入y＝kx﹣3k，得k＝﹣1，
将F′代入y＝kx﹣3k，得k＝1，
观察图形可知，满足条件的k的值为：﹣1≤k≤1．

（3）如图2中，设直线y＝﹣x+3交x轴于E，交y轴于F．

∵d（点E）＝d（点F）=17＜3210，
∴点T在第二象限或第四象限，设T（m，﹣m+3），
当T在第二象限，TD=3210时，（m﹣1）2+（﹣m+3+1）2=904，
解得m=−12或112（舍弃），
当T在第四象限，TB=3210时，（m+1）2+（﹣m+3﹣1）2=904，
解得m=72或−52（舍弃），
观察图象可知满足条件的圆心T的横坐标x的取值范围为：x＜−12或x＞72．
16．（2021·江苏·常州市第二十四中学一模）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
【答案】（1） ∠C＝50°或35°；（2）CD＝或3；（3）BD＝3．
【分析】
（1）由“准互余三角形”定义可求解；
（2）由勾股定理可求AC=3，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可求解；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，可得CE=AC=4，∠BCA=∠BCE，∠CBA=∠CBE，∠E=∠BAC=90°，通过证明△CEB∽△BED，可求BE=6，由勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B=20°，
若∠A-∠B=90°，则∠A=110°，
∴∠C=180°-110°-20°=50°，
若∠A-∠C=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=35°；
故 ∠C＝50°或35°；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC＝＝＝3，
∵△ABD是“准互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，
当∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，
∴AC＝CD＝3;
当∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴，
∴，∴CD＝；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，

∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，
∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线，
∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，
∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“准互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，
∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，
又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴，即，∴BE＝6，
∴BD＝＝＝3．
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“准互余三角形”的定义并能运用是本题的关键．
【题组五】
17．（2020•连云区二模）爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例研究】
（1）如图1，当tan∠PAB＝1，c＝42时，a＝　45　，b＝　45　；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相交于点G，AD＝53，AB＝3，求AF的长．

【分析】（1）首先证明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）结论a2+b2＝5c2．设MP＝x，NP＝y，则AP＝2x，BP＝2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，∵CN＝AN，CM＝BM，
∴MN∥AB，MN=12AB＝22，
∵tan∠PAB＝1，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠PNM＝∠PMN＝45°，
∴PN＝PM＝2，PB＝PA＝4，
∴AN＝BM=42+22=25．
∴b＝AC＝2AN＝45，a＝BC＝45．
故答案为：45，45；
（2）结论a2+b2＝5c2．
证明：如图3中，连接MN．
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MN=12AB，
∴△MPN∽△APB，
∴MPAP=PNPB=12，
设MP＝x，NP＝y，则AP＝2x，BP＝2y，
∴a2＝BC2＝4BM2＝4（MP2+BP2）＝4x2+16y2，
b2＝AC2＝4AN2＝4（PN2+AP2）＝4y2+16x2，
c2＝AB2＝AP2+BP2＝4x2+4y2，
∴a2+b2＝20x2+20y2＝5（4x2+4y2）＝5c2．
（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
∠AGE=∠FGB∠AEG=∠FBGAE=BF，
∴△AGE≌△FGB（AAS），
∴AG＝FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP＝BF，PE＝CF＝2BF，
即PE∥CF，PE＝CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2＝5BF2，
∵AB＝3，BF=13AD=533，
∴9+AF2＝5×（533）2，
∴AF=763．


18．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）问题提出：
（1）如图①，在中，，，，若平分交于点，那么点到的距离为______．

问题探究：
（2）如图②，四边形内接于，为直径，点是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积．
问题解决：
（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，如图③所示是其中一块圆形场地，设计人员准备在内接四边形区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形满足，，且（其中），为让游客有更好的观体验，四边形花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）32；（3）存在，
【分析】
（1）根据角平分线的性质和等积法可求出点D到AC的距离；
（2）连接OB，根据题意得，作AE⊥BD，利用解直角三角形可求AB的长，通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；
（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得，根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】
解：（1）如图，设点D到AC和AB的距离分别为DE，DF，

∵AD平分∠BAC
∴DE=DF
∴，
∴
∴，即点到的距离为，
故答案为：；
（2）连接OB，

∵点是半圆的三等分点（弧弧），
∴
∴
∵AC是的直径，
∴
∵BD平分∠ABC
∴
过点A作AE⊥BD于点E，则
∴AE=BE
设AE=BE=x，则
∵BD=BE+DE=
∴x=
∴
∵
∴
∴BC=
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴AD=CD
∵AE⊥DE
∴
∵，
∴
∴
=
=
=32；
（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，

∵AB=AD
∴∠ACB=∠ACD
∴AM=AN
∴△ABN≌△ADM
∴
∵AN=AM，∠BCA=∠DCA，AC=AC
∴△ACN≌△ACM
∴
∵∠ABC=60°
∴∠ADC=120°
∴∠ADM=60°，∠MAD=30°
设DM=x，则AD=2x，
∴
∵
∴，即
∵抛物线对称轴为x=5
∴当x=4时，有最大值，为
【点睛】
本题主要考查了圆的综合问题，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，解题的关键是作出恰当的辅助线构建全等三角形和直角三角形求值计算与列出正确的函数关系式．
19．（2020•江都区三模）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P　是　边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB•tan∠PBA的最小值．

【分析】（1）连接PB、PC，证△BAP≌△CDP（SAS），得PB＝PC，即可得出结论；
（2）先由“和谐点”的定义得PB＝PC，PA＝PD，则点P在AD和BC的垂直平分线上，过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，求出AE＝PF＝3，再证△APF∽△PBF，得PF2＝AF•BF，设AF＝x，则BF＝10﹣x，解得x＝1或x＝9，当AF＝1时，PA=10；当AF＝9时，PA＝310；
（3）过点P作PN⊥AB于N，先证出tan∠PAB•tan∠PBA=9AN⋅BN，设AN＝x，则BN＝10﹣x，再求出当x＝5时，AN•BN有最大值25，即可得出结论．
【解析】（1）P是边BC的“和谐点”，理由如下：
连接PB、PC，如图1所示：
∵P是边AD的“和谐点”，
∴PA＝PD，
∴∠PDA＝∠PAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDA＝∠BAD＝90°，
∴∠BAP＝∠CDP，
在△BAP和△CDP中，
PA=PD∠BAP=∠CDPAB=CD，
∴△BAP≌△CDP（SAS），
∴PB＝PC，
∴P是边BC的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）∵P是边BC的“和谐点”，
由（1）可知：P也是边AD的“和谐点”，
∴PB＝PC，PA＝PD，
∴点P在AD和BC的垂直平分线上，
过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，如图3所示：
则AE=12AD，∠PEA＝∠PFA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝6，
∴四边形AEPF是矩形，AE＝3，
∴AE＝PF＝3，
∵△PAB为直角三角形，且P在矩形内部，
∴只有∠APB＝90°，
∴∠APF+∠BPF＝90°，
∵PF⊥AB，
∴∠AFP＝∠PFB＝90°，
∴∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠PAF＝∠BPF，
∴△APF∽△PBF，
∴AF：PF＝PF：BF，
∴PF2＝AF•BF，
∴PF2＝AF（AB﹣AF），
设AF＝x，
则BF＝10﹣x，
∴x（10﹣x）＝32，
解得：x＝1或x＝9，
当AF＝1时，PA=AF2+PF2=12+32=10；
当AF＝9时，PA=AF2+PF2=92+32=310；
∴PA的值为10或310；
（3）过点P作PN⊥AB于N，如图2所示：
由（2）知：点P在AD和BC的垂直平分线上，
∴PN=12BC＝3，
∵tan∠PAB=PNAN，tan∠PBA=PNBN，
∴tan∠PAB•tan∠PBA=PNAN×PNBN=PN2AN⋅BN=32AN⋅BN=9AN⋅BN，
设AN＝x，则BN＝10﹣x，
∴AN•BN＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
当x＝5时，AN•BN有最大值25，
∴9AN⋅BN有最小值925，
∴tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是925．



20．（2020•江都区三模）阅读理解题．
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．
如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形”．
问题：
（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中是“美妙四边形”的有　2　个；
（2）四边形ABCD是“美妙四边形”，AB＝3+3，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．（画出图形并写出解答过程）

【分析】（1）根据各个四边形的性质可知：菱形和正方形的每一条对角线平分一组对角，可得结论；
（2）根据四边形ABCD是“美妙四边形”，分两种情况：
①当AC是美妙线时，②当BD是美妙线时，先证明两三角形全等，则S四边形ABCD＝2S△ABD代入可得结论；
【解析】（1）∵菱形和正方形的每一条对角线平分一组对角，
∴菱形和正方形是“美妙四边形”，有2个，
故答案为：2；

（2）分两种情况：
①当AC是美妙线时，如图1，

∵AC平分∠BAD、∠BCD，
在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC=12∠BAD＝30°，
∵AB＝3+3，
∴BC=3+33=3+1，
∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°＝∠ACD，
∵∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠D＝90°，
∵AC＝AC，∠B＝∠D，∠CAB＝∠CAD，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2×12（3+3）（3+1）＝6+43；

②当BD是美妙线时，如图2，过D作DH⊥AB于H，

∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH＝BH，
设AH＝a，则DH=3a，BH=3a，
∴a+3a＝3+3，
∴a=3，
∴DH＝3，
同理得：△ABD≌△CBD（ASA），
∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2×12AB×DH＝3（3+3）＝9+33；
综上所述：四边形ABCD的面积为6+43或9+33．
【题组六】
21．（2021·江苏吴江·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【分析】
（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴的“N”函数的表达式为；
（2）


，
同理：，
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，
∴，
解得：，，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∴设（），则，
当时，，
∴点C（0，），
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∵AB＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
22．（2021·江苏吴中·二模）定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．
【答案】（1）“N”函数的表达式为y＝x2+x+1；（2）k＝﹣1或3；（3）C（0，）或C（0，5）．
【分析】
（1）利用“N”函数的定义，求出a，b，c的值，即可求出表达式；
（2）将y=kx与二次函数联立，得出关于x的一元二次方程，根据交点个数确定∆的取值即可求出k的值；
（3）先由“N”函数的中心对称性确定点B的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出C的坐标．
【详解】
（1）设y＝﹣x2+x﹣1“N”函数的表达式为y＝ax2+bx+c，
则a﹣1＝0，b＝1，c﹣1＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝1，
∴y＝x2+x+1；
（2）根据题意得：
，即x2+(k﹣1)x+1＝0，
判别式．
，即x2+(1﹣k)x+1＝0，
判别式，
∴∆1＝∆2．
设∆＝∆1＝∆2．
若∆＞0，则“N”函数与y＝kx有四个交点；
若∆＝0，则“N”函数与y＝kx有两个交点；
若∆＜0，则“N”函数与y＝kx有没有交点；
∴∆＝0，即(k﹣1)2﹣4＝0，解得k1＝﹣1；k2＝3．
故k＝﹣1或3．
（3）由题意得“N“函数关于原点成中心对称，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，A（﹣2，1）
∴点B的坐标为(2，﹣1)．
∵△ABC是直角三角形，下面分情况讨论：
若∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
即(c﹣1)2+22+(c+1)2+22＝42+22，
解得．
∵c＞0，
∴c＝，
∴C的坐标为(0，)．
若∠CAB＝90°，
则AC2+AB2＝BC2．
即(c﹣1)2+22+20＝(c+1)2+22，
解得：c＝5，
∴C的坐标为(0，5)．
若∠ABC＝90°，
则C在y的负半轴，故舍去．
∴C(0，)或C(0，5)．

【点睛】
本题主要考查了新定义，二次函数的图象与性质，根的判别式，中心对称的特点，以及勾股定理等知识，只有熟记二次函数的图形的性质，中心对称的特点以及勾股定理，才能快速解出此类问题．
23．（2021·江苏射阳·三模）（阅读理解）设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形中，若，则称为边的“和谐点”．
（解题运用）已知，点在矩形内部，且，．

（1）设是边的“和谐点”，则_____边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接，，求的值．
（2）若是边的“和谐点”，连接，，当时，求的值；
（3）如图2，若是边的“和谐点”，连接；，，求的最大值．
【答案】（1）是；PA=5；（2）或；（3）．
【分析】
（1）连接、，根据“和谐点”的定义及矩形的性质可得，利用SAS可证明，得，即可得出结论；过点P作PE⊥AD于E，延长EP交BC于G，作PF⊥AB于F，根据“和谐点”的定义可得EG为AD的垂直平分线，可得PF=4，PG=10-PE，根据列方程可求出PE的长，利用勾股定理即可得答案；
（2）先由“和谐点”的定义得，，点在和的垂直平分线上，过点作于，于，求出，再证，可得，设，则，解得：或，再利用勾股定理，即可求解；
（3）过点作于，再证明，设，则，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可得出结论．
【详解】
（1）是边的“和谐点”，理由如下：
如图1，连接、，
∵是边的“和谐点”，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是边的“和谐点”，
故答案为：是
过点P作PE⊥AD于E，延长EP交BC于G，作PF⊥AB于F，
∵是边的“和谐点”，
∴EG为AD的垂直平分线，
∴PF=4，PG=10-PE，
∵，
∴，即20+4（10-PE）=16PE，
解得：PE=3，
∴PA==，

（2）∵是边的“和谐点”，
由（1）可知：也是边的“和谐点”，
∴，，
∴点在和的垂直平分线上，
如图2，过点作于，于，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，且在矩形内部，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴的值为或．

（3）如图3，过点作于，
由（2）知：点在和的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当时，有最大值25，
∴有最大值，
∴当时，的最大值是．

【点睛】
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质、定义及判定定理是解题关键．
24．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图．


（1）已知点，
①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_____________，__________；
②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；
（2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围__________．
【答案】（1）①（6，2），（3，-1）；②y=x-4；（2）5≤m≤9
【分析】
（1）①作A1M⊥x轴于M，构造△ABO≌△BA1M，可得OA=BM，OB=A1M，再分别求解；
②取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M，首先说明A1的运动轨迹是一条直线，求出这条直线的解析式即可解决问题；
（2）利用（1）②的结论，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m，由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出这两条直线和⊙C相切时的m的值，即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图，作A1M⊥x轴于M．
∵∠ABA1=90°，
∴∠ABO+∠A1BM=∠A1BM+∠A1，
∴∠ABO=∠A1，
∵AB=BA1，∠AOB=∠A1MB=90°，
∴△ABO≌△BA1M（AAS），
∴OA=BM，OB=A1M，
当A（0，4），B（2，0）时，BM=4，A1M=2，OM=6，
∴A1（6，2），
当A（0，4），B（-1，0）时，同法可得A1（3，-1）．
故答案为（6，2），（3，-1）．

②取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M．
同理可证：△ABO≌△BA1M，
∴OA=BM=ON，OB=A1M，
∴OB=MN=A1M，
∴△A1MN是等腰直角三角形，
∴∠A1NM=45°，
∴点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上，
设A1N的表达式为y=kx+b，则k=1，将（4，0）代入，
则0=4+b，解得：b=-4，
∴这条直线的解析式为y=x-4，
∴A1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4；

（2）如图，由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），
y与x之间的关系式：y=x-m，
由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，
当直线y=x-m与⊙C相切时，如图，
∵C（4，-3），⊙C的半径为，F为⊙C的切点，过C作CE∥x轴，点E在CD上，
在y=x-m中，令x=0，则y=-m，令y=0，则x=m，
则C（0，-m），D（m，0），
∴△OCD为等腰直角三角形，OD=OC，
∵OF⊥EF，CE∥x轴，
∴∠ECF=45°，即△CEF为等腰直角三角形，
∵CF=，
∴EF=，CE=2，又C（4，-3），
∴E（2，-3），代入y=x-m中，
解得：m=5，
同理，当直线y=x-m与⊙C相切于另一点时，
同理可得：m=9，
综上：满足条件的m的范围为：5≤m≤9．

【点睛】
本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是发现点A1的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题．