专题52：第11章新定义问题-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）(原卷+解析)

52第11章新定义问题之新定义问题

一、单选题

1．定义新运算：对于任意两个有理数a，b，有，则的值是（    ）

A． B． C．27 D．9

2．阅读短文，完成问题：

沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算”，然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：

；；；；；．

下列是智羊羊看了这些算式后的思考，其中正确的有（  ）

A．两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加

B．0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数本身

C．

D．加法交换律在有理数的※（加乘）运算中不适用

3．己知点在函数（>）的图象上，点在直线上，若、两点关于原点对称，则称点、为函数、图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（    ）

A．只有1对 B．只有2对 C．有1对或2对 D．有无数对

4．对于两个非零有理数a、b定义运算※如下：a※b=，则（-3）※（-）=（    ）

A．-3 B． C．3 D．-

5．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（    ）

A．﹣2 B．﹣6 C．0 D．2

6．对于实数，规定一种运算：（是常数），已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（填写所有正确结论的序号）①[0）＝0； ②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最大值是1；④存在实数x，使[x）﹣x＝0.6成立．（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

8．对于有理数，我们规定表示不大于的最大整数，例如若则的取值可以是（  ）

A． B． C． D．

9．若定义：f(a,b)＝(-a,b)，g(m,n)＝(m,-n)，例如f(1,2)＝(-1,2)，g(-4,-5)＝(-4,5)，则g(f(3,-4))的值为（    ）

A．(3,-4) B．(-3,4) C．(3,4) D．(-3,-4)

10．若点，分别是两条线段和上任意一点，则线段长度的最小值叫做线段与线段的“理想距离”．已知，线段与线段的“理想距离”为2，则的取值错误的是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

11．若定义新运算，则 的值为（　　）

A．12 B．16 C．64 D．81

12．我们规定这样一种运算：如果abNa0，N0，那么b就叫做以a为底的N的对数，记作：blogaN，例如：因为238，所以log283，那么log381的值为（    ）

A．4 B．9 C．27 D．81

13．现规定一种新运算“*”：a*b=ab,如3*2=32=9，则（     ）

A． B．8 C． D．

14．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：

①.如，；

②.如，；

③.如，.

按照以上变换有：，那么等于（    ）.

A． B． C． D．

15．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

16．等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”﹒若等腰中，，则它的特征值_________________．

17．“！”是基斯顿·卡曼于1808年发明的一种数学运算符号，叫做阶乘．自然数的阶乘写作，并且知道：，，，……那么等于______．

18．规定⊗是一种新运算规则：a⊗b＝a2﹣b2，例如：2⊗3＝22﹣32＝4﹣9＝﹣5，则5⊗[1⊗（﹣2）]＝__________．

19．定义一种新运算“*”： ，则-1*2=_______

20．对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算： =ad﹣bc，例如 = 5×（﹣3）﹣1×2 =﹣17．如果 =2，那么m = _____．

21．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次后为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_____．

22．现在定义两种运算“”和“☆”，对于有理数，，有，，则的值为_______．

23．定义新运算：，则______．

24．用“☆”定义一种新的运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16，则(-2)☆3的值为_______．

25．用“※”定义新运算：对于有理数都有：，那么当为有理数时，   ________________(用含的式子表示)

26．“”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有．例如：．当m为有理数时，则等于________．

27．定义一种新运算“”规则如下：对于两个有理数，，，若，则______

28．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，故__________；按照这个规定，方程的解为__________．

29．x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a < b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如函数y=－x+5，当2≤x≤3时，2≤y≤3，所以y=－x+5是2≤x≤3上的闭函数，已知二次函数y = x2 + 6x + m是t≤x≤ - 3上的闭函数，则m的值是_________．

30．定义一种新的运算：，如：，则______.

三、解答题

31．定义：若，则称与b是关于1的平衡数．

（1）直接填写：①5与_________是关于1的平衡数；

②与_________是关于1的平衡数（用含的代数式表示）；

③y与_________是关于1的平衡数（用含y的代数式表示）；

④z与z是关于1的平衡数，则__________．

（2）若，，先化简，再判断与b是否是关于1的平衡数．

32．设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求下列各式的值．

（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]；

（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]．

33．若，是有理数，定义一种运算“”：，

（1）计算的值；

（2）计算的值；

（3）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．

34．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用来表示．例如：，当时，多项式的值用来表示．例如时，多项式的值记为．

（1）已知，求的值；

（2）已知，当．求a的值；

（3）已知（其中a，b为常数），若，求的值．

35．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的三分点．

例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝＝2，y＝＝4时，则点T（2，4）是点A，B的三分点．

（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．

（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．

①试确定y与x的关系式．

②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．

③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．

36．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的联点．例如：，，当点满足，时，则是点，的3联点．

（1）已知点是点，的2联点，求点坐标；

（2）已知点是点和点的联点，求和的值；

（3）如图，点，若点是直线上任意一点，点是点的3联点，直线交轴于点．

①直接写出点的坐标_________；

②当为直角三角形时，求点的坐标．

37．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩积”，给出如下定义：“横底”a：任意两点横坐标差的最大值；“纵高”h：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，2），C（﹣1，﹣3），则“横底”a＝3，“纵高”h＝5，“矩积”S＝ah＝15．已知点D（﹣2，3），E（1，﹣1）．

（1）若点F在x轴上．

①当D，E，F三点的“矩积”为24，则点F的坐标为　   　；

②直接写出D，E，F三点的“矩积”的最小值为　   　；

（2）若点F在直线y＝mx+4上，使得D，E，F三点的“矩积”取到最小值，直接写出m的取值范围是　   　．

38．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．

（1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”；

（2）如图2，在“准筝形”中，，，，，求的长；

（3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．

39．定义一种新运算：观察下列各式：

；；；

（1）请你算一算：_____；

（2）请你想一想：_____；

（3）若，请计算的值．

40．定义一种新运算：．例如：．

（1）求的值；

（2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值．