高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理课后作业题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理课后作业题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是 ( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．a B．b
C．c D．无法确定
3.
如图所示，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，N为BC中点，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c
B．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(2,3)c
D.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,2)c
4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
D．以上皆错
二、填空题
5．下列命题是真命题的是________(填序号)．
①若A，B，C，D在一条直线上，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量；
②若A，B，C，D不在一条直线上，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))不是共线向量；
③若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
④若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
7.
如图，点M为OA的中点，{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))}为空间的一个基底，eq \(DM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))＋zeq \(OD,\s\up6(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.
三、解答题
8．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．
9.
如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQQA′＝41，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；(2)eq \(AM,\s\up6(→))；(3)eq \(AN,\s\up6(→))；(4)eq \(AQ,\s\up6(→)).
[尖子生题库]
10.
如图，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))的化简结果为( )
A.eq \(AF,\s\up6(→)) B.eq \(AH,\s\up6(→))
C.eq \(AE,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
课时作业(二) 空间向量基本定理
1．解析：①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．
答案：B
2．解析：∵a＝eq \f(1,2)p＋eq \f(1,2)q，∴a与p，q共面，
∵b＝eq \f(1,2)p－eq \f(1,2)q，∴b与p，q共面，
∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，
∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.
答案：C
3．解析：eq \(MN,\s\up12(→))＝eq \(ON,\s\up12(→))－eq \(OM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up12(→))＋eq \(OC,\s\up12(→)))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up12(→))
＝eq \f(1,2)(b＋c)－eq \f(2,3)a＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
答案：B
4．解析：∵eq \(OP,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up12(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up12(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up12(→))，
∴3eq \(OP,\s\up12(→))＝eq \(OA,\s\up12(→))＋eq \(OB,\s\up12(→))＋eq \(OC,\s\up12(→))，
∴eq \(OP,\s\up12(→))－eq \(OA,\s\up12(→))＝(eq \(OB,\s\up12(→))－eq \(OP,\s\up12(→)))＋(eq \(OC,\s\up12(→))－eq \(OP,\s\up12(→)))
∴eq \(AP,\s\up12(→))＝eq \(PB,\s\up12(→))＋eq \(PC,\s\up12(→))，
∴eq \(PA,\s\up12(→))＝－eq \(PB,\s\up12(→))－eq \(PC,\s\up12(→))，∴P，A，B，C四点共面．
答案：B
5．解析：①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(CD,\s\up12(→))的方向相同或相反，因此eq \(AB,\s\up12(→))与eq \(CD,\s\up12(→))是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(CD,\s\up12(→))的方向不确定，不能判断eq \(AB,\s\up12(→))与eq \(CD,\s\up12(→))是否为共线向量；③为假命题，因为eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(CD,\s\up12(→))两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(AC,\s\up12(→))两个向量所在的直线有公共点A，且eq \(AB,\s\up12(→))与eq \(AC,\s\up12(→))是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.
答案：①④
6．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1)).
答案：1 －1
7．解析：eq \(DM,\s\up12(→))＝eq \(OM,\s\up12(→))－eq \(OD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up12(→))－eq \(OD,\s\up12(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－1))
8．解析：假设eq \(OA,\s\up12(→))，eq \(OB,\s\up12(→))，eq \(OC,\s\up12(→))共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得eq \(OA,\s\up12(→))＝xeq \(OB,\s\up12(→))＋yeq \(OC,\s\up12(→))成立，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
所以e1，e2，e3不共面，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解．
即不存在实数x，y，使得eq \(OA,\s\up12(→))＝xeq \(OB,\s\up12(→))＋yeq \(OC,\s\up12(→))成立，
所以eq \(OA,\s\up12(→))，eq \(OB,\s\up12(→))，eq \(OC,\s\up12(→))不共面．
故{eq \(OA,\s\up12(→))，eq \(OB,\s\up12(→))，eq \(OC,\s\up12(→))}能作为空间的一个基底．
9．解析：连接AC，AD′，AC′(图略)．
(1)eq \(AP,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \(AA′,\s\up12(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \(AA′,\s\up12(→)))
＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)．
(2)eq \(AM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \(AD′,\s\up12(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up12(→))＋2eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \(AA′,\s\up12(→)))
＝eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)eq \(AN,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC′,\s\up12(→))＋eq \(AD′,\s\up12(→)))
＝eq \f(1,2)[(eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \(AA′,\s\up12(→)))＋(eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \(AA′,\s\up12(→)))]
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up12(→))＋2eq \(AD,\s\up12(→))＋2eq \(AA′,\s\up12(→)))
＝eq \f(1,2)a＋b＋c.
(4)eq \(AQ,\s\up12(→))＝eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \(CQ,\s\up12(→))
＝eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \f(4,5)(eq \(AA′,\s\up12(→))－eq \(AC,\s\up12(→)))
＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \f(4,5)eq \(AA′,\s\up12(→))
＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,5)eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \f(4,5)eq \(AA′,\s\up12(→))
＝eq \f(1,5)a＋eq \f(1,5)b＋eq \f(4,5)c.
10．解析：∵G是△BCD的重心，
∴|eq \(GE,\s\up12(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(BE,\s\up12(→))|，∴eq \(GE,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up12(→)).
又eq \(EF,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up12(→))，
∴eq \(AG,\s\up12(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up12(→))＝eq \(AG,\s\up12(→))＋eq \(GE,\s\up12(→))＝eq \(AE,\s\up12(→))，eq \(AE,\s\up12(→))＋eq \(EF,\s\up12(→))＝eq \(AF,\s\up12(→))，
从而eq \(AG,\s\up12(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up12(→))＝eq \(AF,\s\up12(→)).
答案：A