数学选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时课堂检测

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3.4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
第1课时　空间中的角

1.若平面α的一个法向量为n1=(1，0，1)，平面β的一个法向量是n2=(-3，1，3)，则平面α与β所成二面角的平面角等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】D
【解析】因为n1·n2=(1，0，1)·(-3，1，3)=0，所以α⊥β，即平面α与β所成二面角的平面角等于90°.
2.已知A(0，1，1)，B(2，-1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)
A.52266 B.-52266
C.52222 D.-52222
【答案】A
【解析】AB=(2，-2，-1)，CD=(-2，-3，-3)，而cos?AB,CD?=AB·CD|AB||CD|=53×22=52266，故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=3，AB=AC=BC=2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A
【解析】取AB的中点D，连接CD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

可得A(1，0，0)，A1(1，0，3)，故AA1=(0，0，3)，而B1(-1，0，3)，C1(0，3，3)，
故AB1=(-2，0，3)，AC1=(-1，3，3)，
设平面AB1C1的法向量为m=(a，b，c)，AA1与平面A1B1C1所成角为θ，
根据m·AB1=0，m·AC1=0，可得m=(3，-3，2)，cos=m·AA1|m||AA1|=12.
sin θ=|cos|=12.
故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°，故选A.
4.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系.

设PA=AB=1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，∴AD=(0，1，0).
取PD的中点E，则E0,12,12，
∴AE=0,12,12，
易知AD是平面PAB的一个法向量，AE是平面PCD的一个法向量，所以cos=22，故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为45°.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为(　　)
A.16 B.14 C.-16 D.-14
【答案】A
【解析】如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则M(1，0，0)，N(0，1，2)，O(1，2，1)，D1(0，0，2)，∴MN=(-1，1，2)，OD1=(-1，-2，1).则cos=MN·OD1|MN||OD1|=16×6=16.∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16，故选A.

6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，AA1=4，E是侧棱CC1的中点，则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为　　　　　. 
【答案】49
【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，AA1=4，E是侧棱CC1的中点，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A(2，0，0)，E(0，1，2)，A1(2，0，4)，D(0，0，0)，EA=(2，-1，-2)，DA1=(2，0，4)，DE=(0，1，2)，

设平面A1ED的法向量为n=(x，y，z)，则n·DA1=2x+4z=0，n·DE=y+2z=0，取z=1，得n=(-2，-2，1)，设直线AE与平面A1ED所成角为θ，则sin θ=|cos|=EA·n|EA||n|=49×9=49.∴直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为　　　　　. 
【答案】23
【解析】建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则A1D=(2，0，-2)，A1E=(0，2，-1).

设平面A1ED的法向量为n=(x，y，z)，
则n·A1D=0,n·A1E=0.
则2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.
令y=1，得n=(2，1，2).
易知平面ABCD的法向量为m=(0，0，1)，
则cos=n·m|n||m|=23.
设平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为θ，
则cos θ=|cos|=23.
8.如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.

(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值.
解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0，0，2)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，SC=(2，2，-2)，

∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为AB=(0，2，0)，设直线SC与平面ASD所成的角为θ，则sin θ=|cos|=|SC·AB||SC||AB|=33，故cos θ=63，即SC与平面ASD所成角的余弦值为63.
(2)易知平面SAB的一个法向量为m=(1，0，0)，∵SC=(2，2，-2)，SD=(1，0，-2)，设平面SCD的一个法向量为n=(x，y，z)，由SC·n=0,SD·n=0，可得x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2，-1，1)，设平面SAB和平面SCD所成锐二面角的平面角为α，则cos α=|m·n||m||n|=63，即平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值为63.
9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，M为棱AE的中点.

(1)求证:平面BDM∥平面EFC;
(2)若DE=2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.
(1)证明连接AC，交BD于点N，连接MN，
则N为AC的中点，
又M为AE的中点，所以MN∥EC.
因为MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，
所以MN∥平面EFC.
因为BF，DE都垂直底面ABCD，所以BF∥DE.
因为BF=DE，
所以四边形BDEF为平行四边形，
所以BD∥EF.
因为BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，
所以BD∥平面EFC.
又MN∩BD=N，所以平面BDM∥平面EFC.
(2)解因为DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
所以DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz.

设AB=2，则DE=4，从而D(0，0，0)，B(2，2，0)，M(1，0，2)，A(2，0，0)，E(0，0，4)，
所以DB=(2，2，0)，DM=(1，0，2)，
设平面BDM的法向量为n=(x，y，z)，
则n·DB=0,n·DM=0,即2x+2y=0,x+2z=0.
令x=2，则y=-2，z=-1，从而n=(2，-2，-1)为平面BDM的一个法向量.
因为AE=(-2，0，4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，
则sin θ=|cos|=n·AE|n||AE|　=4515，
所以直线AE与平面BDM所成角的正弦值为4515.


10.如图，在三棱锥C-OAB中，OA⊥OB，OC⊥平面OAB，OA=6，OB=OC=8，CE=14CB，D，F分别为AB，BC的中点，则异面直线DF与OE所成角的余弦值为(　　)

A.1010 B.61025 C.3030 D.3020
【答案】B
【解析】以O为坐标原点，以OA,OB,OC为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz，则D(3，4，0)，F(0，4，4)，E(0，2，6)，DF=(-3，0，4)，OE=(0，2，6)，∴cos=DF·OE|DF||OE|　=245×210=61025，∴异面直线DF与OE所成角的余弦值为61025.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1上靠近点B1的四等分点，则直线AC1与平面EFD1所成角的正弦值为(　　)
A.2613 B.22613 C.27839 D.47839
【答案】D
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=2，则E(1，2，0)，F32,2,2，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，
∴EF=12,0,2,D1F=32,2,0,AC1=(-2，2，2).
设平面EFD1的法向量n=(x，y，z)，
则n·EF=0,n·D1F=0,即12x+2z=0,32x+2y=0,取x=4，得n=(4，-3，-1)，
设直线AC1与平面EFD1所成角为θ，
则sin θ=|cos|=47839.
12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，E为侧棱BB1上的一点，且B1EB1B=13，则直线AE与平面A1ED1所成角的余弦值为(　　)
A.255 B.1010 C.31010 D.55
【答案】B
【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，

A1(2，0，3)，E(2，2，2)，D1(0，0，3)，A(2，0，0)，
∴A1E=(0，2，-1)，D1E=(2，2，-1)，EA=(0，-2，-2).
设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z)，则A1E·n=0,D1E·n=0,即2y-z=0,2x+2y-z=0,
取z=2，则n=(0，1，2)，
∴cos=n·EA|n||EA|=-2-44+4×1+4=-6210=-31010，
设直线AE与平面A1ED1所成角大小为θ，则sin θ=|cos|=31010，所以cos θ=1-910=1010.
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A.12 B.23 C.33 D.22
【答案】B
【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

设棱长为1，则A1(0，0，1)，E1,0,12，D(0，1，0)，∴A1D=(0，1，-1)，A1E=1,0,-12.
设平面A1ED的一个法向量为n1=(x，y，z)，所以有A1D·n1=0,A1E·n1=0,
即y-z=0,x-12z=0,令x=1，解得y=2,z=2,
∴n1=(1，2，2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0，0，1)，
∴cos=23×1=23，
即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.
14.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为2π3,A1B1长为π3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为(　　)

A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
【答案】B
【解析】以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B132,12，1，C32，-12，0.

所以AA1=(0，0，1)，B1C=(0，-1，-1)，
所以cos=AA1·B1C|AA1||B1C|　
=0×0+0×(-1)+1×(-1)1×02+(-1)2+(-1)2=-22，
所以=3π4，
所以异面直线B1C与AA1所成的角为π4.
15.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为　　　　　. 

【答案】24
【解析】取AC的中点O，连接OP，OB，

因为PA=PC，所以AC⊥OP.
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
所以OP⊥平面ABC，
所以OP⊥OB.
又因为AB=BC，所以AC⊥OB.
于是以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A(22，0，0)，C(-22，0，0)，P(0，0，22)，D(2,6，0)，
所以AC=(-42，0，0)，PD=(2,6，-22)，
所以cos=AC·PD|AC||PD|　=-842×4=-24.
故异面直线AC与PD所成角的余弦值为24.
16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的正弦值为　　　　　. 

【答案】223
【解析】以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
则E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，EF=(-1，0，1)，EB=(1，2，0).
设平面EFC1B的一个法向量n=(x，y，z)，则n·EF=-x+z=0,n·EB=x+2y=0,
取x=2，得n=(2，-1，2).
平面BCC1B1的一个法向量m=(0，1，0)，
设平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的平面角为θ，则|cos θ|=|n·m||n||m|=13，
所以sin θ=223.
17.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，∠ABC=90°，且侧面ABB1A1为菱形.

(1)证明:A1B⊥平面AB1C1;
(2)若∠A1AB=60°，AB=2，直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为55，求三棱锥C-ABA1的体积.
(1)证明∵四边形ABB1A1是菱形，则A1B⊥AB1，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且AB为交线，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B.
∵BC∥B1C1，∴A1B⊥B1C1.
又AB1∩B1C1=B1，∴A1B⊥平面AB1C1.
(2)解取A1B1的中点M，连接BM，
∵∠A1AB=60°，∴BM⊥A1B1，
即BM⊥AB，从而BM⊥平面ABC，且AB⊥BC，则BM，AB，BC两两垂直，
则建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=t，则A(2，0，0)，A1(1，0，3)，C(0，t，0)，AA1=(-1，0，3)，AC=(-2，t，0)，

∵四边形A1ACC1为平行四边形，则AC1=AA1+AC=(-3，t，3)，平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)，
∴|cos|=|AC1·n||AC1|　=312+t2=55，解得t=3.由等体积法可知，VC-ABA1=VA1-ABC=13×3×12×2×3=1.
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=22，PA=2.

(1)取PC的中点N，求证:DN∥平面PAB.
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.
(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°?如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在，请说明理由.
(1)证明取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-1，0)，B(2，-1，0)，C(0，1，0)，D(-1，0，0)，P(0，-1，2).
∵点N为PC的中点，∴N(0，0，1)，
∴DN=(1，0，1).
设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，z)，
由AP=(0，0，2)，AB=(2，0，0)，
可得n=(0，1，0)，∴DN·n=0.
又∵DN⊄平面PAB，∴DN∥平面PAB.

(2)解由(1)知AC=(0，2，0)，PD=(-1，1，-2).
设直线AC与PD所成的角为θ，
则cos θ=22×6=66.
(3)解存在.
设M(x，y，z)，且PM=λPD，0<λ<1，
∴x=-λ,y+1=λ,z-2=-2λ,
∴M(-λ，λ-1，2-2λ).
设平面ACM的一个法向量为m=(x，y，z)，
由AC=(0，2，0)，AM=(-λ，λ，2-2λ)，
可得m=(2-2λ，0，λ)，
由图知平面ACD的一个法向量为n=(0，0，1)，
∴|cos|=λ1·λ2+(2-2λ)2=22，
解得λ=23或λ=2(舍去).
∴M-23,-13,23，
∴BM=-83,23,23，
m=23,0,23.
设直线BM与平面MAC所成的角为φ，
则sin φ=|cos|=-129223×22=12，
∴φ=30°.故存在点M，使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.