高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系教案

空间中直线与直线的位置关系

【教学目标】

1．了解空间中两条直线的位置关系，掌握异面直线所成角定义、范围及应用．

2．理解并掌握公理和定理，并能应用．

3．学生在学习过程中通过直观感知空间中直线与直线的位置关系，培养学生的空间想象力，激发学生的学习兴趣．

【教学重点】  异面直线的概念，公理和等角定理．

【教学难点】  求异面直线所成角．

【教学方法】  教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算，数学建模．

【教学过程】

一、问题引入，创设情境

活动1.观察我们的教室，思考并回答下面的问题．

问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？

问题2：在空间中，没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？请你举例说明．

问题3：在空间中，两条直线的位置关系有几种？

〖设计意图〗让学生感受两条直线的位置关系在平面中和空间中的差别，让学生更好的理解异面直线的概念，区别异面直线与相交直线和平行直线的区别．

二、归纳总结，初识概念

概念1.异面直线

异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

异面直线的画法：

活动2.空间中两直线的位置关系分类．

分类方法1：

        共面直线   相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；   

平行直线：同一平面内，没有公共点；           

        异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点．             

分类方法2：

        没有公共点   平行直线：同一平面内，没有公共点；              

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．    

一个公共点  同一平面内，有且只有一个公共点．                  

判断两直线异面的方法：

  1.两条直线不同在任何一个平面内；

  2.两条直线既不相交也不平行．

〖设计意图〗让学生从不同的角度去认识空间中直线与直线的位置关系，更好的理解异面直线，培养学生分析问题、归纳问题的能力．

例1 已知正方体，指出哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线．

〖设计意图〗让学生将异面直线的概念能够应用到空间几何体中，培养学生的数学建模思想．

概念2.公理与定理

公理：空间中平行于同一直线的两直线平行．

符号语言：则．

思考：公理实质上是说平行具有传递性，这个性质在平面、空间都适用吗？公理的作用是什么？

例2 如图,空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形.

空间等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或的互补．

〖设计意图〗引导学生分析具体的问题，应用公理证明平行，加深学生对公理的认识和理解．

概念3.异面直线所成角

    在平面内，两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角．异面直线之间也存在类似问题．

异面直线所成角：如图，已知异面直线，经过空间中任一点O作直线，我们把与所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（夹角）．

活动3.思考下列问题：

问题1：与所成的角的大小与O的选择是否有关？

问题2.两条异面直线所成的角的范围是什么？

问题3.如何求异面直线所成角？

〖设计意图〗经过对概念的辨析和理解，明确异面直线所成角的大小只由的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角；如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作；在求异面直线所成角时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．

三、理解概念，适当延展

例3 已知正方体，求异面直线与所成角．

变式1. 若E，F为BC，AD中点，求异面直线与所成角的大小？

变式2. 求异面直线与所成角．

〖设计意图〗通过变式训练，让学生掌握求异面直线所成角的方法和步骤．用数学符号语言分析问题，感受数学语言的简洁性．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

 (1) 3个概念：异面直线、公理和定理、异面直线所成角．

(2) 2个判断异面直线方法：两条直线不同在任何一个平面内；

                         两条直线既不相交也不平行．

(3) 1个求异面直线所成角的方法：将异面直线转化为相交直线．