湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数教案

2.1.1 两角和与差的余弦公式

【教学目标】

1．理解用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系．

2．由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用．

3．掌握用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．

【教学重点】：

两角和与差的余弦公式的推导与应用．

【教学方法】

问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.

【教学过程】

（一）、创设情境、引出课题

问题1：我们会求一些特殊角的三角函数值，比如、、角的三角函数值。

对于一些非特殊角的三角函数值怎么算呢，比如cos15°＝cos（45°－ 30°）=cos45°－ cos30° ，正确吗?

问题2：那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？

（二）探索研究、引导归纳

问题1：请用向量的知识推导cos(α-β)。

如图，在直角坐标系中，取角α、β，在这两个角的终边上分别取两个单位向量,,则就是与的夹角，

根据前面所学的向量知识可知，与的数量积为

由平面向量基本定理知,

当时，

所以  

问题2：在向量中角的范围是什么？那么这个公式适用于是任意角的情况吗？

通过讨论归纳出两角差的余弦公式：

  （简记为）

问题3：如何由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式呢?

在两角差的余弦公式中，用代替，就可以得到

由此我们得到了两角和的余弦公式：

　　　　（简记为）

注意：①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用

（三） 例题剖析，巩固新知

例1、(1)利用两角差的余弦公式求的值;

（2）求 的值.

解：(1)

(2)

点评：①将非特殊转化为特殊角求解问题，体现了转化与化归的数学思想.

      ②注意公式的逆用。

例2、.

解：

.

例3

点评：若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键.

（四） 当堂检测

1.求下各式的值

(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为________

(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°的值为________

(3)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°的值为________

(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为________..

2.化简＝________.

3.若sinα＝，，则的值为________.

4．已知，sin(α＋β)＝－，，求

5.α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值.

【课堂小结】

本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？用到的数学方法有哪些？

【课后作业】

【教学反思】