人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程课时训练

课时分层作业(十九)　椭圆的标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若曲线＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是(　　)

A．k＞1　　　　　　　　 B．k＜－1

C．－1＜k＜1   D．－1＜k＜0或0＜k＜1

D　[∵曲线＋＝1表示椭圆，

∴解得－1＜k＜1，且k≠0．]

2．焦点坐标为(0,3)，(0，－3)，长轴长为10，则椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

C　[由题意a＝5，c＝3，且焦点在y轴上，∴b＝＝4，

∴椭圆的标准方程为＋＝1．]

3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　)

A．8　　　B．2  C．10　　　D．4

A　[由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

∴|PF1|·|PF2|≤＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)．]

4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程为(　　)

A．＋＝1(x≠0)   B．＋＝1(x≠0)

C．＋＝1(x≠0)   D．＋＝1(x≠0)

B　[∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，

∴BC＝8．

AB＋AC＝20－8＝12，∵12＞8，

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，焦点在y轴上，

∴a＝6，c＝4，∴b2＝20，

∴点A的轨迹是＋＝1(x≠0)．]

5．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)

A．＋y2＝1

B．＋＝1

C．＋y2＝1或＋＝1

D．以上答案都不对

C　[直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，

由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，

∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．

当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，

∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1．]

二、填空题

6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为        ．

＋＝1　[由题意可得∴

故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．]

7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为        ．

＋＝1　[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．

∵椭圆经过点P1，P2，

∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．

则①②两式联立，解得

∴所求椭圆方程为＋＝1．]

8．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝        ．

2　[由题意S△POF2＝c2＝，∴c＝2，

∴a2＝b2＋4．

∴点P坐标为(1，)，把x＝1，y＝代入椭圆方程＋＝1中得＋＝1，解得b2＝2．]

三、解答题

9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．

[解]　当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1．

当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1．

故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1．

10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

[解]　将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，

∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图：

由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C．

∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，

而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，

∴|BM|＋|AM|＝6．

根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6．

∴a＝3，c＝2，b＝＝，

∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1．

11．(多选题)下列命题是真命题的是(　　)

A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆

B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段

C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆

D．若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆

BD　[A中<2，故点P的轨迹不存在；B中2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C中到定点F1(－3，0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D中点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4>8，故点P的轨迹为椭圆．]

12．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为    (　　)

A．＋＝1　　　　 B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

A　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

由点P(2，)在椭圆上知＋＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，

联立

故椭圆方程为＋＝1．]

13．(一题两空)已知A(－1,0)，C(1,0)是椭圆C的两个焦点，过C且垂直于x轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|＝3，则椭圆的方程为        ，若B是椭圆上一点，则△ABC的最大面积为        ．

＋＝1　　[设椭圆的方程为＋＝1，令x＝c，则y＝±，由|MN|＝3，得＝3，又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1，结合椭圆知当B点为椭圆与y轴交点时，S△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×2×＝．]

14．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，椭圆的短半轴长为b＝，则△PF1F2的面积为        ．

　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则根据椭圆的定义，得m＋n＝2a． ①

又∵△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，

∴根据余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mncos 60°，

即m2＋n2－mn＝4c2．  ②

∴①②联解，得mn＝b2，

根据正弦定理，得△PF1F2的面积为：S＝mnsin 60°＝××3×＝．]

15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．

(1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值；

(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；

(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．

[解]　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，

所以a＝2，b＝1，c＝，

即|F1F2|＝2，

又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，

即||·||的最大值为4．

(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，

由＝λ得x0＝，y0＝－．

又＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，

解得λ＝－7或λ＝1，又与方向相反，故λ＝1舍去，∴λ＝－7．

(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，

所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|≤8，

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8．