人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层作业(二十三)　抛物线的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　)A．(0,1)　　　　　　　　 B．(1,0)C．   D．C　[由y＝4x2得x2＝y，∴抛物线在y轴正半轴上且2p＝，∴p＝∴焦点为．]2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝－4x   B．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4y   D．y2＝4x或x2＝－4yC　[∵抛物线的顶点在原点，且过点(－4,4)，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，将点(－4，4)的坐标代入x2＝2py得16＝8p∴p＝2，∴标准方程为x2＝4y，将(－4,4)代入y2＝－2px得p＝2．∴此时标准方程为y2＝－4x．]3．已知函数y＝2x在区间[0,1]的最大值为a，则抛物线＝ax的准线方程是(　　)A．x＝－3   B．x＝－6C．x＝－9   D．x＝－12B　[函数y＝2x在[0,1]上为增函数，∴最大值为a＝2．∴抛物线＝2x化为标准方程是y2＝24x，则2p＝24，p＝12，＝6．∴抛物线＝2x的准线方程为x＝－6．]4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)A．   B．C．1   D．B　[抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线方程为x－y＝0，根据点到直线的距离公式可得d＝．]5．已知M是抛物线y2＝2px(p＞0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为(　　)A．1   B．1或4C．1或5   D．4或5B　[因为点M到对称轴的距离为4，所以点M的坐标可设为(x,4)(或(x，－4))，又因为M到准线的距离为5，所以解得或]二、填空题6．设抛物线y＝－2x2上一点p到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是        ．　[抛物线y＝－2x2上一点到x轴的距离为4，即点到x轴的距离d＝4，则点P的纵坐标为－4代入x2＝－y，解得x＝±，所以点P(，－4)或(－，－4)，抛物线x2＝－y的焦点坐标为，所以|PF|＝＋4＝．]7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为        ．2　[由抛物线方程y2＝2px(p＞0)，得其准线方程为x＝－．又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4．依题意，得3－＝4，解得p＝2．]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽        米．2　[以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系(图略)．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．]三、解答题9．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5．[解]　(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)．由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)且＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x．(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．由抛物线定义得5＝|AF|＝．又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x．10．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)[解]　如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝．故得抛物线方程为x2＝－y．B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m．11．(多选题)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　)A．(0，－4)   B．(0，－2)C．(0,2)   D．(0,4)BC　[根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线方程为x＝－．设B的坐标为(m，n)，若B为F、M的中点，则m＝＝，又由点B到抛物线准线的距离为，则－＝，解可得p＝．则抛物线的方程为y2＝2x，且m＝，又B在抛物线上，则n2＝2×＝1解得n＝±1，则B，M(0，2)或(0，－2)．]12．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)A．3   B．6C．9   D．12B　[∵抛物线C：y2＝8x的焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2，∴椭圆E的右焦点为(2,0)，∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，c＝2，∵e＝＝，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴椭圆E方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆E的方程解得A(－2,3)，B(－2，－3)，∴|AB|＝6，故选B．]13．(一题两空)抛物线C：y2＝2x的焦点坐标为        ，经过点P(4,1)的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且点P为恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则||＋||＝        ．　9　[由抛物线C：y2＝2x，得2p＝2，p＝1，则＝，∴抛物线的焦点F，过A作AM⊥准线，BN⊥准线，PK⊥准线，M、N、K分别为垂足．则由抛物线定义可得|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|，再根据P为线段AB的中点，有(|AM|＋|BN|)＝|PK|＝，∴|AF|＋|BF|＝9．]14．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为        ．y2＝4x　[如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，∴＝，即＝，p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x．]15．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求抛物线的方程．[解]　设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则其准线为x＝－．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p．因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|＝|QB|，即＝，又y＝2px1，y＝2px2，所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2．故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4．从而抛物线的方程为y2＝8x．