2022年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷（含解析）

2022年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知直线，交于点，在上取点，连接，若，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，点为矩形的对角线的中点，交于点，连接，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 已知直线与直线关于轴对称，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，为的直径，、为上两点，连接、、，若，且，则劣弧的长为

A.
B.
C.
D.

8. 将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 请写出两个大于且小于的无理数：______．
10. 若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则该多边形每个外角的度数为______．
11. 九章算术是中国古代算经十书最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数，物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元。问共有多少人？这个物品的价格是多少？设有人，则根据题意可列方程______。
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与对角线交于点，若正方形的边长为，，则的值为______．
     

13. 如图，在四边形中，，，，，点为的中点，点为上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则长度的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
15. 化简：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解不等式组，并求该不等式组的所有整数解的和．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，点、分别在的边、上，且，请用尺规作图法在边上求作一点，使得与的面积相等．保留作图痕迹，不写作法
    
     

18. 如图，点为▱的边的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：．
    
     

19. 北京残奥会已于月日闭幕，北京冬残奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”赢得了广大网友的喜爱王老师想要购买两种吉祥物玩偶作为本次冬奥会的纪念品，已知购买件“冰墩墩“和件“雪容融”共需元，购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元，求两种吉祥物玩偶的单价．
    
    
    
    
    
    
     
20. “地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项倡议，希望个人、社区、企业和政府在每年月最后一个星期六年为月日：：熄灯一小时，来唤醒人们对节约资源保护环境的意识．九年级班准备组织同学们到离学校最近的、两个社区进行“地球一小时”宣传活动，报名参加的有笑笑、雯雯、阳阳和优优四名同学，班长将四名同学的名字分别写在四张完全相同的卡片正面，并将背面朝上洗匀后，随机抽取两张卡片，被抽取的两名同学去社区进行宣传活动，未被抽取的两名同学去社区进行宣传活动．
    “抽取的两张卡片恰好是笑笑和雯雯”是______事件；填“随机”或“必然”或“不可能”
    请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两张卡片中有一张是阳阳的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 月日，据联合国统计，俄乌冲突已导致上千平民伤亡，万人离开乌克兰，此外，在俄乌冲突与对俄制裁的共同作用下，全球粮食供给、芯片制造、能源价格等均受到不同程度的影响．为了呼吁世界和平，某校举行了以“同护一片蓝天共享一份和平”为话题的征文比赛，比赛成绩分别记为分、分分、分，现随机抽取部分参赛学生的比赛成绩进行统计，并绘制成如下统计图，根据统计图中的信息，解答下列问题：
    此次比赛成绩的众数是______分，中位数是______分；
    计算此次比赛成绩的平均数；
    若参加此次征文比赛的共有人，请你估计成绩为分的约有多少人？

22. 秦椒，是辣椒中的佳品，素有“椒中之王”的美称，它具有颜色鲜红、辣味浓郁体形纤长、肉厚油大、表面皱纹均匀等特点，是陕西一项大宗出口商品，畅销国际市场．某超市的秦椒标价为元千克，同时规定：如果一次性购买千克以上，超过部分可以打折．若在该超市一次性购买千克秦椒，付款金额为元．
    求与之间的函数关系式；
    宁宁妈妈在该超市一次性购买秦椒共花了元，求宁宁妈妈购买了多少千克秦椒？
    
    
    
    
    
    
     
23. 千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力土像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高度．如图，在点处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点处，她手拿一支长米的竹竿，边观察边移动竹竿竹竿始终与地面垂直，当移动到如图所示的位置时，眼睛与竹竿、塔的顶端、共线，同时眼睛与它们的底端也恰好共线，此时测得，小丽的眼睛距竹竿的距离为米，小丽的眼睛距地面的高度米，已知，请你根据以上测量结果计算该塔的高度参考数据：
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，为的直径，、为上两点，连接、，交于点，且，过点作的切线交的延长线于点．
    求证：；
    若的半径为，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，抛物线经过、两点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，连接、．
    求抛物线的函数表达式；
    点在下方的抛物线上，过点作于点，连接，是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 问题探究
    如图，点为正方形的对角线的中点，点、分别在边、上，连接、，，若正方形的边长为，求四边形的面积．
    问题解决
    如图，菱形为李叔叔家承包的一块农田，李叔叔规划在菱形内找一点，沿修建一条小路，沿、修建两条灌溉水渠，并在边、上分别取点、，在四边形区域内种植经济作物来提高家庭收入．根据李叔叔的规划要求，，且两条灌溉水渠的长度与相等．已知菱形的边长为米，，若设的长为米，四边形的面积为平方米．
    求与之间的函数关系式；
    当灌溉水渠的总长度最小时，求种植经济作物区域四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】

解：根据三角形外角的性质知，
．
，
．
故选：．
根据三角形外角的性质知，可求出，再根据平行线的性质可知．
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，单项式除以单项式法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，整式的除法，掌握完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，单项式除以单项式法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：在矩形中，，，是矩形的对角线的中点，，
是边的中点，
，，，
，
点为的中点，，
，
故选：．
根据题意，利用三角形中位线定理可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，本题得以解决．
本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】

【解析】

解：直线与直线关于轴对称，
，，
，，
直线的解析式为，
令，则；
令，则，
直线与坐标轴的交点为和，
直线与坐标轴围成的三角形的面积为：，
故选：．
根据对称性求得、的值，进而求得直线与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得．
此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得、的值是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：如图，连接．
为的直径，、为上两点，
，，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长为．
故选：．
连接根据圆周角定理求出，再求出的半径为，代入弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算，根据圆周角定理求出是解题的关键．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，即
得到函数，
，
故选：．
先根据二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到此函数解析式，再与相对照即可得到．
本题考查的是二次函数的图形与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】

，等
 

【解析】

解：如，等．
首先知道无理数的定义，无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或，然后即可写出大小且小于的无理数．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

10.【答案】

【解析】

解：设多边形的边数为．
因为正多边形内角和为，正多边形外角和为，
根据题意得：，
解得：．
这个正多边形的每个外角．
故答案为：．
先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．
本题考查了正多边形的内角于外角，正六边形的性质；熟练掌握正六边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：设有人，
由题意，得。
故答案是：。
设有人，根据物品的价格不变列出方程。
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程。
 

12.【答案】

【解析】

解：作轴于，
正方形的边、分别在轴、轴上，
轴，
，
，
正方形的边长为，，
，，
，
，
，
，
，
反比例函数的图象与对角线交于点，
，
故答案为：．
作轴于，则，得出，由正方形的边长为，，即可得出，得到，则，代入即可求得的值．
本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式，求得的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：如图，过点作于点，

点为的中点，
，
由翻折可知：，
当点，，在同一条直线上时，的长度最小，最小值为，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
则长度的最小值为．
故答案为：．
过点作于点，得四边形是矩形，当点，，在同一条直线上时，的长度最小，最小值为，根据，可得，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折性质．
 

14.【答案】

解：原式



．
 

【解析】

根据零指数幂的意义、完全平方公式、二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关是熟练运用零指数幂的意义、完全平方公式、二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

15.【答案】

解：


．
 

【解析】

先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】

解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，即整数解为，，，，
则不等式组的所有整数解和为．
 

【解析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解之和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】

解：如图，点为所作．

 

【解析】

作的垂直平分线得到的中点，根据平行线的性质得到、到的距离相等，所以与的面积相等．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】

证明：四边形为平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】

证得≌后即可证得结论．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是判定≌，难度不大．
 

19.【答案】

解：设玩偶“冰墩墩”的单价为元，玩偶“雪容融”的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：玩偶“冰墩墩”的单价为元，玩偶“雪容融”的单价为元．
 

【解析】

设玩偶“冰墩墩”的单价为元，玩偶“雪容融”的单价为元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】

随机
 

【解析】

解：“抽取的两张卡片恰好是笑笑和雯雯”是随机事件，
故答案为：随机；

将四名同学分别记作、、、，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，其中抽取的两张卡片中有一张是阳阳的有种结果，
所以抽取的两张卡片中有一张是阳阳的概率为．
根据随机事件的概念求解即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

【解析】

解：由题意可知，此次比赛成绩的众数是分，中位数是分；
故答案为：；；
分，
答：此次比赛成绩的平均数为分；
人，
答：估计成绩为分的约有人．
根据众数，中位数的定义解答即可；
根据加权平均数公式计算即可；
用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图的意义，加权平均数的计算方法，掌握加权平均数的计算方法是正确计算的关键，用样本平均数估计总体平均数是常用的方法．
 

22.【答案】

解：由题意可得，
当时，，
当时，，
由上可得，；
当时，，
，
宁宁妈妈在该超市一次性购买秦椒超过千克，
，
解得，
答：宁宁妈妈购买了千克秦椒．
 

【解析】

根据题意和题目中的数据，可以写出与之间的函数关系式；
先判断宁宁妈妈在该超市一次性购买秦椒质量的范围，然后将代入相应的函数解析式，求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．
 

23.【答案】

解：过点作，垂足为，交于点，

，
，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
该塔的高度为．
 

【解析】

过点作，垂足为，交于点，根据已知可得四边形是矩形，从而得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可求出，再证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】

证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
解：设，则，
，
，
，
，
，
，或不合题意舍去，
，
故CE的长是．
 

【解析】

连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据余角的性质得到，于是得到结论；
设，则，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

25.【答案】

解：将、代入，
，
解得，
；
存在点，使得与相似，理由如下：
，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
当时，∽，
，
解得，
；
当时，∽，
，
解得，
；
综上所述：点的坐标为或
 

【解析】

将、代入，即可求解；
设，则，由题意可得，分两种情况讨论：当时，∽，则，求得；当时，∽，，求得
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
 

26.【答案】

解：连接，

四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
正方形的边长为，
，
．
解：连接，

四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌，
，
点在菱形的对角线上，
如图，过点作于点，于点，

在菱形中，，，
，
和都是等边三角形，
，，
，，
，，
在和中，，，
≌，
，
，
是等边三角形，
米，
米，
米，
米，
，
，
即；
由知，点在菱形的对角线上，
当，即点为的中点时，取得最小值，
此时米，即，
，
即当灌溉水渠的总长度最小时，种植经济作物区域四边形的面积为平方米．
 

【解析】

连接，证明≌，得出，由可得出答案；
连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，则得出点在菱形的对角线上，如图，过点作于点，于点，证明≌，得出，由可得出答案；
当，即点为的中点时，取得最小值，此时米，代入中的解析式可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短以及函数解析式等知识，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键．