2022年贵州省遵义市汇川区中考数学一模试卷（含解析）

2022年贵州省遵义市汇川区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 下列各数中，是负数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志中的图案，其中是中心对称图形的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 我国岁以上老年人总数达亿人，截至年月日，岁以上老年人新冠疫苗接种覆盖人数为亿人，将亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算结果为的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于，两点，连结，若，则的大小为

A.
B.
C.
D.

6. 已知点在第三象限，则整数的值是

A.  B. ， C. ， D. ，，

7. 已知，是方程的两根，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，是的垂直平分线，，，则

A.
B.
C.
D.

9. 九章算术之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十”粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米”问题：有斗的粟斗升，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为

A. 升 B. 升 C. 升 D. 升

10. 如图是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第个图有个星星，第个图有个星星，第个图形有个星星，，第个图形的星星个数为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：；；若，则；若，则其中正确结论的是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知是的内接三角形，的半径为，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点若，则弦的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 若分式有意义，则的取值范围是______．
14. 如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了米，到达处，测得，则计算出树的高度是______米．

15. 如图，已知点是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交反比例函数和图象的于点和点，以为对角线作平行四边形若点在轴上，平行四边形的面积为，则的值为______．

16. 如图，在中，，，平分交于点，为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，若则的最小值为______．

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）

17. 计算：．
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，请在的范围内选择一个合适的整数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）

19. 践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平总书记指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”遵义市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分如图．
    
    甲校成绩：
    乙校成绩：补全表格：

请根据乙校的数据补全条形统计图；
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示，请补全表格；
请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些，并根据中的数据说明理由．






 

20. 北京冬奥会将在年月日至日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的张纪念邮票除正面内容不同外，其余均相同，现将张邮票背面朝上，洗匀放好．
    小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是______；
    小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作棋，吉祥物冰敦敦邮票记作棋，吉祥物雪容融邮票记作棋．
    游戏规则：将颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从颗棋子中摸出颗棋子，不放回，再摸出第颗棋子．若摸到棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．

21. 如图，四边形内接于，是的直径，交延长线于点，平分．
    求证是的切线；
    若，，求的长．
    
     

22. 我区某中学计划举办以“百年党史学习”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励，现要购买甲、乙两种奖品，已知件甲种奖品和件乙种奖品共需元，件甲种奖品和件乙种奖品共需元．
    求甲、乙两种奖品的单价；
    根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共件，设购买两种奖品总费用为元，甲种奖品件，写出与的函数关系式；
    在的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，且，．
    求二次函数的解析式；
    若点是抛物线位于第二象限上的点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，过点作于点．
    求线段的最大值；
    若≌时，请求出此时点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知与为直角三角形，．
    【问题发现】如图，若时，点是线段上一动点，连接则______，______；
    【类比探究】如图，若，点是线段上一动点，连接请判断的值及的度数，并说明理由；
    【拓展延伸】如图，在的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点连接、，若，则当是直角三角形时，请求线段的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：根据绝对值的定义，，那么是正数，故A不符合题意．
B.根据相反数的定义，，那么是正数，故B不符合题意．
C.根据有理数的乘方，，那么是正数，故C不符合题意．
D.根据有理数的乘方，，那么是负数，故D符合题意．
故选：．
根据绝对值、相反数、有理数的乘方、负数的定义是解决本题的关键．
本题主要考查绝对值、相反数、有理数的乘方、负数，熟练掌握绝对值、相反数、有理数的乘方、负数的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：左起第一、第三、第四个图形都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
第二个图形能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
所以是中心对称图形的有个．
故选：．
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】

解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】

【解析】

解：由题意得：，
，
，，
，
，
，
解得：．
故选：．
由题意可得，从而可得，再由平行线的性质可得，由三角形的内角和即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是对熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】

【解析】

解：点在第三象限，
，
解得：，
整数的值是，．
故选：．
点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数．列出式子后可得到相应的整数解．
本题考查了点的坐标和一元一次不等式组的整数解．坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．
 

7.【答案】

【解析】

解：方程整理得：，
，是方程的两根，，，
．
故选：．
方程整理后，利用根与系数的关系求出所求即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，那么．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，求出与的长度是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：根据题意得：斗升，
设可以换得的粝米为升，
则，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：可以换得的粝米为升．
故选：．
先将单位换成升，根据“单位的粟，可换得单位的粝米”列方程可得结论．
本题考查了分式方程的应用，本题首先要弄清题意，正确列分式方程是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：由题意可得，第个图形中可分为上面是个星星和下面摆成的三角形形状的共个星星，
第个图形中共有星星的个数为：，
当时，，
故选：．
把图案分为下面三角形和上面线段型两部分，分别求出它们的规律．
此题考查了图形变化类的规律问题的解决能力，关键是能根据图形观察、归纳、验证、归纳出此题规律．
 

11.【答案】

【解析】

解：二次函数的大致图象的顶点坐标为，
函数图象的对称轴为：，
，
，
故错误；
由知，函数图象的对称轴为：，
根据二次函数的对称性可知，和对应的函数值相等，
当时，，
故正确；
根据二次函数的对称性可知，和对应的函数值相等，
点关于对称的点的坐标为，
当时，或，
故错误；
由知，且当时，，
，
，
，
，
结合图象可知，若，则当时，取最小值，当时，取最大值，
当时，，当时，，
故正确；
故选：．
顶点坐标为，可得出对称轴，结合对称轴公式可得出，故错误；根据二次函数的对称性可知，和对应的函数值相等，即可判断正确；若，则或，故错误；二次函数的图象的顶点坐标为，得出，，结合图象可知若，则，故正确．
本题主要考查了二次函数的综合知识，二次函数、一元二次方程、不等式三者之间的关系，综合性强，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：如图，设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，
，
连接，，
同理，，
，
与是等圆，
，
设的半径为，
过作于，
，，
，，
，
，
，
如图，过作于，
，
可设，则，
为的中点，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
负值舍去，
．
故选：．
取折叠后的弧所在圆圆心为，则与设等圆，是公共的圆周角，所以可以证得，过作于，则为的中点，在中，利用勾股定理，可以求出和的长度，由于是中点，可以证明，然后根据勾股定理即可得到结论．
本题是一道圆的综合题，考查了圆中的折叠变换，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系，比如此题中的，是解决此类题的突破口．
 

13.【答案】

且
 

【解析】

解：，，
且．
故答案为：且．
根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：，，
，
，
米，
又，
米，
树的高度为米．
故答案为：．
根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：连接、，

轴，
，
又四边形是平行四边形，为对角线，
，
由反比例函数系数的几何意义得，
，，
又，
，
解得，舍去，
故答案为：．
连接、，利用反比例函数系数的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积为可求出，进而求出答案
本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确应用的前提．
 

16.【答案】

【解析】

解：如图，过作于，过作于，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
平分，
，
在中，，
可设，
，
，
，
，
，
，
如图，过作于，连接交于，
四边形为平行四边形，
，
在与中，
，
≌，
，
故到直线的距离始终为，
所以点在平行于的直线上运动，且两直线距离为，
根据垂线段最短，
当，，三点在一条直线上时，此时最小，如图，
最小值为：，
故答案为．
首先在中，由于，，，所以可以解，即可以过作于，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过作于，可以求出的长度，连接交于，过作于，可以证明≌，所以，由此得到在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当，，三点共线时，长度最小．
本题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点的运动轨迹，是解决本题的关键．
 

17.【答案】

解：原式

．
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故是原分式方程的解．
 

【解析】

根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
去分母转化为整式方程，求解后检验即可．
本题考查实数运算和解分式方程，解题关键是熟知特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质以及解分式方程的步骤．
 

18.【答案】

解：原式

，
，且为整数，
，，，，
    又分母不能为，
或，
     当时，原式．
 

【解析】

先计算括号内的，把当作一个整体，分母为，与进行通分运算，并把运算的结果进行因式分解，的分子进行因式分解，化为，与括号内的运算结果，先约分，再进行运算，最后找到与的整数部分，对两个无理数进行估算，可以确定能够代值的整数有，，，四个，但是分母不能为，所以只能取或，任意选择一个进行代值运算．
本题考查了分式的运算，有三个难点，一个难点是整式与分式加减，需把整式当作分母为，第二个难点就是估算无理数的大小，尤其是的范围，关键是找到各个无理数的整数部分，第三个难点就是设置了分母不能为的这个陷阱，题目只能代入或．
 

19.【答案】

【解析】

解：由表格可得，乙校的有人，的有人，
补全条形统计图，如下图：

由条形统计图可得，
甲校数据按照从小到大排列是：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
这组数据的中位数为，众数为；
故答案为：；；
甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好；
为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，建议在课后多开展中华文化知识活动．
根据表格中的数据可以得到乙校，的和的各有多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
根据表格中的数据将甲校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数；
答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；
答案不唯一，理由需支撑推断结论．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】

【解析】

解：小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：．
此游戏不公平，理由如下：
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中摸到棋的有种结果，摸到两颗相同的棋子的有种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
，
此游戏不公平．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
 

21.【答案】

证明：连接，

，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：是的直径，
，
，，
∽，
，
设，，
，
，
或舍去，
．
 

【解析】

连接，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明，即可解答；
先证明∽，求出，然后在中利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，角平分线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键，
 

22.【答案】

解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元；
设购买两种奖品总费用为元，甲种奖品件，则购买乙种奖品件，
依题意，得：，
即与的函数关系式：；
，，
随的增大而增大，
依题意，得：，
解得：，
，
是整数，
当时，元，
件，
当购买甲种奖品件，乙种奖品件时，所需费用最少，最少费用为元．
 

【解析】

设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据“件甲种奖品和件乙种奖品共需元，件甲种奖品和件乙种奖品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买两种奖品总费用为元，甲种奖品件，则购买乙种奖品件，根据题意可以写出与的函数关系式；
根据题意可以列出相应的不等式，求出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质和不等式的性质解答问题．
 

23.【答案】

解：，
，，
，
，
，
二次函数的解析式为；
，，
，
轴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当取得最大值时，的值最大，
设的解析式为，
，
，
，
设，
轴，
，
，
时，最长为，
线段的最大值为；
≌，
，
，
，
由知，，，
，
，
解得，不合题意舍去，
，
故点的坐标为．
 

【解析】

由，得到，，解方程组得到二次函数的解析式为；
根据等腰直角三角形的性质得到，求得，当取得最大值时，的值最大，设的解析式为，得到设，根据二次函数的性质即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，得到，解方程即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了全等三角形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，最大值问题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】

解：，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
故答案为：，；

，．
理由如下：，，
，，
，
，，
∽，
，
，且，
∽，
，，
，，
，；

若点在线段上，如图，

由知：，，
，
，，，
，，
，且点是中点，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
若点在线段延长线上，如图

同理可得：，，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由直角三角形的性质可得，可得，，由“”可证≌，可得，，即可求解；
通过证明∽，可得的值，，即可求的度数；
分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长．
本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明∽是本题的关键．