2022年中考高分冲刺压轴题专题特训-一次函数图像性质及应用

2022中考高分冲刺压轴题专题特训

1．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．≤ B．≥ C．≥ D．≤

【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，

又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，

当a＝﹣时，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．

故选：D．

2．已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（　　）

A．15km B．16km C．44km D．45km

【解答】解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h），

乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h），

乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h），∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h），

设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t，则：20t＝60（t﹣1﹣0.5），

解得：t＝2.25，此时甲距离B地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），故选：A．

3．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　）

A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 

C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1

【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；

B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；

C．令y1+y2＝0，则﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；

D．令y1+y2＝0，则﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；

故选：A．

4．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（﹣3，3），点B在x轴上，若△OAB是直角三角形（O为原点），则线段AB上任意一点可表示为　（﹣3，y）或（y﹣6，y）（0≤y≤3）　．

【解答】解：分两种情况：

①当AB⊥OB时，∠ABO＝90°，

此时AB＝OB，点B的坐标是（﹣3，0），

∴△ABO为等腰直角三角形，

点P为线段AB上任意一点，

∴P点的横坐标为﹣3，

线段AB上任意一点可表示为（﹣3，y）（0≤y≤3）；

②当AB⊥OA时，∠OAB＝90°，

此时AB＝OA，△OAB为等腰直角三角形，点B的坐标是（﹣6，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将A点（﹣3，3），B（﹣6，0）代入y＝kx+b，

得到﹣3＝﹣3k+b，﹣6k+b＝0，

解得：k＝1，b＝6，

∴直线AB的解析式为：y＝x+6，

∴线段AB上任意一点可表示为（y﹣6，y）（0≤y≤3）；

综上：当∠ABO＝90，线段AB上任意一点可表示为（﹣3，y），（0≤y≤3）；

当∠OAB＝90°，线段AB上任意一点可表示为（y﹣6，y），（0≤y≤3）；

5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．

（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．

①若BA＝BO，求证：CD＝CO．

②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．

（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，ABC＝∠BOC＝90°，

∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，

∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；

②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：

∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，

Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，

∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，

又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，

解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，

∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，

∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，

∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，

等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，

∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；

（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：

（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：

由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，

∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，

∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，

∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，

Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，

∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：

①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；

②若＝，则＝，

解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），

∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；

（二）当B在线段MO延长线上时，如图：

由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，

∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，

∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，

∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），

Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，

∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，

综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4+或4﹣或9或1；

6．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y＝﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连接DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：

①线段EF长度是否有最小值．

②△BEF能否成为直角三角形．

小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．

（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．

（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．

【解答】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．

（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，

则∠FGK＝∠DHK＝90°，记FD交y轴于点K，

∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，

∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG＝DH，∵直线AC的解析式为y＝﹣x+4，

∴x＝0时，y＝4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，

∵D点的横坐标为m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，

∵EF2＝FR2+ER2，∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，

令﹣+4＝0，得x＝，∴0≤m≤．∴当m＝1时，l的最小值为8，

∴EF的最小值为2．

（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．

②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．

③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．

由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，

∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，

又∵BE2＝（m+2）2，∴（5m2﹣20m+20）+（8m2﹣16m+16）＝（m+2）2，

化简得，3m2﹣10m+8＝0，解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去），∴m＝．

综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝．

7．如图，已知A（﹣1，0），一次函数y＝﹣x+2的图象交坐标轴于点B、C，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A、C、B．点Q是二次函数图象上一动点．

（1）当S△QAB＝5S△AOC时，求点Q的坐标；

（2）过点Q作直线l∥BC，当直线l与二次函数的图象有且只有一个公共点时，求出此时直线l对应的一次函数的表达式并求出此时直线l与直线BC之间的距离．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交坐标轴于点B、C，

∴B（4，0），C（0，2）

∴S△AOC＝＝1，

∵S△QAB＝5S△AOC，

∴S△QAB＝（4+1）×|yQ|＝5，

则|yQ|＝2，

设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

将A、B、C代入得，解得

∴二次函数解析式为，

令y＝2，则2＝﹣2+x+2，解得x＝0或3，

令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2+x+2，解得x＝，

∴Q点的坐标为（0，2）或（3，2）或Q（，﹣2）或Q（，﹣2）

（2）由B（4，0），C（0，2）可知直线BC的解析式为y＝﹣+2，

根据题意设：，

则中△＝32﹣8b＝0  解得b＝4，

∴直线l为：，

∴D（0，4），

∴CD＝4﹣2＝2，

如图，∵BC＝＝2，

∵△DCE∽△BCO，

∴＝，即＝，

∴DE＝

∴此时直线l与直线BC之间的距离为d＝．

8．已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．

（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；

（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；

（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．

【解答】解：（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1，

把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1）得，a＝1，

∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1；

（2）解方程组得或，

∴B（1，3），

作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：

由函数图象可知，y1＝2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤1，

∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤1；

（3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，

∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；

v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，

∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，

∴当﹣1.5≤x≤0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，

∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，

∴m的最小值为﹣1.5，n的最大值为0.5．