2022年九年级数学中考复习中档解答题专题突破训练

这是一份2022年九年级数学中考复习中档解答题专题突破训练，共36页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
求证：MA•MC＝MB•MD．
2．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3＝0…①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2＝0…②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
3．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x﹣＝0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．
4．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：BF＝AC；
（2）求证：CE＝BF；
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．
5．已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．
（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP＝OQ；
（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD＝4，∠DCB＝60°，BS＝10，求AS和OR的长．
6．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK＝KC，求的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE＝AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．
7．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E，F分别是AB和BC边上的点．
（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC．若AD＝4，BC＝8，求梯形ABCD的面积S梯形ABCD的值；
（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG＝k•EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系写出你的结论并证明之．
8．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝a，CQ＝时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
10．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
12．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值；
（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．
16．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝1，求HG•HB的值．
18．已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED＝90度．
（1）如图①，如果AB＝6，BC＝16，且BE：CE＝1：3，求AD的长；
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不证明．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD边上一点，DE＝AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB＝a（a为常数），n＝3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当＝时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
21．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．
（1）求证：AC＝AD+CE；
（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当＝时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的长，
参考答案
1．证明：连接CN、DN，
∵MN是直径，
∴∠D＝90°
∵l⊥MN，
∴∠MHB＝90°
在△MND与△MBH中，∵∠BMH＝∠NMD，
∴Rt△MND∽Rt△MBH，
∴＝
∴MB•MD＝MN•MH①
同理可证Rt△AHM∽Rt△NCM，
∴．
∴MN•MH＝MA•MC②
由①、②，有MA•MC＝MB•MD．
2．解：把x＝0代入得m2﹣2m﹣3＝0．
解得m＝3或﹣1．
∵方程有两个不相等实数根．
∴[﹣2（m+1）]2﹣4×（m2﹣2m﹣3）＞0．
解得m＞﹣1．
∴m＝3．
∵x1，x2之差的绝对值为1．
∴（x1﹣x2）2＝1．
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1．
（k﹣3）2﹣4（﹣k+4）＝1．
解得k1＝﹣2，k2＝4．
∵当k＝﹣2时，Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+4）
＝k2﹣2k﹣7
＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣7
＝1＞0
当k＝4时，Δ＝k2﹣2k﹣7＝42﹣2×4﹣7＝1＞0．
∴存在实数k＝﹣2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．
3．解：（1）不是，
解方程x2+x﹣12＝0得，x1＝3，x2＝﹣4．
|x1|+|x2|＝3+4＝7＝2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x2+x﹣12＝0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2﹣6x﹣27＝0和x2+6x﹣27＝0是偶系二次方程，
∴假设c＝mb2+n，
当b＝﹣6，c＝﹣27时，
﹣27＝36m+n．
∵x2＝0是偶系二次方程，
∴n＝0时，m＝﹣，
∴c＝﹣b2．
∵是偶系二次方程，
当b＝3时，c＝﹣×32．
∴可设c＝﹣b2．
对于任意一个整数b，c＝﹣b2时，
Δ＝b2﹣4ac，
＝4b2．
x＝，
∴x1＝﹣b，x2＝b．
∴|x1|+|x2|＝2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c＝﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”．
4．（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．
∴BF＝AC；
（2）方法一：证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE＝AE＝AC．
又由（1），知BF＝AC，
∴CE＝AC＝BF；
方法二：∵BE⊥AC，BE平分角ABC，
∴AE＝CE，
∵BF＝AC，
∴AC＝BF＝2CE；
（3）证明：∠ABC＝45°，CD垂直AB于D，则CD＝BD．
H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）
连接CG，则BG＝CG，∠GCB＝∠GBC＝∠ABC＝×45°＝22.5°，∠EGC＝45°．
又∵BE垂直AC，
∴∠EGC＝∠ECG＝45°，CE＝GE．
∴△GEC是直角三角形，
∴BG＝EC，
∵DH垂直平分BC，
∴BG＝CG，
∴BG＞CE．
方法2，证明：∠ABC＝45°，CD垂直AB于D，则CD＝BD．
H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）
连接CG，则BG＝CG，∠GCB＝∠GBC＝∠ABC＝×45°＝22.5°，∠EGC＝45°．
又∵BE垂直AC，
∴CG＞CE．
∴BG＞CE．
5．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC．
∴∠OBP＝∠ODQ
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD
在△BOP和△DOQ中，
∵∠OBP＝∠ODQ，OB＝OD，∠BOP＝∠DOQ
∴△BOP≌△DOQ（ASA）
∴OP＝OQ．
（2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T．
∵ABCD是菱形，∠DCB＝60°
∴AB＝AD＝4，∠ABT＝60°
∴在Rt△ATB中，AT＝ABsin60°＝
TB＝ABcs60°＝2
∵BS＝10，
∴TS＝TB+BS＝12，
在Rt△ATS中，
∴AS＝．
∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB．
∴，
则，
∴
∵AS＝，
∴OS＝AS＝．
同理可得△ARD∽△SRC．
∴，
则，
∴，
∴．
∴OR＝OS﹣RS＝．
6．解：（1）∵BK＝KC，∴＝，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴＝＝
（2）当BE平分∠ABC，AE＝AD时，AB＝BC+CD；
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，
又∵∠EBA＝∠GBE，
∴∠GEB＝∠GBE，
∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，
∵EF＝EG+GF，
即：AB＝BC+CD；
∴AB＝BC+CD；
同理，当AE＝AD（n＞2）时，EF∥AB，
同理可得：＝＝，则BG＝•BC，则EG＝BG＝•BC，
＝＝，则GF＝•CD，
＝＝，
∴+•CD＝•AB，
∴BC+CD＝（n﹣1）AB，
故当AE＝AD（n＞2）时，BC+CD＝（n﹣1）AB．
7．解：（1）由题意，有△BEF≌△DEF．
∴BF＝DF
如图，过点A作AG⊥BC于点G．则四边形AGFD是矩形．
∴AG＝DF，GF＝AD＝4．
在Rt△ABG和Rt△DCF中，
∵AB＝DC，AG＝DF，
∴Rt△ABG≌Rt△DCF．（HL）
∴BG＝CF
∴BG＝（BC﹣GF）＝（8﹣4）＝2．
∴DF＝BF＝BG+GF＝2+4＝6
∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•DF＝×（4+8）×6＝36
（2）猜想：CG＝k•BE（或BE＝CG）
证明：如图，过点E作EH∥CG，交BC于点H．
则∠FEH＝∠FGC．
又∠EFH＝∠GFC，
∴△EFH∽△GFC．
∴，
而FG＝k•EF，即．
∴即CG＝k•EH
∵EH∥CG，∴∠EHB＝∠DCB．
而四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠DCB．
∴∠B＝∠EHB．∴BE＝EH．
∴CG＝k•BE．
8．（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，
∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BP＝a，CQ＝a，BE＝CE，
∴，
∴BE＝CE＝a，
∴BC＝3a，
∴AB＝AC＝BC•sin45°＝3a，
∴AQ＝CQ﹣AC＝a，PA＝AB﹣BP＝2a，
在Rt△APQ中，PQ＝＝a．
9．解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），
∴0＝﹣2+b，得b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2，
∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4），
∴4＝a+2，得a＝2，
∴4＝，得k＝8，
即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；
（2）∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
设点M（m﹣2，m），点N（，m），
当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形，
||＝2，
解得，m＝2或m＝+2，
∴点M的坐标为（﹣2，）或（，2+2）．
10．证明：（1）∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∵OC∥BD
∴∠OCB＝∠CBD
∴∠OBC＝∠CBD
∴
（2）连接AC，
∵CE＝1，EB＝3，
∴BC＝4
∵
∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB
∴△ACE∽△BCA
∴
∴AC2＝CB•CE＝4×1
∴AC＝2，
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∴AB＝＝2
∴⊙O的半径为
（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA
∴△APC∽△CPB
∴
∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB
∴4PA2＝PA×（PA+2）
∴PA＝
∴PO＝
∵PQ∥BC
∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°
∴△PHO∽△BCA
∴
即
∴PH＝，OH＝
∴HQ＝＝
∴PQ＝PH+HQ＝
11．解：（1）由得，
∴A（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
（2）解得或，
∴B（﹣8，1），
由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），
∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．
12．解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC＝，
故⊙O的半径为；
（3）AF＝CE+BD，理由如下：
连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
13．（1）证明：连接OC，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
14．（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．
15．证明：（1）连接OD，如图1，
∵OB＝OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）如图2，在⊙O中，∵∠E＝∠B，
∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，
∵AB＝AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝AC＝×3x＝，
∵OD∥AC，
∴∠E＝∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴，
∴＝＝，
∴＝；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+1，
∴BD＝CD＝DE＝r+1，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+1，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（1+r）＝r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
∵，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴＝，
解得：r1＝，r2＝（舍），
综上所述，⊙O的半径为．
16．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，
得a＝﹣1+4，
解得a＝3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y＝，
得k＝3，
∴反比例函数的表达式y＝，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1＝1，x2＝3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）过点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m＝﹣2，n＝5，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，
令y＝0，得x＝，
∴点P坐标（，0），
S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD＝×2×2﹣×2×＝2﹣＝．
17．（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC与△EBF中，，
∴△ABC≌△EBF（ASA）；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB
证明如下：∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（3）解：如图2，连接CF，HE，
∵∠CBF＝90°，BC＝BF，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝，
∵△ABC≌△EBF，
∴BE＝AB＝1，
∴EF＝＝，
∵BH平分∠CBF，
∴，
∴EH＝FH，
∵∠EBF＝90°，
∴EF是直径，
∴∠AHF＝90°，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF＝EF＝，
∵∠EFH＝∠HBF＝45°，∠BHF＝∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴，
∴HG•HB＝HF2＝2+．
18．解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE＝∠ECD＝90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED＝180°，且∠AED＝90°，
∴∠CED＝90°﹣∠BEA．
又∵∠BAE＝90°﹣∠BEA，
∴∠BAE＝∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴．
∵BE：EC＝1：3 BC＝16，
∴BE＝4，EC＝12．
又∵AB＝6，
∴CD＝＝8．
在Rt△AED中，由勾股定理得
AD＝＝2．
（2）（i）猜想：AB+CD＝BC．
证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED＝180°，且∠AED＝90°，
∴∠CED＝90°﹣∠AEB．
∴∠BAE＝∠CED．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠ECD＝90°．
由已知，有AE＝ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB＝EC，BE＝CD．
∴BC＝BE+EC＝CD+AB，即AB+CD＝BC．
（ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：∠
AB﹣CD＝BC（AB＞CD）或CD﹣AB＝BC（AB＜CD）．
19．解：（1）∵AD∥BC，
∴∠EFO＝∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO＝OE；
∵在△EFO和△BGO中，，
∴△EFO≌△BGO，
∴FO＝GO
∵EO＝BO，且BE⊥FG
∴四边形BGEF为菱形．
（2）当AB＝a，n＝3时，AD＝2a，AE＝，
根据勾股定理可以计算BE＝，
∵AF＝AE﹣EF＝AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2＝BF2，计算可得AF＝，EF＝，
∵菱形BGEF面积＝BE•FG＝EF•AB，计算可得FG＝．
（3）设AB＝x，则DE＝，
S1＝BG•AB，S2＝BC•AB
当＝时，＝，可得BG＝，
在Rt△ABF中AB2+AF2＝BF2，计算可得AF＝，
∴AE＝AF+FE＝AF+BG＝，DE＝AD﹣AE＝，
∴＝，
∴n＝6．
20．解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），
∴x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；
（2）∵AB＝xm，
∴BC＝28﹣x，
∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
21．（1）证明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠E＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1＝∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB＝CE，
∴AC＝AB+BC＝AD+CE；
（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，
∴＝，
即＝，
∴QF＝BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠FPQ＝180°﹣90°＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ADP＝∠FPQ，
又∵∠A＝∠PFQ＝90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴＝，
即＝，
∴5AP﹣AP2+AP•BF＝3•BF，
整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）＝0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP＝BF，
由△ADP∽△FPQ得，＝，
∴＝；
（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．
由（2）（i）可知，QF＝AP．
当点P运动至AC中点时，AP＝4，∴QF＝．
∴BF＝QF×＝4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ＝＝＝．
∴MN＝BQ＝．
∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．
22．解：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DBC，
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BDE，
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠E，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEB；
（2）∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵BC＝CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣3＝2，
由（1）可知：△ABD∽△AEB，
∴＝＝，
∴AB2＝AD•AE，
∴42＝2AE，
∴AE＝8，
在Rt△DBE中
tanE＝＝＝＝；
（3）过点F作FM⊥AE于点M，
∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4x，BC＝3x，
∴由（2）可知；AE＝8x，AD＝2x，
∴DE＝AE﹣AD＝6x，
∵AF平分∠BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∵tanE＝，
∴csE＝，sinE＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴EF＝BE＝，
∴sinE＝＝，
∴MF＝，
∵tanE＝，
∴ME＝2MF＝，
∴AM＝AE﹣ME＝，
∵AF2＝AM2+MF2，
∴4＝+，
∴x＝，
∴⊙C的半径为：3x＝．
另解：由上述知tan∠FAM＝＝，
∵BC＝DC＝CE，＝，
∴AD：DC：CE＝2：3：3，
∵tan∠E＝＝，
设FM＝a，则AM＝3a，ME＝2a，
∴AE＝5a，
∴DC＝AE＝a，
由勾股定理可知：AF＝a，
∵AF＝2，
∴a＝，
∴DC＝
23．（1）证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（2）解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC＝∠DAF，
∴∠CDA＝∠CFD，
∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴＝，即AD2＝AB•AF＝xy，
则AD＝；
（3）解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝＝，
设圆的半径为r，可得＝，
解得：r＝5，
∴AE＝10，AB＝18，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF＝＝，
∴AF＝AE•sin∠AEF＝10×＝，
∵AF∥OD，
∴＝＝＝，即DG＝AD，
∴AD＝＝＝，
则DG＝×＝．